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    2024年浙江省宁波市江北区中考 一模考试数学试题(原卷版+解析版)
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    2024年浙江省宁波市江北区中考 一模考试数学试题(原卷版+解析版)

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    这是一份2024年浙江省宁波市江北区中考 一模考试数学试题(原卷版+解析版),文件包含2024年浙江省宁波市江北区中考一模考试数学试题原卷版docx、2024年浙江省宁波市江北区中考一模考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共33页, 欢迎下载使用。

    2.请将姓名、准考证号等信息分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上.
    3.答题时,请将试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满.将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写,答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答,做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效.
    4.不允许使用计算器,没有近似计算要求的试题,结果都不能用近似数表示.
    试题卷Ⅰ
    一、选择题(每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
    1. 在东西走向的马路上,若把向东走记做,则向西走应记做( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】本题考查相反意义的量,熟练掌握正负的意义是解题的关键,根据题意得到向东走为正,则可得到向西走为负,即可得到答案.
    【详解】解:由题可得:向东走记做,
    则向西走向西走,应记作.
    故选:B.
    2. 下列各式计算正确的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的除法和乘法、以及合并同类项.利用幂的乘方的性质、同底数幂的除法的计算法则、同底数幂的乘法运算法则、以及合并同类项计算法则进行计算即可.
    【详解】解:A、,故本选项不符合题意;
    B、,故本选项不符合题意;
    C、,故本选项符合题意;
    D、和不是同类项,不能合并,故本选项不符合题意;
    故选:C.
    3. 如图是我们常见的盒装牛奶,它的左视图是( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图,掌握组合体的三视图是解题的关键,根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案.
    【详解】解:从左边看,从下到上,分别是一个矩形,三角形,线段.
    选项C符合题意,
    故选:C.
    4. 下列统计量中,能够反映不同种子发芽率稳定性的是( )
    A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
    【答案】D
    【解析】
    【分析】本题主要考查统计量的选择.根据方差的意义求解即可.
    【详解】解:能够反映不同种子发芽率稳定性的是方差,
    故选:D.
    5. 如图,在中,,若,则的值为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】本题考查了锐角三角函数的定义,勾股定理,互余两角三角函数的关系等知识点,能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键;根据锐角三角函数的定义得出,设,,根据勾股定理求出,再根据锐角三角函数的定义求出答案即可.
    【详解】解:,
    设,,
    由勾股定理得:,

    故选:B.
    6. 如图,点O为四边形内的一点,连结,若,则四边形的面积与四边形的面积比为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】本题主要考查了位似图形的性质,得出两四边形的相似比是解题关键.利用位似图形的定义得出四边形与四边形的位似比为,进而得出面积比,即可得出四边形的面积与四边形的面积比.
    【详解】解:∵,
    ∴四边形与四边形的位似比为,
    ∴四边形与四边形的面积比为,
    故选:D.
    7. 如图,在中,是正三角形,点C在上,若,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】本题考查了圆周角定理、内接四边形,等边三角形的性质,先根据等边三角形的性质得出结合圆周角定理,得出,又因为圆内接四边形,则,运用三角形的内角和性质列式计算,即可作答.
    【详解】解:如图:取一点,连接
    ∵是正三角形,



    ∵四边形是圆内接四边形


    ∴在中,,
    故选:A.
    8. 我国古代数学名著《算法统宗》中记载:“今有里长值月议云每里科出银五钱依帐买物以辨酒席多银三两五钱每里科出四钱亦多五钱问合用银并里数若干”.意为:里长们(“里”是指古代的一种基层行政单位)在月度会上商议出银子购买物资办酒席之事.若每里出5钱,则多出35钱;若每里出4钱,则多出5钱.问办酒席需多少银子,里的数量有多少个?若设里的数量有x个,办酒席需要用y钱银子,则可列方程组为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组.根据每里出5钱,则多出35钱;若每里出4钱,则多出5钱,列二元一次方程组即可.
    【详解】解:根据题意,得.
    故选:D.
    9. 如图,在矩形中,,,点E在上,且,点F是边上的点,连结,将四边形沿直线EF翻折得到四边形.当D,M,N三点共线时,的值为( )
    A. 或B. 或C. 或D. 或
    【答案】C
    【解析】
    【分析】分两种情况讨论,一是,,三点共线,且点在线段的延长线上,连二是,,三点共线,且点在线段上,设交于点,求得,由,求得,则,由,求得,则.
    【详解】解:如图1,,,三点共线,且点在线段的延长线上,连接,设交于点,
    四边形是矩形,,,点在上,且,
    ,,,,
    ,,
    由翻折得,,,,







    如图2,,,三点共线,且点在线段上,设交于点,
    ,,








    综上所述,的值为或,
    故选:C.
    【点睛】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、锐角三角函数与解直角三角形等知识,正确地求出的长是解题的关键.
    10. 已知点,都在反比例函数的图象上,则下列结论中一定正确的是( )
    A B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质.根据题意可得,从而得到点Q在第一象限,而点P比点Q靠近y轴.画出如图的大致图象,在第一象限取一点Q,作点Q关于原点的对称点,连结,点P的位置可以是或,可得答案.
    【详解】解:由题意得,,而4t的正负性无法判断,应分类讨论,才能比较与.
    ∵,
    ∴.
    ∴.
    ∴点Q在第一象限,而点P比点Q靠近y轴.
    ∴画出如图的大致图象,在第一象限取一点Q,作点Q关于原点的对称点,
    连结,点P位置可以是或.
    ∴由图象可知,或到x轴的距离都比点Q到x轴的距离大.
    ∴.
    ∵.
    ∴,
    故选C.
    试题卷Ⅱ
    二、填空题(每小题4分,共24分)
    11. 请写出一个比1大的无理数:______.
    【答案】(答案不唯一)
    【解析】
    【分析】此题考查了实数大小比较,以及无理数.找出一个比1大的无理数即可.
    【详解】解:比1大的无理数可以为:(答案不唯一),
    故答案为:.
    12. 因式分解:=_______.
    【答案】(a+1)(a-1)
    【解析】
    【分析】直接应用平方差公式即可求解.
    【详解】.
    故答案为:(a+1)(a-1)
    13. 有5张仅有编号不同的卡片,编号分别是1,2,3,4,5.从中随机抽取一张,编号是偶数的概率等于_________.
    【答案】##0.4
    【解析】
    【分析】根据题目中的数据,可以计算出从中随机抽取一张,编号是偶数的概率.
    【详解】解:从编号分别是1,2,3,4,5的卡片中,随机抽取一张有5种可能性,其中编号是偶数的可能性有2种可能性,
    ∴从中随机抽取一张,编号是偶数概率等于,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查概率公式,解答本题的关键是明确题意,求出相应的概率.
    14. 将一副三角板按如图所示放置,使点A在边上,此时,则的值为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质.过点作于点,如图,设,利用平行线的性质得到,则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到,再利用得到,,所以,接着利用为等腰直角三角形得到,所以,然后证明,于是利用相似比得到.
    【详解】解:过点作于点,如图,
    设,
    ∵,






    为等腰直角三角形,


    ∵,


    故答案为:.
    15. 如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P为抛物线上任意一点,过点P分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为M,N.设点P的横坐标为t,若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小,则t的取值范围为______.
    【答案】或
    【解析】
    【分析】本题主要考查了二次函数性质,先根据抛物线的解析式求出抛物线与x轴的两个交点为,,抛物线的对称轴为直线,设抛物线与y轴的交点为B,则点B关于对称轴对称的点的横坐标为,分情况进行讨论:当时,当时,当时,当时,当时,分别画出图形进行求解即可.
    【详解】解:,
    ∴抛物线与x轴的两个交点为,,
    抛物线的对称轴为直线,
    设抛物线与y轴的交点为B,则点B关于对称轴对称的点的横坐标为,
    当时,如图所示:
    抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大,不符合题意;
    当时,如图所示:
    抛物线不在矩形内部,不符合题意;
    当时,如图所示:
    抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小,符合题意;
    当时,如图所示:
    抛物线不在矩形内部,不符合题意;
    当时,如图所示:
    抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小;
    综上分析可知:或时,抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小.
    故答案为:或.
    16. 小明用图1所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状(图2).若A,B,C三点共线且点D,A,E,F在矩形的边上,则矩形的长与宽之比为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题考查了二次根式混合运算的应用.先求得矩形的长和宽,再利用二次根式的混合运算法则计算即可求解.
    【详解】解:如图,线段的长度即为矩形的长,的长度即为矩形的宽.
    设,可得,
    ∵,
    ∴,
    ∴矩形的长与宽之比为.
    故答案为:.
    三、解答题(本大题有8小题,共66分)
    17. 计算下列各式:
    (1)
    (2).
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】本题考查了平方差公式,实数的运算和单项式乘多项式,掌握平方差公式,实数的运算法则和单项式乘多项式的运算法则是关键;
    (1)根据实数的运算法则进行计算;
    (2)根据平方差公式,单项式乘多项式的运算法则进行计算.
    【小问1详解】
    解:原式

    【小问2详解】
    解:原式

    18. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格,点A,B均在格点上.
    (1)请在图1中,画出一个格点,使为轴对称图形.
    (2)请在图2中,画出一个格点四边形,使四边形为中心对称图形.(注:格点多边形,即多边形的每个顶点均在格点上.)
    【答案】(1)图见解析
    (2)图见解析
    【解析】
    【分析】本题考查轴对称图形、中心对称图形,熟练掌握轴对称图形、中心对称图形的定义是解答本题的关键.
    (1)利用网格,画等腰三角形即可.
    (2)利用网格,画平行四边形即可.
    【小问1详解】
    解:如图1,即为所求,
    【小问2详解】
    解:如图2,四边形即为所求.
    19. 已知关于x一元二次方程.
    (1)从1,2,3三个数中,选择一个合适的数作为a的值,要使这个方程有实数根,并解此方程.
    (2)若这个方程无实数根,求a的取值范围.
    【答案】(1)当时,,(答案不唯一);
    (2).
    【解析】
    【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,解一元二次方程,解题关键是熟练掌握利用判别式判断一元二次方程根与系数的关系.
    (1)根据一元二次方程有实数根得到判别式大于等于0,从而列出关于的不等式,求出的取值范围,然后再从已知的三个数中选择符合条件的数,最后解方程即可;
    (2)根据一元二次方程无实数根得到判别式小于0,从而列出关于的不等式,求出的取值范围.
    【小问1详解】
    解:若关于的一元二次方程有实数根,
    ∴,



    当或1时,这个方程有实数根,
    当时,原方程为:,

    或,
    ∴,;
    当时,原方程为:,

    解得,.
    【小问2详解】
    解:若关于的一元二次方程无实数根,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    20. 丰富的社会实践活动不仅能让同学们理解生活服务社会,更能帮助同学们树立正确的劳动态度与价值观.为迎接“五一劳动节”,学校将开展以下四项实践活动:A.博物馆小小解说员,B.汽车南站送祝福,C.地铁小义工,D.警营岗位体验,并让同学们自主选择其中一项参加.以下是从全校学生中随机抽取部分学生进行调查的相关统计图(缺少部分信息).
    由图中给出的信息解答下列问题:
    (1)求抽取的学生中选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数,并补全条形统计图.
    (2)求扇形统计图中“地铁小义工”活动所对应的扇形圆心角的度数.
    (3)若该校共有2000名学生,请根据抽样调查的结果,估计该校选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生约有多少人?
    【答案】(1)80人,作图见解析
    (2)
    (3)680人
    【解析】
    【分析】本题考查的是条形统计图,用样本估计总体,扇形统计图,能从统计图中获取有用信息是解题的关键.
    (1)先计算出总抽取人数,即可计算出选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数,补全条形统计图即可;
    (2)“地铁小义工”活动所对应的扇形圆心角的度数:,计算即可;
    (3)该校选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生约有:,计算即可.
    【小问1详解】
    由统计图可知抽取的学生人数为(人)
    所以选B活动的人数为(人)
    如图,
    【小问2详解】

    【小问3详解】
    (人).
    21. 小江和小北两人相约爬山锻炼身体,山顶距出发地路程为600米.小江爬到半山腰休息了5分钟,然后加速继续往上爬.小北因有事耽搁,出发晚了8分钟,为追赶小江,小北开始爬山的速度是小江休息前速度的2倍,但爬到半山腰体力不支,于是减速爬到山顶.两人距出发地路程y(米)与小江登山时间x(分钟)之间的函数关系如图所示(注:小江,小北每一段的爬行均视为匀速).
    (1)小江休息前登山的速度为______米/分钟,小北减速后登山的速度为______米/分钟.
    (2)求a的值.
    (3)若小江不想晚于小北到达山顶,则他加速后的速度至少要比原来提高多少米/分钟?
    【答案】(1)10,12
    (2)
    (3)小江加速后的速度至少要比原来提高米分钟.
    【解析】
    【分析】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
    (1)由图象可以直接求出小江休息前的速度;先求出小北减速前的速度,再求出他到达半山腰所用时间,再用路程除以时间求出他减速之后的速度;
    (2)由两人的路程相等列方程,解方程即可;
    (3)先求出小江到达山顶最多所用时间,再求出加速后的最小速度即可.
    【小问1详解】
    解:小江休息前登山的速度为(米分),
    小北开始爬山的速度是小江休息前速度的2倍,
    小北减速前的速度为20米分,
    小北到达半山腰所用时间为:(分,
    小北减速后登山的速度为(米分),
    故答案为:10,12;
    【小问2详解】
    解:根据题意得:,
    解得;
    【小问3详解】
    解:若小江不想晚于小北到达山顶,则他加速后到达山顶所需时间最多为(分钟),
    小江的速度至少为(米分),
    (米分),
    小江加速后的速度至少要比原来提高米分钟.
    22. 如图,在矩形中,分别以点A,点C为圆心,大于长为半径在线段的两侧分别画弧,得交点G,H,作经过点G,H的直线与线段的延长线分别交于点E,F,且与交于点O,连接.
    (1)判断四边形的形状,并说明理由.
    (2)若,,求的长.
    【答案】(1)四边形为菱形,理由见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】本题考查菱形的判定和性质,矩形的性质,勾股定理:
    (1)有作图可知是的中垂线,证明,推出四边形为平行四边形,再根据对角线垂直的平行四边形是菱形,即可得证;
    (2)设,在中,利用勾股定理进行求解即可.
    【小问1详解】
    四边形为菱形,理由如下:
    由作图可知:,.
    ∵矩形,
    ∴,
    ∴.
    在与中,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴四边形为平行四边形.
    又∵,
    ∴平行四边形为菱形.
    【小问2详解】
    在菱形中,,设,则,
    在中,,
    ∴,
    解得.
    ∴.
    23. 【问题背景】
    小明在某公园游玩时,对一口“喊泉”产生了兴趣,当人们在泉边喊叫时,泉口便会涌起泉水,声音越大,涌起的泉水越高,涌至最高点所需的时间也越长.
    【高度测算】
    小明借助测角仪测算泉水的高度.如图1,在A点测泉口B的俯角为15°;当第一次大喊时,泉水从泉口B竖直向上涌至最高点C,在A点测C点的仰角为75°.已知测角仪直立于地面,其高为1.5米.
    任务1 求第一次大喊时泉水所能达到的高度的值.(仅结果保留整数)(参考数据:,,)
    【初建模型】
    泉水边设有一个响度显示屏,在第一次大喊时显示数据为66分贝,而泉水高度h()与响度x(分贝)之间恰好满足正比例函数关系.
    任务2 根据任务1的结果和以上数据,得到h关于x的函数关系式为______.
    【数据分析】
    为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系,小明通过多次实验,记录数据如下表:
    任务3 为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系,请在图2中用描点法画出大致图象,并选取适当的数据,建立x关于t的函数关系式.
    【推理计算】
    据“喊泉”介绍显示,泉水最高可达50米.
    任务4 试根据以上活动结论,求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间.
    【答案】任务1:米;任务2:;任务3:;任务4:(秒)
    【解析】
    【分析】任务1:过点A作于点E,在中进行求解;
    任务2:设,把,代入得,即可求解;
    任务3:设,把,;,代入得,求解即可;
    任务4:,当时,,求解即可解得.
    【详解】解:任务1 高度测算
    法一:如图1,过点A作于点E,由题意得,,,
    ∴,,,
    ∵,∴,
    ∴,
    ∴.
    法二:如图1,过点A作于点E,
    由题意得,,,
    ∴,,,
    ∵,∴,
    ∴.
    任务2 初建模型
    设,把,代入得,
    ∴.
    任务3 数据分析
    如图2,由图象可知,x与t大致满足二次函数关系
    设,把,;,代入得
    ,解得,
    经检验,表中其他数据均满足,
    ∴.
    任务4 推理计算
    法一:,当时,,解得,(舍)
    法二:当时,,解得,
    当时,,解得,(舍).
    【点睛】本题考查了解直角三角形,一次函数,二次函数,二次函数的应用,解题的关键是利用待定系数法求解出函数解析式.
    24. 如图1,四边形内接于,点A是的中点,.直线与相切于点A,交的延长线于点E,已知,思考并解决以下问题:
    (1)求证:.
    (2)求的值.
    (3)如图2,在上取一点F,使.
    ①判断与的数量关系,并说明理由.
    ②如图3,作于点H,于点I.若,,连接,请直接写出的值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    (3)①,理由见解析;②
    【解析】
    【分析】(1)连接OA,根据是的切线,得出,进一步推出,得出,由圆周角定理得,即可得到;
    (2)根据点A是的中点即条件推出,由(1)得,证明出,即可得到;
    (3)①判断:,根据等角对等边即可证明;②连接OI,OB,先得出点A,I,O三点共线,进一步求出.设,,利用勾股定理,解得,,,,作,由题意得,进一步证明出,得出,作,利用勾股定理求出,即可求解.
    【小问1详解】
    解:连接OA,∵是的切线,
    ∴,
    ∵点A是的中点,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴.
    【小问2详解】
    解:∵点A是的中点,∵,
    ∵四边形ABCD内接于,
    ∴,
    由(1)得,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    【小问3详解】
    解:①判断:,理由:
    ∵,,
    ∴,
    ∴,
    ∵,,
    又∵,
    ∴,
    ∴.
    ②如上图,连接OI,OB.
    ∵,,
    ∴I是BD中点,
    ∴,
    ∴点A,I,O三点共线,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴.
    设,,
    则,,
    ,即,
    解得,
    ∴,,,
    作,
    ∵点F为角平分线交点,
    ∴,
    由题意得,
    ∴,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,
    ∴,即,
    ∴,
    作,,
    ∴,
    ∵,
    ∴.
    【点睛】本题考查了切线,圆周角定理,三角形相似的判定及性质,锐角三角函数,勾股定理,角平分线的性质等,解题的关键是掌握相关知识点,添加适当的辅助线,利用相似建立等式求解.
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