人教版选修2（理科）导数同步练习题

这是一份人教版选修2（理科）导数同步练习题，共27页。试卷主要包含了函数有，曲线在点处的切线方程为，函数有极值的充要条件是，函数在处的导数等于等内容，欢迎下载使用。

1．（2001•江西）函数有
A．极小值，极大值1B．极小值，极大值3
C．极小值，极大值2D．极小值，极大值3
2．（2004•黑龙江）曲线在点处的切线方程为
A．B．C．D．
3．（2004•湖北）已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为
A．B．
C．D．
4．（2004•湖南）若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是
A．B．
C．D．
5．（2004•湖北）函数有极值的充要条件是
A．B．C．D．
6．（2004•贵州）函数在处的导数等于
A．1B．2C．3D．4
7．（2004•湖南）设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且（3）．则不等式的解集是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
8．（2004•湖北）与直线的平行的抛物线的切线方程是
A．B．C．D．
9．（2004•江苏）函数在闭区间，上的最大值、最小值分别是
A．1，B．1，C．3，D．9，
10．（2004•浙江）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是
A．B．
C．D．
11．（2004•黑龙江）函数在下面哪个区间上是增函数
A．，B．C． ，D． ，
二．填空题（共3小题）
12．（2004•安徽）函数的最大值为 ．
13．（2004•重庆）已知曲线，则过点的切线方程是 ．
14．（2004•重庆）曲线与在交点处的切线夹角是 ．（以弧度数作答）
三．解答题（共14小题）
15．（2001•江西）设在处有极小值，试求、的值，并求出的单调区间．
16．（2002•天津）已知，函数，，设，记曲线在点，处的切线为，
（1）求的方程；
（2）设与轴交点为，证明：
①；
②若则．
17．（2004•安徽）已知抛物线，过上一点，且与处的切线垂直的直线称为在点的法线．
（Ⅰ）若在点的法线的斜率为，求点的坐标，；
（Ⅱ）设为对称轴上的一点，在上是否存在点，使得在该点的法线通过点？若有，求出这些点，以及在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．
18．（2004•福建）已知在区间，上是增函数．
（Ⅰ）求实数的值组成的集合；
（Ⅱ）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
19．（2004•黑龙江）已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）设，证明（a）（b）．
20．（2004•湖北）已知，，函数的图象与函数的图象相切．
（Ⅰ）求与的关系式（用表示；
（Ⅱ）设函数在内有极值点，求的取值范围．
21．（2004•山东）已知，求函数的单调区间．
22．（2004•湖南）已知函数，其中，为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）求函数在区间，上的最大值．
23．（2004•黑龙江）若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围．
24．（2004•贵州）求函数在，上的最大值和最小值．
25．（2004•天津）已知函数在处取得极值．
（Ⅰ）讨论（1）和是函数的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程．
26．（2004•贵州）已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且．
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求由直线、和轴所围成的三角形的面积．
27．（2004•天津）已知函数是上的奇函数，当时取得极值．
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明对任意，，不等式恒成立．
28．（2004•福建）已知在区间，上是增函数．
（Ⅰ）求实数的值组成的集合；
（Ⅱ）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
2005年前的导数题
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．（2001•江西）函数有
A．极小值，极大值1B．极小值，极大值3
C．极小值，极大值2D．极小值，极大值3
【分析】求出导函数，令导函数为0求根，判根左右两边的符号，据极值定义求出极值．
【解答】解：．
令得，．当时，，函数是减函数；
当时，，函数是增函数；
当时，，函数是减函数．
当时，函数有极小值；当时，函数有极大值3．
故选：．
【点评】判断导函数为0的根左右两边的符号：符号左边为正右边为负的根为极大值；符号左边为负右边为正的根为极小值．
2．（2004•黑龙江）曲线在点处的切线方程为
A．B．C．D．
【分析】首先判断该点是否在曲线上，①若在曲线上，对该点处求导就是切线斜率，利用点斜式求出切线方程；②若不在曲线上，想法求出切点坐标或斜率．
【解答】解：点在曲线上，，
，即切线斜率为．
利用点斜式，切线方程为，即．
故选：．
【点评】考查导数的几何意义，该题比较容易．
3．（2004•湖北）已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为
A．B．
C．D．
【分析】对于选项中给出的函数，依次求导，符合（1）即可．
【解答】解：中，
中，
中，
中，
依次将代入到各个选项中，只有中，（1）
故选：．
【点评】本题主要涉及的是导数的计算．
4．（2004•湖南）若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是
A．B．
C．D．
【分析】先判断函数的单调性，根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减得到答案．
【解答】解：函数是开口向上的二次函数，顶点在第四象限说明对称轴大于0
根据函数在对称轴左侧单调递减，导函数小于0；在对称轴右侧单调递增，导函数大于0知，满足条件
故选：．
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
5．（2004•湖北）函数有极值的充要条件是
A．B．C．D．
【分析】用排除法．
当时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除，；
当时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除，进而得到答案．
【解答】解：当时，函数是单调增函数无极值，故排除，
当时，函数是单调增函数无极值，故排除，
故选：．
【点评】本题主要考查函数极值的充要条件．做选择题时要选择最快的方法是很关键的问题，因为选择题都给一定的选项，所以排除法对做选择来说是一个很重要的方法．
6．（2004•贵州）函数在处的导数等于
A．1B．2C．3D．4
【分析】将函数化简成多项式函数后求导，将代入便求得结果．
【解答】解：
．
故选：．
【点评】本题考查了导数的运算，属于基础题．
7．（2004•湖南）设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且（3）．则不等式的解集是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【分析】先根据可确定，进而可得到在上递增，结合函数与的奇偶性可确定在上也是增函数，最后根据（3）可求得答案．
【解答】解：因，即
故在上递增，
又，分别是定义上的奇函数和偶函数，
为奇函数，关于原点对称，所以在上也是增函数．
（3）（3），
所以的解集为：或
故选：．
【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的运算，不等式的解法等，属于中档题．
8．（2004•湖北）与直线的平行的抛物线的切线方程是
A．B．C．D．
【分析】根据切线与直线的平行，可利用待定系数法设出切线，然后与抛物线联立方程组，使方程只有一解即可．
【解答】解：由题意可设切线方程为
联立方程组得
△解得，
切线方程为，
故选：．
【点评】本题主要考查了两条直线平行的判定，以及直线的一般式方程，属于基础题．
9．（2004•江苏）函数在闭区间，上的最大值、最小值分别是
A．1，B．1，C．3，D．9，
【分析】求导，用导研究函数在闭区间，上的单调性，利用单调性求函数的最值．
【解答】解：，，
故函数，上是增函数，在，上是减函数
又，，（1），．
故最大值、最小值分别为3，；
故选：．
【点评】本题考点是导数法求函数最值．此类解法的步骤是求导，确定极值点，研究单调性，求出极值与区间端点的函数值，再比较各数的大小，选出最大值与最小值．
10．（2004•浙江）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是
A．B．
C．D．
【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．
【解答】解：由的图象易得当或时，，
故函数在区间和上单调递增；
当时，，故函数在区间上单调递减；
故选：．
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
11．（2004•黑龙江）函数在下面哪个区间上是增函数
A．，B．C． ，D． ，
【分析】分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断，易用求其导数的方法来判断其在那个区间上是增函数．
【解答】解：
欲使导数为正，只需与符号总相反，
分析四个选项知，选项符合条件，
故选：．
【点评】考查判断函数单调性的方法．一般可以用定义法，导数法，其中导数法判断函数的单调性比较简便．
二．填空题（共3小题）
12．（2004•安徽）函数的最大值为 ．
【分析】求出得到驻点，讨论自变量的范围讨论函数单调性得到的最大值即可．
【解答】解：，当时，，在上为增函数．
当时，，在，上是减函数．
在上的最大值为．
故答案为
【点评】考查学生求导数的能力，利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．
13．（2004•重庆）已知曲线，则过点的切线方程是 或 ．
【分析】根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求得切线的斜率，再用点斜式写出化简即可，注意讨论切点．
【解答】解：在上，又，
斜率．
所求直线方程为，．
当切点不是点时，设切点为，，根据切线过点，可得：
又，可解出，（舍去，
所以切线方程为
即切线方程为
故答案为：或
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
14．（2004•重庆）曲线与在交点处的切线夹角是 ．（以弧度数作答）
【分析】先求出曲线与在交点坐标，然后分别求出两个函数在切点处的导数得到两切线的斜率，最后利用夹角公式求出两切线的夹角即可．
【解答】解：由得，，．
两曲线只有一个交点．
，．
又，当时，．
两曲线在交点处的切线斜率分别为、3，
．
夹角为．
故答案为：
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及夹角公式的运用等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题．
三．解答题（共14小题）
15．（2001•江西）设在处有极小值，试求、的值，并求出的单调区间．
【分析】由已知处有极小值，点在函数上，得方程组解之可得、．
【解答】解：，
由题意知
即
解之得，．
此时，．
当时，或，
当时，．
函数的单调增区间为和，减区间为，．
【点评】极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点．
16．（2002•天津）已知，函数，，设，记曲线在点，处的切线为，
（1）求的方程；
（2）设与轴交点为，证明：
①；
②若则．
【分析】（1）先求函数的导数，根据在点，处的切线的斜率等于在该点的导数值可得答案．
（2）①由（1）中切线方程令求出，然后作差即得证．
②将①中结论代入即可得证．
【解答】解：（1）的导数，
由此得切线的方程；
（2）①依题意，在切线方程中令，
得，
，
，当且仅当时取等成立．
②若，则，，
且由①，
所以．
【点评】本题主要考查导数的几何意义和不等式的证明．属中档题．
17．（2004•安徽）已知抛物线，过上一点，且与处的切线垂直的直线称为在点的法线．
（Ⅰ）若在点的法线的斜率为，求点的坐标，；
（Ⅱ）设为对称轴上的一点，在上是否存在点，使得在该点的法线通过点？若有，求出这些点，以及在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．
【分析】（1）由切线和法线垂直，则其斜率之积等于，可得处的切线的斜率，再根据导数的几何意义，结合已知即可求得点的坐标；
（2）设，为上一点，分和两种情况讨论，结合题意和导数的几何意义可得到等量关系，然后再分，，三种情况分析，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，处的切线的斜率，
，
，解得，
将代入中，解得，
；
（Ⅱ）设，为上一点，
①若，则上点处的切线斜率，过点 的法线方程为，此法线过点；
②若，则过点，的法线方程为：①
若法线过，则，即②
若，则，从而，将上式代入①，
化简得：或，
若与矛盾，若，则②式无解．
综上，当时，在上有三个点，，，及
，在这三点的法线过点，其方程分别为：
，，．
当时，在上有一个点，在这点的法线过点，其方程为：．
【点评】本题通过曲线的切线和法线问题，考查了导数的运算和几何意义，同时综合运用了分类讨论的数学思想，难度较大．
18．（2004•福建）已知在区间，上是增函数．
（Ⅰ）求实数的值组成的集合；
（Ⅱ）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）函数单调递增导数大于等于零列出不等式解之
（Ⅱ）根据一元二次方程根与系数的关系写出不等式先看成关于的不等式恒成立再看成关于的一次不等式恒成立，让两端点大等于零
【解答】解：（Ⅰ），
在，上是增函数，
对，恒成立，
即对，恒成立．①
设，
方法一：
①，
对，，是连续函数，且只有当时，以及当时，（1）
．方法二：
①或
或
．
对，，是连续函数，且只有当时，以及当时，（1）
．
（Ⅱ）由，得，△
，是方程的两非零实根，，，
从而．
，．
要使不等式对任意及，恒成立，
当且仅当对任意，恒成立，
即对任意，恒成立．②
设，
方法一：
②，（1），
或．
所以，存在实数，使不等式对任意及，恒成立，其取值范围是，或．
方法二：
当时，②显然不成立；
当时，
②，或，（1）
或．
所以，存在实数，使不等式对任意及，恒成立，其取值范围是，或．
【点评】本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．
19．（2004•黑龙江）已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）设，证明（a）（b）．
【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出的值，再判断函数的单调性，进而可求出最大值．
（2）先将，代入函数得到（a）（b）的表达式后进行整理，根据（1）可得到，将、放缩变形为、代入即可得到左边不等式成立，再用根据的单调性进行放缩．然后整理即可证明不等式右边成立．
【解答】（Ⅰ）解：函数的定义域为．
．令，解得．
当时，，当时，．又，
故当且仅当时，取得最大值，最大值为0．
（Ⅱ）证明：
．
由（Ⅰ）结论知，且，
由题设，
因此，
，
所以．
又，
．
综上．
【点评】本题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力．
20．（2004•湖北）已知，，函数的图象与函数的图象相切．
（Ⅰ）求与的关系式（用表示；
（Ⅱ）设函数在内有极值点，求的取值范围．
【分析】（1）注意把握题目中的信息，和在同一点处具有相同的切线斜率．即
（2）由构造的新函数在上有极值点，得到二次函数有两个零点，再将上题的结论代入可解．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，令，得，
故．由于，得．
，，．
（Ⅱ）．
．
令，即．
则△．
若△，则有一个实根，且的变化如下：
于是不是函数的极值点．若△，
则有两个不相等的实根，且的变化如下：
由此，是函数的极大值点，是函数的极小值点．
综上所述，当且仅当△时，函数在上有极值点．
．
，．
解之得或．
故所求的取值范围是，，．
【点评】本题考查导数、切线、极值等知识及综合运用数学知识解决问题的能力．其中三次多项式函数也是高考中对导数考查的常见载体．
21．（2004•山东）已知，求函数的单调区间．
【分析】本题考查利用导数求函数的单调区间，这一点不是很难，但要注意对进行分类讨论
【解答】解：函数的导数：．
当时，若，则，若，则．
所以当时，函数在区间内为减函数，在区间内为增函数．
当，
由．
所以，当时，函数在区间内为增函数，在区间，内为减函数，在区间内为增函数；
当时，由，解得，
由，解得或．
所以当时，函数在区间内为减函数，在区间内为增函数，在区间，内为减函数．
【点评】本小题主要考查导数的运算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想．
22．（2004•湖南）已知函数，其中，为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）求函数在区间，上的最大值．
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数，讨论，在函数的定义域内解不等式和即可．
（2）欲求函数在区间，上的最大值，先求在区间，上的单调性，讨论的值，分别求出最大值．
【解答】解：（Ⅰ）．
当时，令，得．
若，则，从而在上单调递增；
若，则，从而在上单调递减．
当时，令．
若，则，从而在上单调递减；
若上单调递增；
若，上单调递减．
（Ⅱ）当时，在区间，上的最大值是（1）．
当时，在区间，上的最大值是（1）．
当时，在区间，上的最大值是．
【点评】本小题主要考查函数的导数，单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于基础题．
23．（2004•黑龙江）若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围．
【分析】先求导数，在函数的定义域内解不等式和，这是一道求函数的单调性的逆向思维问题．本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，分类讨论解题一目了然，从而确定出的范围．
【解答】解：函数的导数．
令，解得或．
当，即时，函数在上为增函数，不合题意．
当，即时，函数在上为增函数，
在内为减函数，在上为增函数．
依题意应有
当时，，
当时，．
所以，解得．
所以的取值范围是，．
【点评】本题考查了利用导数分析函数的单调区间，以及求函数的单调性的逆向思维问题．
24．（2004•贵州）求函数在，上的最大值和最小值．
【分析】要求函数在区间的最值，求出导函数令其为零得到驻点，然后分区间讨论函数的增减性，求出函数的极大值，考虑闭区间两个端点对应的函数值的大小，最后判断出最大值和最小值即可．
【解答】解：，
令，
化简为，解得（舍去），．
当时，，单调增加；
当时，，单调减少．
所以为函数的极大值．
又因为，（2），（1）（2），
所以为函数在，上的最小值，
为函数；
在，上的最大值．
【点评】本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力．
25．（2004•天津）已知函数在处取得极值．
（Ⅰ）讨论（1）和是函数的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出，因为函数在处取得极值，即得到（1），代入求出与得到函数解析式，然后讨论利用的取值范围讨论函数的增减性，得到（1）和分别是函数的极小值和极大值；
（Ⅱ）先判断点不在曲线上，设切点为，，分别代入导函数和函数中写出切线方程，因为点在切线上，把坐标代入求出切点坐标即可求出切线方程．
【解答】（Ⅰ）解：，依
题意，（1），
即
解得，．
，．
令，得，．
若，，，
则，
故在上是增函数，在上是增函数．
若，
则，故在上是减函数．
所以，是极大值；（1）是极小值．
（Ⅱ）解：曲线方程为，点不在曲线上．
设切点为，，
则点的坐标满足．
因，
故切线的方程为
注意到点在切线上，有
化简得，
解得．
所以，切点为，切线方程为．
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及利用导数研究曲线上某点的切线方程的能力．
26．（2004•贵州）已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且．
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求由直线、和轴所围成的三角形的面积．
【分析】欲求直线的方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合即可求出切线的斜率．从而问题解决．
先通过解方程组得直线和的交点的坐标和、与轴交点的坐标，最后根据三角形的面积公式计算所求三角形的面积即可．
【解答】解：．
直线的方程为．
设直线过曲线上的点，则的方程为
因为，则有．
所以直线的方程为．
解方程组得
所以直线和的交点的坐标为．
、与轴交点的坐标分别为、．
所以所求三角形的面积．
【点评】本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
27．（2004•天津）已知函数是上的奇函数，当时取得极值．
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明对任意，，不等式恒成立．
【分析】（1）由奇函数的定义利用待定系数法求得，再由时取得极值．解得，从而确定函数，再利用导数求单调区间和极大值．
（2）由（1）知，是减函数，从而确定最小值，证明即可．
【解答】解：（1）由奇函数的定义，应有，
即
因此，
由条件（1）为的极值，必有（1），故
解得，
因此，，（1）
当时，，故在单调区间上是增函数
当时，，故在单调区间上是减函数
当时，，故在单调区间上是增函数
所以，在处取得极大值，极大值为
（2）由（1）知，是减函数，
且在，上的最大值，在，上的最小值（1）
所以，对任意的，，恒有
【点评】本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
28．（2004•福建）已知在区间，上是增函数．
（Ⅰ）求实数的值组成的集合；
（Ⅱ）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）直接求出函数的导函数，转化成不等式恒成立问题解决即可；
（Ⅱ）利用韦达定理先求出，变为不等式恒成立问题，再构造函数利用函数的导数求最值即可解决．
【解答】解：（Ⅰ），在，上是增函数，
对，恒成立，
即对，恒成立．①
设，
①，
对，，只有当时，以及当时，（1）
．
（Ⅱ）由，得，或，
△
，是方程的两非零实根，，，
从而．
，．
要使不等式对任意及，恒成立，
当且仅当对任意，恒成立，
即对任意，恒成立．②
设，
②且（1），
或．
所以，存在实数，使不等式对任意及，恒成立，
其取值范围是，或．
【点评】本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．
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日期：2020/10/9 9:39:05；用户：13102673937；邮箱：13102673937；学号：24072549


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