数学选修2（理科）导数课后练习题

这是一份数学选修2（理科）导数课后练习题，共58页。试卷主要包含了若在上是减函数，则的取值范围是，曲线在点处的切线的倾斜角为，设，若，则等于等内容，欢迎下载使用。

1．（2008•福建）函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则的值可以为
A．B．C．D．
2．（2008•全国卷Ⅱ）设曲线在点处的切线与直线平行，则
A．1B．C．D．
3．（2008•湖北）若在上是减函数，则的取值范围是
A．，B．C．，D．
4．（2008•福建）已知函数，的导函数的图象如图，那么，的图象可能是
A．B．
C．D．
5．（2008•辽宁）设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围是，则点横坐标的取值范围是
A．B．，C．，D．，
6．（2008•福建）如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是
A．B．
C．D．
7．（2008•广东）设，若函数，，有大于零的极值点，则
A．B．C．D．
8．（2008•广东）设，若函数，有大于零的极值点，则
A．B．C．D．
9．（2008•全国卷Ⅰ）曲线在点处的切线的倾斜角为
A．B．C．D．
10．（2008•海南）设，若，则等于
A．B．C．D．
11．（2008•全国卷Ⅰ）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为
A．2B．C．D．
12．（2008•全国）若直线与曲线相切于点，则直线的斜率为
A．B．C．D．
二．填空题（共4小题）
13．（2008•北京）如图，函数的图象是折线段，其中，，的坐标分别为，，，则 ； ．（用数字作答）
14．（2008•江苏）对于，总有成立，则 ．
15．（2008•江苏）设直线是曲线的一条切线，则实数的值为 ．
16．（2008•全国卷Ⅱ）设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
三．解答题（共34小题）
17．（2008•天津）已知函数，其中，．
（Ⅰ）若曲线在点，（2）处的切线方程为，求函数的解析式；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
18．（2008•北京）已知函数，且是奇函数．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
19．（2008•福建）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）记在区间，上的最小值为，令
如果对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围；
求证：．
20．（2008•海南）设函数，曲线在点，（2）处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
21．（2008•北京）已知函数，求导函数，并确定的单调区间．
22．（2008•全国卷Ⅱ）设，函数．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；
（Ⅱ）若函数，，，在处取得最大值，求的取值范围．
23．（2008•安徽）设函数且．
（1）求函数的单调区间；
（2）已知对任意成立，求实数的取值范围．
24．（2008•四川）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）若当，时，，求的最大值．
25．（2008•陕西）设函数，，其中实数．
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为（a），求（a）的值域；
（Ⅲ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围．
26．（2008•山东）设函数，已知和为的极值点．
（1）求和的值；
（2）讨论的单调性；
（3）设，试比较与的大小．
27．（2008•辽宁）设函数在，处取得极值，且．
（Ⅰ）若，求的值，并求的单调区间；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
28．（2008•江西）已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数的图象与直线恰有两个交点，求的取值范围．
29．（2008•天津）已知函数，其中，．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的，，不等式在，上恒成立，求的取值范围．
30．（2008•湖南）已知函数．
求函数的单调区间；
（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数）．求的最大值．
31．（2008•湖南）已知函数有三个极值点．
证明：；
若存在实数，使函数在区间，上单调递减，求的取值范围．
32．（2008•山东）已知函数，其中，为常数．
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，证明：对任意的正整数，当时，有．
33．（2008•全国卷Ⅱ）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．
34．（2008•四川）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对一切，，求的最大值．
35．（2008•浙江）已知是实数，函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设（a）为在区间，上的最小值．
写出（a）的表达式；
求的取值范围，使得（a）．
36．（2008•江西）已知函数，
（1）当时，求的单调区间；
（2）对任意正数，证明：．
37．（2008•安徽）设函数，其中为实数．
（1）已知函数在处取得极值，求的值；
（2）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．
38．（2008•四川）已知是函数的一个极值点．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围．
39．（2008•重庆）设函数，曲线通过点，且在点，
处的切线垂直于轴．
（Ⅰ）用分别表示和；
（Ⅱ）当取得最小值时，求函数的单调区间．
40．（2008•浙江）已知是实数，函数．
（Ⅰ）若（1），求的值及曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间，上的最大值．
41．（2008•海南）设函数，曲线在点，（2）处的切线方程是．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）证明：函数的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线上任意一点的切线与直线和直线所围成的三角形的面积是定值，并求出这个定值．
42．（2008•广东）设，函数，，，试讨论函数的单调性．
43．（2008•陕西）已知函数且，恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．
（Ⅰ）求函数的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围．
44．（2008•福建）已知函数的图象过点，且函数的图象关于轴对称．
（Ⅰ）求、的值及函数的单调区间；
（Ⅱ）若，求函数在区间内的极值．
45．（2008•四川）设和是函数的两个极值点．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的单调区间．
46．（2008•江苏）请先阅读：
在等式的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式，证明：．
（2）对于正整数，求证：
；
；
．
47．（2008•广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用
48．（2008•湖北）已知函数为常数，且有极大值9．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若斜率为的直线是曲线的切线，求此直线方程．
49．（2008•全国）设函数，数列的首项且，当时，．
（Ⅰ）求函数的最小值以及对应的的值；
（Ⅱ）证明：当时，都有．
50．（2008•全国）设，，，2，．
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）设，证明：当时，都有．
2008年的导数题
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2008•福建）函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则的值可以为
A．B．C．D．
【分析】本题可根据三角函数的平移变换及导函数进行分析即可求得答案．
【解答】解：，而的图象按向量平移后得到，所以，故可以为．
故选：．
【点评】本题考查三角函数的平移变换及导函数，注意按向量平移要注意方向．
2．（2008•全国卷Ⅱ）设曲线在点处的切线与直线平行，则
A．1B．C．D．
【分析】利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．
【解答】解：，
于是切线的斜率，切线与直线平行
有
故选：．
【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．
3．（2008•湖北）若在上是减函数，则的取值范围是
A．，B．C．，D．
【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案．
【解答】解：由题意可知，在上恒成立，
即在上恒成立，
由于在上是增函数且，所以，
故选：．
【点评】本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题．即导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．
4．（2008•福建）已知函数，的导函数的图象如图，那么，的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小可得答案．
【解答】解：从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除，
再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出的导函数的值在减小，
所以原函数应该斜率慢慢变小，排除，
故选：．
【点评】本题主要考查但函数的意义．建议让学生在最后一轮一定要回归课本，抓课本基本概念．
5．（2008•辽宁）设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围是，则点横坐标的取值范围是
A．B．，C．，D．，
【分析】根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线在点处斜率的取值范围，进而得到点横坐标的取值范围．
【解答】解：设点的横坐标为，
，
，
利用导数的几何意义得为点处切线的倾斜角），
又，，
．
故选：．
【点评】本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题．
6．（2008•福建）如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】由的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．
【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负，
故选：．
【点评】导数的正负决定函数的单调性．
7．（2008•广东）设，若函数，，有大于零的极值点，则
A．B．C．D．
【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定的范围．
【解答】解：，
．
由题意知有大于0的实根，令，，则两曲线交点在第一象限，
结合图象易得，
故选：．
【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即函数取到极值时一定有其导函数等于0，但反之不一定成立．
8．（2008•广东）设，若函数，有大于零的极值点，则
A．B．C．D．
【分析】题目中：“有大于零的极值点”问题往往通过导函数的零点问题：有正根，通过讨论此方程根为正根，
求得参数的取值范围．
【解答】解：设，则．
若函数在上有大于零的极值点．
即有正根．
当有成立时，显然有，
此时．
由，得参数的范围为．
故选：．
【点评】本题考查了导数的意义，利用导数求闭区间上函数的极值点，恒成立问题的处理方法．
9．（2008•全国卷Ⅰ）曲线在点处的切线的倾斜角为
A．B．C．D．
【分析】欲求在点处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知，再结合正切函数的值求出角的值即可．
【解答】解：，切线的斜率．故倾斜角为．
故选：．
【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．
10．（2008•海南）设，若，则等于
A．B．C．D．
【分析】求函数的导数，解导数方程即可．
【解答】解：，
，
由，
得，即
，则，
故选：．
【点评】本题主要考查导数的计算，比较基础．
11．（2008•全国卷Ⅰ）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为
A．2B．C．D．
【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到的值．
【解答】解：，
，
曲线在点处的切线的斜率，
曲线在点处的切线与直线垂直，
直线的斜率，即．
故选：．
【点评】本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与直线垂直的性质的灵活运用．
12．（2008•全国）若直线与曲线相切于点，则直线的斜率为
A．B．C．D．
【分析】求得的导数，由导数的几何意义，代入，可得所求斜率．
【解答】解：，即的导数为
，
可得直线的斜率为，
故选：．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，以及运算能力，属于基础题．
二．填空题（共4小题）
13．（2008•北京）如图，函数的图象是折线段，其中，，的坐标分别为，，，则 2 ； ．（用数字作答）
【分析】由函数的图象可知，，当，，所以由导数的几何意义知（1）．
【解答】解：，（4），（2），
由函数的图象可知，
，
由导数的几何意义知（1）．
答案：2；．
【点评】本题考查函数的图象，导数的几何意义．数形结合是最常用的手段之一，希望引起足够重视．
14．（2008•江苏）对于，总有成立，则 4 ．
【分析】这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①，②，③等三种情形．当时，不论取何值，都成立；当时有，可构造函数，然后利用导数求的最大值，只需要使，同理可得时的的范围，从而可得的值．
【解答】解：①若，则不论取何值，都成立；
②当，即，时，可化为
设，则，
所以在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，
因此，从而；
③当，即，时，可化为，
在区间，上单调递增，
因此，从而，综上．
答案为：4．
【点评】本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答．
15．（2008•江苏）设直线是曲线的一条切线，则实数的值为 ．
【分析】欲实数的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．
【解答】解：，令得，
切点为，代入直线方程，
，．
故答案为：
【点评】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
16．（2008•全国卷Ⅱ）设曲线在点处的切线与直线垂直，则 2 ．
【分析】根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可．
【解答】解：
曲线在点处的切线方程是，即
直线与直线垂直
，即．
故答案为：2
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．
三．解答题（共34小题）
17．（2008•天津）已知函数，其中，．
（Ⅰ）若曲线在点，（2）处的切线方程为，求函数的解析式；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即为点的斜率，再根据在点，（2）处的切线方程为，解出值；
（Ⅱ）由题意先对函数进行求导，解出极值点，因极值点含，需要分类讨论它的单调性；
（Ⅲ）已知，恒成立的问题，要根据（Ⅱ）的单调区间，求出的最大值，让的最大值小于10就可以了，从而解出值．
【解答】解：（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得（2），于是．
由切点，（2）在直线上可得，解得．
所以函数的解析式为．
（Ⅱ）解：．
当时，显然．这时在，上是增函数．
当时，令，解得．
当变化时，，的变化情况如下表：
所以在，上是增函数，在，上是减函数．
综上，当时，在，上是增函数；
当时，在，上是增函数，在，上是减函数．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与（1）的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，
即，对任意的成立．
从而得，所以满足条件的的取值范围是．
【点评】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．
18．（2008•北京）已知函数，且是奇函数．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
【分析】（1）先利用奇函数的定义求出，的值；
（2）求导数令其为0，判断根左右两边的符号，求出函数的单调性．注意对参数的讨论．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数为奇函数，
所以，对任意的，都有，即．
又
所以．
所以
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
所以．
当时，由得．变化时，的变化情况如下：
，时
，时
，时
所以，当时，函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增．
当时，，所以函数在上单调递增．
【点评】本题考查函数的奇偶性，利用导数求函数的单调区间的方法．注意：含参数的函数求单调性时一般需要讨论．
19．（2008•福建）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）记在区间，上的最小值为，令
如果对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围；
求证：．
【分析】（1）先求函数的导数，再根据导函数的正负和原函数的关系可得答案．
（2）先求出的值然后代入到放缩可得答案．
根据知，然后用数学归纳法证明即可．
【解答】解：（1）因为，所以函数定义域为，且．
由得，的单调递增区间为；
由’ 得，的单调递减区间为．
（2）因为在，上是减函数，所以，
则．
因为对恒成立．所以对恒成立．
则对恒成立．
设，，则对恒成立．
考虑．
因为，
所以在，内是减函数；则当时，随的增大而减小，
又因为．
所以对一切，，因此，即实数的取值范围是，．
（ⅱ）由（ⅰ）知．
下面用数学归纳法证明不等式
①当时，左边，右边，左边右边．不等式成立．
②假设当时，不等式成立．即．
当时，
，
即时，不等式成立
综合①、②得，不等式成立．
所以，
所以．
即．
【点评】本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力．此题为压轴题，所以平时可以让学生学会放弃一些自己能力范围之外的题目，把多余的时间多花点在中低档题目上，可是的分数呀，多么可观，可是纵观历年的高考成绩来看又有多少人真正的做到了．
20．（2008•海南）设函数，曲线在点，（2）处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【分析】（1）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点，（2）在曲线上，利用方程联立解出，
（2）可以设，为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线和直线联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可．
【解答】解析：（1）方程可化为，当时，，
又，于是，解得，故．
（2）设，为曲线上任一点，由知曲线在点，处的切线方程为，即
令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；
令，得，从而得切线与直线的交点坐标为，；
所以点，处的切线与直线，所围成的三角形面积为．
故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形面积为定值，此定值为6．
【点评】高考考点：导数及直线方程的相关知识
易错点：运算量大，不仔细而出错．
备考提示：运算能力一直是高考考查的能力之一，近年来，对运算能力的要求降低了，但对准确率的要求提高了．
21．（2008•北京）已知函数，求导函数，并确定的单调区间．
【分析】根据函数的求导法则进行求导，然后由导数大于0时原函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减可得答案．
【解答】解：．
令，得．
当，即时，的变化情况如下表：
当，即时，的变化情况如下表：
所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减．
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．
【点评】本题主要考查函数的求导方法和导数的应用．导数题一般不会太难但公式记忆容易出错，要熟练掌握简单函数的求导法则．
22．（2008•全国卷Ⅱ）设，函数．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；
（Ⅱ）若函数，，，在处取得最大值，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）导函数在处为零求，是必要不充分条件故要注意检验
（Ⅱ）利用最大值大于等于（2）求出的范围也是必要不充分条件注意检验
【解答】解：
（Ⅰ）．
因为是函数的极值点，所以（2），即，因此．
经验证，当时，是函数的极值点．
（Ⅱ）由题设，．
当在区间，上的最大值为时，（2），
即．
故得．
反之，当时，对任意，，，
而，故在区间，上的最大值为．
综上，的取值范围为．
【点评】当函数连续且可导，极值点处的导数等于零是此点为极值点的必要不充分条件，所以解题时一定注意检验．
23．（2008•安徽）设函数且．
（1）求函数的单调区间；
（2）已知对任意成立，求实数的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求单调区间既是求函数导数大于或小于0的区间，我们可以用图表表示使结果直观．
（Ⅱ）对于未知数在指数上的式子，往往取对数进行解答．
【解答】解：（Ⅰ），若，则，列表如下
函数在上单调递增，在，或上单调递减．
（Ⅱ）在两边取对数，得，由于，所以（1）
由（1）的结果可知，当时，，
为使（1）式对所有成立，当且仅当，即
【点评】求解此类问题要有耐心，避免不必要的计算错误．
24．（2008•四川）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）若当，时，，求的最大值．
【分析】（1）先对函数进行求导，令解出的范围得到其增区间，同理令解出的范围得到减区间；令解出的值得到极值点．
（2）先求出函数在区间，上的最大与最小值，由可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）．
于是，当时，；时，．
故在单调减少，在，单调增加．
当时，取得极大值；
当时，取得极小值（1）．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）及，（2），在，的最大值为4，最小值为1．
因此，当，时，的充要条件是，
即，满足约束条件，
由线性规划得，的最大值为7．
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系和函数的极值点与导数的关系，即令导数大于0可求函数的增区间，令导数小于0可求函数的减区间，令导数等于0可求其极值点．
25．（2008•陕西）设函数，，其中实数．
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为（a），求（a）的值域；
（Ⅲ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围．
【分析】（1）先对函数进行求导，令导函数大于0可求函数的增区间，令导函数小于0可求函数的减区间．
（2）令整理可得，故求出的范围，再根据存在最小值必有，最后求出（a）的值域即可．
（3）分别求出函数与的单调区间，然后令为二者单调增区间的子集即可．
【解答】解：（Ⅰ），又，
当时，；
当时，，
在和内是增函数，在内是减函数．
（Ⅱ）由题意知，
即恰有一根（含重根）．，即，
又，．
当时，才存在最小值，．
，
．
（a）；
（a）的值域为．
（Ⅲ）当时，在和内是增函数，在内是增函数．
由题意得，解得；
当时，在和内是增函数，在内是增函数．
由题意得，解得；
综上可知，实数的取值范围为，，．
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即当导函数小于0时原函数单调递减，当导函数大于0时原函数单调递增．
26．（2008•山东）设函数，已知和为的极值点．
（1）求和的值；
（2）讨论的单调性；
（3）设，试比较与的大小．
【分析】（Ⅰ）根据已知和为的极值点，易得（1），从而解出，的值．
（Ⅱ）利用导数求解函数单调的方法步骤，进行求解．
（Ⅲ）比较大小，做差，构造新函数，在定义域内，求解与0的关系．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
又和为的极值点，所以（1），
因此解方程组得，．
（Ⅱ）因为，，所以，
令，解得，，．
因为当，，时，；
当，，时，．
所以在和上是单调递增的；在和上是单调递减的．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，
故，令，则．
令，得，因为，时，，
所以在，上单调递减．故，时，（1）；
因为，时，，所以在，上单调递增．
故，时，（1）．
所以对任意，恒有，又，因此，
故对任意，恒有．
【点评】本题是一道关于函数的综合题，主要考查函数的单调性、极值等基础知识，应熟练掌握利用导数求解函数单调的方法步骤等问题．
27．（2008•辽宁）设函数在，处取得极值，且．
（Ⅰ）若，求的值，并求的单调区间；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由题意，求出其导数，令，求出极值点，利用求出值，并求的单调区间；
（Ⅱ）不知值，只知，由题意知，为方程的两根，得，求出的范围，因（a），求出（a）的单调区间，从而求出与的关系，最后根据的范围确定的范围．
【解答】解：．①（2分）
（Ⅰ）当时，；
由题意知，为方程的两根，所以．
由，得．（4分）
从而，．
当时，；当，，时，．
故在单调递减，在，单调递增．（6分）
（Ⅱ）由①式及题意知，为方程的两根，
所以．从而，
由上式及题设知．（8分）
考虑（a），．（10分）
故（a）在单调递增，在单调递减，从而（a）在，的极大值为．
又（a）在，上只有一个极值，所以为（a）在，上的最大值，且最小值为（1）．所以，即的取值范围为．（14分）
【点评】本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力．
28．（2008•江西）已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数的图象与直线恰有两个交点，求的取值范围．
【分析】（1）对函数求导，根据导数大于0时原函数单调增，导数小于0时原函数单调减可得到答案．
（2）求出函数的极值点，根据图象可得答案．
【解答】解：（1）因为
令得，，
由时，在根的左右的符号如下表所示
所以的递增区间为与，的递减区间为与
（2）由（1）得到，
要使的图象与直线恰有两个交点，如图示
或
故只要或，
即或．
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
29．（2008•天津）已知函数，其中，．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的，，不等式在，上恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）将的值代入后对函数进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间．
（2）根据函数仅在处有极值说明仅有一个根得到答案．
（3）根据函数的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出的范围．
【解答】解：（Ⅰ）．
当时，．
令，解得，，．
当变化时，，的变化情况如下表：
所以在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅱ），显然不是方程的根．
为使仅在处有极值，必须成立，即有△．
解些不等式，得．这时，是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是．
（Ⅲ）由条件，，可知△，从而恒成立．
当时，；当时，．
因此函数在，上的最大值是（1）与两者中的较大者．
为使对任意的，，不等式在，上恒成立，
当且仅当，即，在，上恒成立．
所以，因此满足条件的的取值范围是，．
【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
30．（2008•湖南）已知函数．
求函数的单调区间；
（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数）．求的最大值．
【分析】（Ⅰ）①函数的定义域是求判断正负②由于比较复杂令分子为判断单调性从而判断函数值正负③再令，可求当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数在处取得极大值，而，所以函数在上为减函数于是当时，，当时，．
（Ⅱ）借用（Ⅰ）结论将题设中不等式变形即可求出最大值．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是，．
设，则．
令，则．
当时，，在上为增函数，
当时，，在上为减函数．
所以在处取得极大值，而，所以，
函数在上为减函数．
于是当时，，
当时，．
所以，当时，，在上为增函数．
当时，，在上为减函数．
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅱ）不等式等价于不等式．
由知，．
设，
则．
由（Ⅰ）知，，即．
所以，，，于是在，上为减函数．
故函数在，上的最小值为．
所以的最大值为．
【点评】本题考查函数单调性问题，由于导函数过于复杂，方法中多次求导．
31．（2008•湖南）已知函数有三个极值点．
证明：；
若存在实数，使函数在区间，上单调递减，求的取值范围．
【分析】（1）题目中：“有三个极值点”先转化为其导数的零点问题，即有三个互异的实0即可；
（2）存在性问题，由于的单调递减区间是，，，，只需，是，或，的子集即可．
【解答】解：因为函数有三个极值点，
所以有三个互异的实根．
设，则，
当时，，在上为增函数；
当时，，在上为减函数；
当时，，在上为增函数；
所以函数在时取极大值，在时取极小值．
当或（1）时，最多只有两个不同实根．
因为有三个不同实根，所以且（1）．
即，且，
解得，且，故．
由的证明可知，当时，有三个极值点．
不妨设为，，，则．
所以的单调递减区间是，，，
若在区间，上单调递减，
则，，，或，，，
若，，，则．由知，，于是．
若，，，则且．由知，．
又，当时，；
当时，．
因此，当时，．所以，且．
即．故，或．反之，当，或时，
总可找到，使函数在区间，上单调递减．
综上所述，的取值范围是，，．
【点评】本题考查了导数的几何意义，利用导数求闭区间上函数的最值，恒成立问题的处理方法
32．（2008•山东）已知函数，其中，为常数．
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，证明：对任意的正整数，当时，有．
【分析】（1）欲求：“当时，”的极值，利用导数，求其导函数的零点及单调性进行判断即可；
（2）欲证：“”，令，利用导函数的单调性，只要证明函数的最大值是即可．
【解答】解：（Ⅰ）解：由已知得函数的定义域为，
当时，，所以．
（1）当时，由得，，
此时．
当时，，单调递减；
当，时，，单调递增．
（2）当时，恒成立，所以无极值．
综上所述，时，
当时，在处取得极小值，极小值为．
当时，无极值．
（Ⅱ）证法一：因为，所以．
当为偶数时，
令，
则．
所以当，时，单调递增，
又（2），
因此恒成立，
所以成立．
当为奇数时，要证，由于，所以只需证，
令，
则，
所以当，时，单调递增，又（2），
所以当时，恒有，即命题成立．
综上所述，结论成立．
证法二：当时，．
当时，对任意的正整数，恒有，
故只需证明．
令，，，
则，
当时，，故在，上单调递增，
因此当时，（2），即成立．
故当时，有．
即．
【点评】本题主要考查函数的导数、不等式等知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力．
33．（2008•全国卷Ⅱ）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数，在函数的定义域内解不等式和，求出单调区间．
（2）令，根据导数研究单调性的方法，即转化成研究对任何，都有恒成立，再利用分类讨论的方法求出的范围．
【解答】解：（Ⅰ）．（2分）
当时，，即；
当时，，即．
因此在每一个区间是增函数，在每一个区间是减函数．（6分）
（Ⅱ）令，则．
故当时，．
又，所以当时，，即．（9分）
当时，令，则．
故当，时，．
因此在，上单调增加．
故当时，，
即．
于是，当时，．
当时，有．
因此，的取值范围是．（12分）
【点评】本小题主要考查函数的导数、单调性、不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．
34．（2008•四川）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对一切，，求的最大值．
【分析】（Ⅰ）先确定函数的定义域然后求导数，在函数的定义域内解不等式和，求出单调区间，根据单调性的变换情况求出极值；
（Ⅱ）先求出的取值范围，求出的最值，因此对一切，的充要条件是，得到约束条件，由线性规划得的最大值即可．
【解答】解：（Ⅰ），
当时，；
当，，时，．
故在单调增加，在，单调减少．
的极小值，极大值（1）．
（Ⅱ）由知，
即．
由此及（Ⅰ）知的最大值为1，最小值为．
因此对一切，的充要条件是
即，满足约束条件，
由线性规划得，的最大值为5．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值和简单线性规划等有关知识，属于基础题．
35．（2008•浙江）已知是实数，函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设（a）为在区间，上的最小值．
写出（a）的表达式；
求的取值范围，使得（a）．
【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，，求出，因为为实数，讨论，得到得到函数的单调递增区间；若，令，得到函数驻点讨论取值得到函数的单调区间即可．
（Ⅱ）①讨论若，在，上单调递增，所以（a）；若，在上单调递减，在上单调递增，所以；若，在，上单调递减，所以．得到（a）为分段函数，写出即可；②令（a），代到第一段上无解；若，解得；若，解得．则求出的取值范围即可．
【解答】解；（Ⅰ）解：函数的定义域为，，．
若，则，有单调递增区间，．
若，令，得，当时，，
当时，．有单调递减区间，单调递增区间．
（Ⅱ）解：若，在，上单调递增，所以（a）．
若，在上单调递减，在上单调递增，
所以．若，在，上单调递减，
所以．
综上所述，
令（a）．若，无解．若，解得．
若，解得．故的取值范围为．
【点评】本题主要考查函数的性质、求导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．
36．（2008•江西）已知函数，
（1）当时，求的单调区间；
（2）对任意正数，证明：．
【分析】（1）把代入函数解析式，求出函数的导数，并判断导数的符号，得到函数的单调区间．
（2）令，则①，②，将解析式进行放缩，使用基本不等式，可证，由①、②式中关于，，的对称性，不妨设．则，当，将解析式进行放缩，可证；当③，将解析式进行放缩，再使用基本不等式证明，结论得证．
【解答】解：（1）当时，，求得，
于是当，时，；而当，时，．
即在，中单调递增，而在，中单调递减．
（2）对任意给定的，，由，
若令，则①，且②．
（一先证
因为，，，
又由，得．
所以
．
（二再证
由①、②式中关于，，的对称性，不妨设，则．
（ⅰ）当，则，所以，因为，，
此时，．
（ⅱ）当③，由①得，，，
因为，所以④，
同理得⑤．
于是⑥．
今证明⑦：
因为，故只要证，
即证，即证．
据③可得此式显然成立，因此⑦得证．
再由⑥可得．
综上所述，对任何正数，，皆有．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，用放缩法、基本不等式法证明不等式，体现分类讨论的数学思想，属于难题．
37．（2008•安徽）设函数，其中为实数．
（1）已知函数在处取得极值，求的值；
（2）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）求出，因为函数在时取极值，得到（1），代入求出值即可；
（2）把的解析式代入到不等式中，化简得到，因为，不等式恒成立即要，求出的解集即可．
【解答】解：（1）
由于函数在时取得极值，
所以（1）
即，
（2）由题设知：
对任意都成立
即
对任意都成立
于是对任意都成立，
即
于是的取值范围是．
【点评】考查学生会利用导数研究函数的极值，掌握不等式恒成立时所取的条件．以及会求一元二次不等式的解集．做题时学生应掌握转化的方法变形．
38．（2008•四川）已知是函数的一个极值点．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）先求导，再由是函数的一个极值点即求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）确定，，再由和求得单调区间．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，，可得的极大值为（1），极小值为（3），再由直线与函数的图象有3个交点则须有（3）（1）求解，因此，的取值范围为．
【解答】解：（Ⅰ）因为
所以
因此
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
当，，时，
当时，
所以的单调增区间是，，的单调减区间是
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，
在内单调减少，在上单调增加，且当或时，
所以的极大值为（1），极小值为（3）
因此（1），（3）
所以在的三个单调区间，，直线有的图象各有一个交点，当且仅当（3）（1）
因此，的取值范围为．
【点评】此题重点考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题；熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围．
39．（2008•重庆）设函数，曲线通过点，且在点，
处的切线垂直于轴．
（Ⅰ）用分别表示和；
（Ⅱ）当取得最小值时，求函数的单调区间．
【分析】（Ⅰ）把代入到的解析式中得到与的解析式，解出；求出，因为在点，处的切线垂直于轴，得到切线的斜率为0，即，代入导函数得到与的关系式，解出即可．
（Ⅱ）把第一问中的与代入中化简可得是关于的二次函数，根据二次函数求最值的方法求出的最小值并求出此时的、和的值，代入中得到函数的解析式，根据求导法则求出的导函数，将和代入即可得到，然后令求出的值，利用的值分区间讨论的正负即可得到的增减区间．
【解答】解：（Ⅰ）由得到．
因为曲线通过点，故，
又曲线在，处的切线垂直于轴，故，
即，因此．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
故当时，取得最小值．
此时有．
从而，，
所以．
令，解得，．
当时，，故在上为减函数；
当时，，故在上为增函数．
当时，，故在上为减函数．
由此可见，函数的单调递减区间为和；单调递增区间为．
【点评】本题是一道综合题，要求学生会利用导数研究函数的单调性，会利用导数研究曲线上某点的切线方程．做题时注意复合函数的求导法则．
40．（2008•浙江）已知是实数，函数．
（Ⅰ）若（1），求的值及曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间，上的最大值．
【分析】求出，利用（1）得到的值，然后把代入中求出（1）得到切点，而切线的斜率等于（1），写出切线方程即可；
令求出的值，利用的值分三个区间讨论的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值．
【解答】解：．因为（1），所以．
又当时，（1），（1），则切点坐标，斜率为3
所以曲线在，（1）处的切线方程为化简得．
令，解得．
当，即时，在，上单调递增，从而（2）．
当时，即时，在，上单调递减，从而．
当，即，在上单调递减，在上单调递增，从而
综上所述，．
【点评】本题主要考查导数的基本性质、导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．
41．（2008•海南）设函数，曲线在点，（2）处的切线方程是．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）证明：函数的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线上任意一点的切线与直线和直线所围成的三角形的面积是定值，并求出这个定值．
【分析】欲求在点，（2）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（Ⅱ）由函数，都是奇函数．可得和函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．再按向量平移，即得到函数的图象，故函数的图象是以点为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）先在曲线上任取一点．利用导数求出过此点的切线方程为，令得切线与直线交点．令得切线与直线交点．从而利用面积公式求得所围三角形的面积为定值．
【解答】解：（Ⅰ），
于是
解得或
因，，故．
（Ⅱ）证明：已知函数，都是奇函数．
所以函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．
而．可知，函数的图象按向量平移，即得到函数的图象，
故函数的图象是以点为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点．
由知，过此点的切线方程为．
令得，切线与直线交点为．
令得，切线与直线交点为，．
直线与直线的交点为．
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值2．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数解析式的求解及待定系数法等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
42．（2008•广东）设，函数，，，试讨论函数的单调性．
【分析】先求出的解析式，然后求出导函数，讨论与1的大小，然后分别讨论与0的大小，根据导函数的符号得到函数的单调区间．
【解答】解：
对于，
当时，函数在上是增函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数；
对于，
当时，函数在，上是减函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数．
【点评】本题主要考查了分段函数的单调性，导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．
43．（2008•陕西）已知函数且，恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．
（Ⅰ）求函数的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围．
【分析】（Ⅰ）原函数恰有一个极大值点和一个极小值点就是导函数恰有两个不等实根，利用根与系数的关系求出另一根即可．
（Ⅱ）根据开口向上和向下两种情况分别找到，再解即可．
【解答】解：（Ⅰ），
由题意知，即得，
，．
由得，
由韦达定理知另一个极值点为（或．
（Ⅱ）由式得，即．
当时，；当时，．
当时，在和内是减函数，在内是增函数．
，，
由及，解得．
当时，在和内是增函数，在内是减函数．
，恒成立．
综上可知，所求的取值范围为．
【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值以及对分类讨论思想的考查．分类讨论思想在数学中是非常重要的思想之一，所以希望能加强这方面的训练．
44．（2008•福建）已知函数的图象过点，且函数的图象关于轴对称．
（Ⅰ）求、的值及函数的单调区间；
（Ⅱ）若，求函数在区间内的极值．
【分析】（Ⅰ）利用条件的到两个关于、的方程，求出、的值，再找函数的导函数大于0和小于0对应的区间即可．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，分情况讨论区间和单调区间的位置关系再得结论．
【解答】解：（Ⅰ）由函数图象过点，得，①
由，得，
则；
而图象关于轴对称，所以，所以，
代入①得．
于是．
由得或，
故的单调递增区间是，；
由得，
故的单调递减区间是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
令得或．
当变化时，、的变化情况如下表：
由此可得：
当时，在内有极大值，无极小值；
当时，在内无极值；
当时，在内有极小值（2），无极大值；
当时，在内无极值．
综上得：当时，有极大值，无极小值，当时，有极小值，无极大值；当或时，无极值．
【点评】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．
45．（2008•四川）设和是函数的两个极值点．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的单调区间．
【分析】利用函数的导数在极值点处的值为0，列出方程组，求出，的值．
（Ⅱ）将，的值代入导函数，令导函数大于0求出解集为递增区间；令导函数小于0，求出解集为递减区间．
【解答】解：（Ⅰ）因为
由假设知：（1），（2）
解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
当，，，时，
当，，时，
因此的单调增区间是，，
的单调减区间是，
【点评】本题考查函数的极值点处的导数值为0、考查函数的单调性与导函数的符号有关：导函数大于0时，函数递增；导函数小于0时，函数递减．
46．（2008•江苏）请先阅读：
在等式的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式，证明：．
（2）对于正整数，求证：
；
；
．
【分析】（1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式．
（2）对（1）中的 赋值，整理得到恒等式．
对二项式的定理的两边对求导数，再对得到的等式对两边求导数，给赋值化简即得证．
对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式．
【解答】证明：（1）在等式两边对求导得
移项得
（2）在式中，令，整理得
所以
由（1）知，
两边对求导，得
在上式中，令，得
即，
亦即（1）
又由知（2）
由（1）（2）得
将等式两边在，上对积分
由微积分基本定理，得
所以
【点评】本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求系数和问题、考查微积分基本定理．
47．（2008•广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用
【分析】先设楼房每平方米的平均综合费为元，根据题意写出综合费关于的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而得出它的最小值即可．
【解答】解：方法1：导数法
设楼房每平方米的平均综合费为元，
则
，
令得
当时，；当时，
因此当时，取最小值；
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．
方法（本题也可以使用基本不等式求解）
设楼房每平方米的平均综合费为元，
则，
当且进行，即时取等号．
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．
【点评】本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．
48．（2008•湖北）已知函数为常数，且有极大值9．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若斜率为的直线是曲线的切线，求此直线方程．
【分析】求出导函数，求出导函数等于0的两个根，列出，，的变化情况的表格，求出极大值，列出方程求出的值．
将求出的的值代入导函数，利用曲线在切点处的导数值是切线的斜率，令导数等于，求出即切点横坐标，将横坐标代入求出切点坐标，利用直线方程的点斜式写出切线方程．
【解答】解：（Ⅰ）’ ，则或，
当变化时，’ 与的变化情况如下表：
从而可知，当时，函数取得极大值9，
即，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
依题意知’ ，或．
又，，
所以切线方程为，或，
即，或．
【点评】本题考查利用导数求函数的极值的步骤：求出导数；令导数为0求出根；列出表格判断根左右两边导函数的符号；求出极值．考查导数的几何意义：导数在切点处的值是曲线的切线斜率．
49．（2008•全国）设函数，数列的首项且，当时，．
（Ⅰ）求函数的最小值以及对应的的值；
（Ⅱ）证明：当时，都有．
【分析】（Ⅰ）求得的导数，求出单调区间，可得极小值，且为最小值；
（Ⅱ）由时，，结合函数的最小值，可得；再由当时，，
，可得．
【解答】解：（Ⅰ）函数的导数为：
，
当时，，递增；
当时，，递减，
可得处取得极小值，且为最小值；
（Ⅱ）证明：时，，
可得，
即有，
，，
，
由，
当时，，
，
可得，
即有，
可得当时，都有．
【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查数列不等式的证明，注意运用函数的最值和对数的运算性质，属于中档题．
50．（2008•全国）设，，，2，．
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）设，证明：当时，都有．
【分析】由，可得，进而得出．
，利用等比数列的求和公式、裂项求和方法即可得出，可得右侧成立，左边不等式结合二项式定理进行放缩即可证明．
【解答】解：，
，
，
．
证明：，
，
，右侧成立；
要证，时，即证：，
即证明．
，证明，
即证明：，即．
即证明，化为：，此式显然成立，因此左边成立．
【点评】本题考查了微积分基本定理、等比数列的求和公式、裂项求和方法、二项式定理、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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日期：2020/10/9 10:13:07；用户：13102673937；邮箱：13102673937；学号：24072549





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