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河南省洛阳市洛宁县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份河南省洛阳市洛宁县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含河南省洛阳市洛宁县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题原卷版docx、河南省洛阳市洛宁县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
2.本试卷设有答题卷，请将答案写涂在答题卷上，写在本试卷上无效．
一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分）
1. 下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此判断即可．
【详解】解：各式中是分式的有，，共2个，
故选：B．
2. 某种花粉的直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
3. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大为原来的9 倍
C. 扩大为原来的3 倍D. 缩小为原来的
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质是解题的关键．
根据分式的基本性质，可得答案．
【详解】把分子、分母中的x和y都扩大为原来的3倍得
约分后分式的值不变，
故选：A．
4. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于分式方程有增根得出最简公分母为，把分式方程化为整式方程，再把增根代入计算即可．
【详解】解：∵关于的分式方程有增根，
∴，
解得：，
原分式方程去分母后得：，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的增根，解题的关键是掌握最简公分母为是分式方程有增根的条件．
5. 某学校为进一步开展“阳光大课间”活动，购买了一批篮球和足球．已知购买足球数量是篮球的2倍，购买足球用了4000元，购买篮球用了2800元，篮球的单价比足球贵16元．篮球和足球的单价分别是多少元？小明列出了方程，则小明列的方程中表示的是（ ）
A. 足球的单价B. 篮球的单价C. 足球的数量D. 篮球的数量
【答案】D
【解析】
【分析】设篮球的数量为x个，足球的数量是个，列出分式方程解答即可．
【详解】解：设篮球的数量为x个，足球的数量是个．
根据题意可得：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，得到相应的关系式是解决本题的关键．
6. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，，则的解集是（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，先求出反比例函数表达式，进而求出点B的坐标，再根据利用函数图像与不等式的关系解不等式即可得到答案．
【详解】解：一次函数与反比例函数的图像交于点，，
，
∴当时，，
，，
的解集是指一次函数图像在反比例函数图像上方部分对应的自变量的范围，即或，
故选：C．
7. 已知一次函数y1=2x+m与y2=2x+n（m≠n）图象如图所示，则关于x与y的二元一次方程组 的解的个数为（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个
【答案】A
【解析】
【分析】图象可知，一次函数y1=2x+m与y2=2x+n（m≠n）是两条互相平行的直线，所以关于x与y的二元一次方程组无解．
【详解】∵一次函数y1=2x+m与y2=2x+n（m≠n）是两条互相平行的直线，
∴关于x与y的二元一次方程组无解．
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
8. 如图所示，在平行四边形中，EF过对角线的交点，若 AB=4，BC=7，OE=3，则四边形的周长是（ ）
A. 14B. 11C. 17D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由在平行四边形ABCD中，EF过两条对角线的交点O，易证得△AOF≌△COE，则可得，继而求得四边形FECD的周长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，CD=AB=4，AD=BC=7
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，OF=OE=3， ∴EF=6，
∴四边形EFDC的周长是：
CD+DF+EF+CE=CD+DF+AF+EF=CD+AD+EF=4+7+6=17．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．
9. 已知平行四边形中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形对角相等可得，结合已知可求出，然后根据平行四边形邻角互补得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角相等，邻角互补是解题的关键．
10. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象进行以下探究：①；②；③当时，；④若，，则，其中正确结论的个数共有（）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的性质，结合题意，对选项逐个判断即可．
【详解】解：由图像可得经过二、三、四象限，
∴，，①正确
由图象可得：经过一、三、四象限，
∴，
∴，②正确；
由图象可得，当时，，③正确；
由题意可得，和经过点
则，
又∵，
解得，
则：，
将代入，，解得，
即，，
，④错误
正确的个数为3
故选：C
【点睛】此题考查了一次函数的几何应用，图象与系数的关系，一次函数交点问题等，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质．
二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分）
11. 使得分式有意义的条件是________．
【答案】x≠﹣3
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件可得：x+3≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：x+3≠0，
解得：x≠﹣3，
故答案为：x≠﹣3．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为零是解题的关键．
12. 已知点与点关于轴对称，则的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查关于轴对称点的特征，根据关于轴对称横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可得到答案；
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
13. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图像，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解．
【详解】解：依题意，3分钟进水30升，则进水速度为升/分钟，
3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完直至容器中的水全部排完，
则排水速度为升/分钟，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数图象问题，从函数图象获取信息是解题的关键．
14. 如图，在中，，于点E，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】证明，，由，可得，结合，可得．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．
15. 如图，为双曲线上的一点，轴，垂足为，交双曲线于，轴，垂足为，交双曲线于，连接，则的面积是____．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，求得、 的坐标，进而求得、，最后根据三角形的面积公式求得结果．
【详解】设 ，则 ，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形的面积，解题的关键用点的横坐标表示与 ．
三、解答题：（本题共8小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）10 （2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算和实数混合运算，解题的关键是掌握实数运算、分式运算的顺序及相关运算法则．
（1）先算零指数幂，负整数指数幂及乘方运算，再算加法即可；
（2）先对小括号里的分式进行通分计算；再按分式乘法法则计算即可．
【小问1详解】
；
小问2详解】
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】（1）方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程，进而解方程即可求解，最后要检验；
（2）方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程，进而解方程即可求解，最后要检验
【小问1详解】
（1）
方程两边同时乘以最简公分母，
解得：
经检验，是原方程的解，
【小问2详解】
方程两边同时乘以最简公分母，
即
解得：，
当时，，
∴是方程的增根，原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
19. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元；
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．
【答案】（1）2000元；（2）A型车20辆，B型车40辆
【解析】
【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得：
，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得
y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a），
y=－300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60-a≤2a，
∴a≥20．
∵y=－300a+36000．
∴k=－300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y最大=30000元．
∴B型车的数量为：60-20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程．
20. 如图所示，在中，对角线与相交于点，点，在对角线上．且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的判定；根据平行四边形的性质与已知条件，得出，证明，得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证．
【详解】四边形是平行四边形
，
在和中，
，
∴．
21. 如图：在平行四边形ABCD边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．
（1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠NAF=35°．
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质，根据SAS即可证明；
（2）利用全等三角形的性质可知∠NAF=∠ECM，求出∠ECM即可.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN=∠CEM，
∵FN=EM，AF=CE，
∴△AFN≌△CEM（SAS）．
（2）解：∵△AFN≌△CEM，
∴∠NAF=∠ECM，
∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，
∴107°=72°+∠ECM，
∴∠ECM=35°，
∴∠NAF=35°．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22. 教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
【答案】（1）当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；
（2）a＝40； （3）李老师要在7：38到7：50之间接水
【解析】
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案；
（3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
【小问1详解】
当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，
解得k1＝10，b＝20．
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．
当8＜x≤a时，设y＝，
将（8，100）的坐标代入y＝，
得k2＝800
∴当8＜x≤a时，y＝．
综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝．
小问2详解】
将y＝20代入y＝，
解得x＝40，
即a＝40；
【小问3详解】
当y＝40时，x＝＝20．
∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，
即李老师要在7：38到7：50之间接水．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
23. 如图，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=OB=3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤的解集；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由
【答案】（1）；（2）-3≤x＜0；（3）存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12）
【解析】
【分析】（1）根据平行线分线段成比例性质可得，求出A（3，0），B（0，4），C（-3，8），再用待定系数法求解；（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围：0＜-x+4≤-；（3）△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，有BC=BP或BC=PC两种情况.
【详解】解：（1）∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴，
∴CD=2OB=8，
∵OA=OD=OB=3，
∴A（3，0），B（0，4），C（-3，8），
把A、B两点的坐标分别代入y=ax+b可得
，解得，
∴一次函数解析式为，
∵反比例函数y=的图象经过点C，
∴k=-24，
∴反比例函数的解析式为y=-
（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，
即线段BC（包含C点，不包含B点）所对应的自变量x的取值范围，
∵C（-3，8），
∴0＜-x+4≤-的解集为-3≤x＜0
（3）∵B（0，4），C（-3，8），
∴BC=5，
∵△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，
∴有BC=BP或BC=PC两种情况，
①当BC=BP时，即BP=5，
∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP-OB=5-4=1，
∴P点坐标为（0，9）或（0，-1）；
②当BC=PC时，则点C在线段BP的垂直平分线上，
∴线段BP的中点坐标为（0，8），
∴P点坐标为（0，12）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12）
【点睛】考核知识点：相似三角形，反比例函数.数形结合分类讨论是关键.
2.本试卷设有答题卷，请将答案写涂在答题卷上，写在本试卷上无效．
一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分）
1. 下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此判断即可．
【详解】解：各式中是分式的有，，共2个，
故选：B．
2. 某种花粉的直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
3. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大为原来的9 倍
C. 扩大为原来的3 倍D. 缩小为原来的
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质是解题的关键．
根据分式的基本性质，可得答案．
【详解】把分子、分母中的x和y都扩大为原来的3倍得
约分后分式的值不变，
故选：A．
4. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于分式方程有增根得出最简公分母为，把分式方程化为整式方程，再把增根代入计算即可．
【详解】解：∵关于的分式方程有增根，
∴，
解得：，
原分式方程去分母后得：，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的增根，解题的关键是掌握最简公分母为是分式方程有增根的条件．
5. 某学校为进一步开展“阳光大课间”活动，购买了一批篮球和足球．已知购买足球数量是篮球的2倍，购买足球用了4000元，购买篮球用了2800元，篮球的单价比足球贵16元．篮球和足球的单价分别是多少元？小明列出了方程，则小明列的方程中表示的是（ ）
A. 足球的单价B. 篮球的单价C. 足球的数量D. 篮球的数量
【答案】D
【解析】
【分析】设篮球的数量为x个，足球的数量是个，列出分式方程解答即可．
【详解】解：设篮球的数量为x个，足球的数量是个．
根据题意可得：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，得到相应的关系式是解决本题的关键．
6. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，，则的解集是（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，先求出反比例函数表达式，进而求出点B的坐标，再根据利用函数图像与不等式的关系解不等式即可得到答案．
【详解】解：一次函数与反比例函数的图像交于点，，
，
∴当时，，
，，
的解集是指一次函数图像在反比例函数图像上方部分对应的自变量的范围，即或，
故选：C．
7. 已知一次函数y1=2x+m与y2=2x+n（m≠n）图象如图所示，则关于x与y的二元一次方程组 的解的个数为（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个
【答案】A
【解析】
【分析】图象可知，一次函数y1=2x+m与y2=2x+n（m≠n）是两条互相平行的直线，所以关于x与y的二元一次方程组无解．
【详解】∵一次函数y1=2x+m与y2=2x+n（m≠n）是两条互相平行的直线，
∴关于x与y的二元一次方程组无解．
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
8. 如图所示，在平行四边形中，EF过对角线的交点，若 AB=4，BC=7，OE=3，则四边形的周长是（ ）
A. 14B. 11C. 17D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由在平行四边形ABCD中，EF过两条对角线的交点O，易证得△AOF≌△COE，则可得，继而求得四边形FECD的周长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，CD=AB=4，AD=BC=7
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，OF=OE=3， ∴EF=6，
∴四边形EFDC的周长是：
CD+DF+EF+CE=CD+DF+AF+EF=CD+AD+EF=4+7+6=17．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．
9. 已知平行四边形中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形对角相等可得，结合已知可求出，然后根据平行四边形邻角互补得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角相等，邻角互补是解题的关键．
10. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象进行以下探究：①；②；③当时，；④若，，则，其中正确结论的个数共有（）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的性质，结合题意，对选项逐个判断即可．
【详解】解：由图像可得经过二、三、四象限，
∴，，①正确
由图象可得：经过一、三、四象限，
∴，
∴，②正确；
由图象可得，当时，，③正确；
由题意可得，和经过点
则，
又∵，
解得，
则：，
将代入，，解得，
即，，
，④错误
正确的个数为3
故选：C
【点睛】此题考查了一次函数的几何应用，图象与系数的关系，一次函数交点问题等，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质．
二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分）
11. 使得分式有意义的条件是________．
【答案】x≠﹣3
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件可得：x+3≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：x+3≠0，
解得：x≠﹣3，
故答案为：x≠﹣3．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为零是解题的关键．
12. 已知点与点关于轴对称，则的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查关于轴对称点的特征，根据关于轴对称横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可得到答案；
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
13. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图像，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解．
【详解】解：依题意，3分钟进水30升，则进水速度为升/分钟，
3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完直至容器中的水全部排完，
则排水速度为升/分钟，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数图象问题，从函数图象获取信息是解题的关键．
14. 如图，在中，，于点E，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】证明，，由，可得，结合，可得．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．
15. 如图，为双曲线上的一点，轴，垂足为，交双曲线于，轴，垂足为，交双曲线于，连接，则的面积是____．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，求得、 的坐标，进而求得、，最后根据三角形的面积公式求得结果．
【详解】设 ，则 ，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形的面积，解题的关键用点的横坐标表示与 ．
三、解答题：（本题共8小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）10 （2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算和实数混合运算，解题的关键是掌握实数运算、分式运算的顺序及相关运算法则．
（1）先算零指数幂，负整数指数幂及乘方运算，再算加法即可；
（2）先对小括号里的分式进行通分计算；再按分式乘法法则计算即可．
【小问1详解】
；
小问2详解】
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】（1）方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程，进而解方程即可求解，最后要检验；
（2）方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程，进而解方程即可求解，最后要检验
【小问1详解】
（1）
方程两边同时乘以最简公分母，
解得：
经检验，是原方程的解，
【小问2详解】
方程两边同时乘以最简公分母，
即
解得：，
当时，，
∴是方程的增根，原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
19. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元；
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．
【答案】（1）2000元；（2）A型车20辆，B型车40辆
【解析】
【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得：
，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得
y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a），
y=－300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60-a≤2a，
∴a≥20．
∵y=－300a+36000．
∴k=－300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y最大=30000元．
∴B型车的数量为：60-20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程．
20. 如图所示，在中，对角线与相交于点，点，在对角线上．且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的判定；根据平行四边形的性质与已知条件，得出，证明，得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证．
【详解】四边形是平行四边形
，
在和中，
，
∴．
21. 如图：在平行四边形ABCD边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．
（1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠NAF=35°．
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质，根据SAS即可证明；
（2）利用全等三角形的性质可知∠NAF=∠ECM，求出∠ECM即可.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN=∠CEM，
∵FN=EM，AF=CE，
∴△AFN≌△CEM（SAS）．
（2）解：∵△AFN≌△CEM，
∴∠NAF=∠ECM，
∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，
∴107°=72°+∠ECM，
∴∠ECM=35°，
∴∠NAF=35°．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22. 教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
【答案】（1）当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；
（2）a＝40； （3）李老师要在7：38到7：50之间接水
【解析】
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案；
（3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
【小问1详解】
当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，
解得k1＝10，b＝20．
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．
当8＜x≤a时，设y＝，
将（8，100）的坐标代入y＝，
得k2＝800
∴当8＜x≤a时，y＝．
综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝．
小问2详解】
将y＝20代入y＝，
解得x＝40，
即a＝40；
【小问3详解】
当y＝40时，x＝＝20．
∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，
即李老师要在7：38到7：50之间接水．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
23. 如图，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=OB=3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤的解集；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由
【答案】（1）；（2）-3≤x＜0；（3）存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12）
【解析】
【分析】（1）根据平行线分线段成比例性质可得，求出A（3，0），B（0，4），C（-3，8），再用待定系数法求解；（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围：0＜-x+4≤-；（3）△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，有BC=BP或BC=PC两种情况.
【详解】解：（1）∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴，
∴CD=2OB=8，
∵OA=OD=OB=3，
∴A（3，0），B（0，4），C（-3，8），
把A、B两点的坐标分别代入y=ax+b可得
，解得，
∴一次函数解析式为，
∵反比例函数y=的图象经过点C，
∴k=-24，
∴反比例函数的解析式为y=-
（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，
即线段BC（包含C点，不包含B点）所对应的自变量x的取值范围，
∵C（-3，8），
∴0＜-x+4≤-的解集为-3≤x＜0
（3）∵B（0，4），C（-3，8），
∴BC=5，
∵△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，
∴有BC=BP或BC=PC两种情况，
①当BC=BP时，即BP=5，
∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP-OB=5-4=1，
∴P点坐标为（0，9）或（0，-1）；
②当BC=PC时，则点C在线段BP的垂直平分线上，
∴线段BP的中点坐标为（0，8），
∴P点坐标为（0，12）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12）
【点睛】考核知识点：相似三角形，反比例函数.数形结合分类讨论是关键.
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