江苏省盐城市东台市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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满分：150分，考试时间：120分钟
一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1. 的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
2. 垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 近年来，盐城市大力发展数字经济，去年数字经济核心产业销售约2540亿元，同比增长，销售规模较2021年1200亿元实现翻番，其中2540用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算中，正确是( )
A. B.
C. D.
5. 已知一次函数，若，则它的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第二、三、四象限D. 第一、三、四象限
6. 如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
7. 明代的数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之少四两，五两分之多半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤（注：明代1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）．设共有两银子，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9. 25的平方根是_____．
10 分解因式：______．
11. “某种彩票的中奖率为，则购买100张这种彩票能中奖”是_______（填“随机”“必然”或“不可能”）事件．
12. 函数的自变量x的取值范围是_____．
13. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，位似比是，若点B的坐标为，则点E的坐标是____________．
14. 若二次函数（a、b、c为常数）图像如图所示，则关于x的不等式的解集为_______________．
15. 如图，矩形中，，，以为直径的半圆O与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为_____．（结果保留π）
16. 如图，边长为8的正方形中，顶点A落在矩形的边上，，而矩形的顶点G恰好落在边上．点O是边上一动点（不与A，B重合），以O为圆心，长为半径作圆，当与矩形的边相切时，的长为_____________________．
三．解答题（共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 解不等式组：并写出它的所有正整数解．
19. 已知，求代数式的值．
20. 、、、四名选手参加赛跑，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签方式决定各自的跑道，请用画树状图或列表的方法，求、两位选手抽中相邻跑道的概率．
21. 一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于A,B两点，其中．
（1）求反比例函数表达式；
（2）结合图像，直接写出时，x的取值范围；
（3）若把一次函数的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，请直接写出b的值．
22. 小红家到学校有两条公共汽车线路．为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择A线路，第二周（5个工作日）选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位：）
数据统计表
根据以上信息解答下列问题：
（1）填空： ； ；
（2）求B线路所用时间的平均数b；
（3）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．
23. 在矩形中，．
（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图．先在上确定点，使．再在上确定点，使以为圆心的圆经过点和点；
（2）在(1)的条件下，若，且，求的长．
24.
2023年中央电视台兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿，图2是平面示意图．若舞者上半身为1.1米，下半身为0.6米，下半身与水平面的夹角，与上半身的夹角．（参考数据：，，，结果精确到0.01米）

（1）求此时舞者的垂直高度约为多少米；
（2）如图3，下半身与水平面的夹角不变，当与在同一直线上时，舞者的垂直高度增加了多少米？
25. 某公司电商平台，在元旦期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润w（元）的三组对应数据．
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）：
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；
（3）后来，该商品进价提高了m（元/件），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是5400元，求m的值．
26. 定义：在平面直角坐标系中，我们称抛物线为直线的“共生抛物线”．
（1）如图1，直线与其中一条“共生抛物线”交于A，B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点，求这条“共生抛物线”的表达式及点A的坐标；
（2）将（1）中的共生抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，图像其余的部分保持不变，得到的新函数图像记为G．点在图像G上，且，求m的取值范围；
（3）如图2，直线与y轴交于点，依次作正方形，正方形，…，正方形（n为正整数），使得点，，，…，均在直线上，点，，，…，在x轴负半轴上．
①直接写出下列点的坐标： ， ， ， ．
②试判断点， …，是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．
27. 【问题情境】如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，．矩形顶点C从O点出发沿x轴的正半轴向右运动，矩形的另一个顶点B随之在y轴的正半轴上运动，当点B回到O点时运动也随之停止．
【问题提出】如图2．
（1）当时，点A的坐标为 ；
（2）在运动过程中，取的中点Q，连接、，求和的长并直接写出的最大值；
【问题探究】
（3）如图3，点P线段上一点，．
①在运动过程中，的大小是否会发生改变，如果不变，请求出这个角的正切值，如果改变，请说明理由；
②从运动开始到运动停止，请直接写出点P所走过的路程．

试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A线路所用时间
15
32
15
16
34
18
21
14
35
20
B线路所用时间
25
29
23
25
27
26
31
28
30
24
平均数
中位数
众数
方差
A线路所用时间
22
a
15
63.2
B线路所用时间
b
26.5
C
6.36
x
40
70
90
y
240
120
40
w
4800
6000
2800