山东省枣庄市第三中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(原卷版+解析版)
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注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方.
2.回答选择题时,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡指定位置上,写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 甲,乙,丙3位同学到4个社区参加志愿服务,每人限去一个社区,不同方法的种数是( )
A. 24B. 36C. 64D. 81
2. 已知为的导数,且,则( )
A. -2B. -1C. 1D. 2
3. 曲线在处的切线斜率为( )
A 0B. C. D.
4. 下列公式错误的是( )
A. B. C. D.
5. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a,b,m为整数,若和被除得的余数相同,则称和对模同余,记为.若,则的值可以是( )
A. 2020B. 2021C. 2022D. 2024
6. 若点是曲线上任意一点,则点到直线的最小距离为( )
A. 1B. C. D.
7. 现有5名毕业生去枣庄三中、枣庄八中、滕州一中三所学校去应聘,若每人至多被一所学校录用,每所学校至少录用其中一人,则不同的录取情况种数是( )
A 420B. 390C. 360D. 300
8. 已知定义在上的函数满足,且,则( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 下列求导公式正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 已知,则下列命题正确的是( )
A. ;B. ;
C. ;D. .
11. 设M,N为随机事件,且,则下列说法正确的是( )
A. 若,则;
B. 若,则M,N可能不相互独立;
C. 若,则;
D. 若,则.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 函数的极大值为______.
13. 在的展开式中,的系数是__________.
14. 关于的方程有解,则实数的取值范围______.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. 在一个不透明的袋子里装有3个黑球,2个红球,1个白球,从中任意取出2个球,然后再放入1个红球和1个白球.
(1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率;
(2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量,求的分布列.
16. 用二项式定理展开,
(1)求展开式中的常数项;
(2)求展开式中系数最大项.
17. 有3台车床加工同一型号零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起,已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
(1)任取一个零件,计算它是次品的概率;
(2)如果取到零件是次品,计算它是第1台车床所加工的概率(结果用分数表示);
(3)参照第(2)问给出判断,求第1,2,3台车床操作员对加工次品分别应承担的份额.
18. 已知.
(1)求的单调区间;
(2)函数的图象上是否存在两点(其中),使得直线与函数的图象在处的切线平行?若存在,请求出直线;若不存在,请说明理由.
19. 一般地,设函数在区间[a,b]上连续,用分点将区间[a,b]分成个小区间.每个小区间长度为.在每个小区间上任取一点作和式.如果无限接近于0(亦即)时,上述和式无限趋于常数,那么称该常数为函数在区间[a,b]上的定积分,记为.当时,定积分的几何意义表示由曲线,两条直线与轴所围成的曲边梯形的面积.如下图所示:
如果函数是区间[a,b]上的连续函数,并且,那么
(1)求;
(2)设函数.
①若恒成立,求实数的取值范围;
②数列满足,利用定积分的几何意义,证明:.
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