山东省枣庄市第三中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方．
2．回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是（ ）
A. 24B. 36C. 64D. 81
2. 已知为的导数，且，则（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
3. 曲线在处的切线斜率为（ ）
A 0B. C. D.
4. 下列公式错误的是（ ）
A. B. C. D.
5. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，则的值可以是（ ）
A. 2020B. 2021C. 2022D. 2024
6. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A. 1B. C. D.
7. 现有5名毕业生去枣庄三中、枣庄八中、滕州一中三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中一人，则不同的录取情况种数是（ ）
A 420B. 390C. 360D. 300
8. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列求导公式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知，则下列命题正确的是（ ）
A. ；B. ；
C. ；D. ．
11. 设M，N为随机事件，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则；
B. 若，则M，N可能不相互独立；
C. 若，则；
D. 若，则．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的极大值为______．
13. 在的展开式中，的系数是__________.
14. 关于的方程有解，则实数的取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球．
（1）求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；
（2）设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列．
16. 用二项式定理展开，
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中系数最大项．
17. 有3台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到零件是次品，计算它是第1台车床所加工的概率（结果用分数表示）；
（3）参照第（2）问给出判断，求第1，2，3台车床操作员对加工次品分别应承担的份额.
18. 已知.
（1）求的单调区间；
（2）函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.
19. 一般地，设函数在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]分成个小区间．每个小区间长度为．在每个小区间上任取一点作和式．如果无限接近于0（亦即）时，上述和式无限趋于常数，那么称该常数为函数在区间[a，b]上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两条直线与轴所围成的曲边梯形的面积．如下图所示：
如果函数是区间[a，b]上的连续函数，并且，那么
（1）求；
（2）设函数．
①若恒成立，求实数的取值范围；
②数列满足，利用定积分的几何意义，证明：．