2024年广东省广州大学附中中考数学一模试卷

这是一份2024年广东省广州大学附中中考数学一模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在3，﹣7，0，四个数中，最大的数是（ ）
A．3B．﹣7C．0D．
2．（3分）由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8B．3a3﹣a3＝2a
C．（ab2）3＝a3b6D．（a+b）2＝a2+b2
5．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．1≤x＜2B．x≤1C．x＞2D．1＜x≤2
6．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
7．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）关于x的函数y＝kx﹣k和在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）已知二次函数y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2为常数），若1＜x1＜x2＜3，记t＝a+b，则（ ）
A．﹣3＜t＜0B．﹣1＜t＜0C．﹣1＜t＜3D．0＜t＜3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）某种颗粒的半径约为0.000025米，用科学记数法表示这个数为 米．
12．（3分）分解因式：2m2﹣8＝ ．
13．（3分）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 m．
14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．则CD与BD的数量关系是 ．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上．将沿AC翻折与AB交于点D．若OA＝3cm，的度数为40°，则＝ cm．
16．（3分）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）解方程：x2﹣2x＝4．
18．（4分）如图，AB∥CD，∠B＝∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F，求证：∠DEF＝∠F．
19．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x满足x2﹣x﹣1＝0．
20．（6分）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 ；
（2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积；
（3）根据图象直接写出关于x的不等式的解集．
22．（10分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．
（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
23．（10分）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 ．
24．（12分）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．
（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
25．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN．
初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是 ，MN与AC的位置关系是 ．
特例研讨：（2）如图2，若∠BAC＝90°，BC＝4，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．
①求∠BCF的度数；
②求CD的长．
深入探究：（3）若∠BAC＜90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°＜α＜360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．
2024年广东省广州大学附中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）在3，﹣7，0，四个数中，最大的数是（ ）
A．3B．﹣7C．0D．
【分析】运用有理数大小比较的知识进行求解．
【解答】解：∵﹣7＜0＜＜3，
∴最大的数是3，
故选：A．
【点评】此题考查了有理数大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2．（3分）由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】从上往下看，看到平面图形就是俯视图，选择正确选项即可．
【解答】解：俯视图有3列，从左到右小正方形的个数是2，1，1，
故选：D．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从上往下看得到的平面图形．
3．（3分）某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】根据捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，据此即可求解．
【解答】解：依题意，捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，而平均数，众数，方差都要用到第一个数，
故不受影响的统计量是中位数．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数，平均数，众数，极差，掌握以上知识是解题的关键．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8B．3a3﹣a3＝2a
C．（ab2）3＝a3b6D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方法则和完全平方公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵a2•a4＝a6，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵3a3﹣a3＝2a3，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵（ab2）3＝a3b6，
∴C选项的运算正确，符合题意；
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方法则和完全平方公式，熟练掌握上述法则与公式是解题的关键．
5．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．1≤x＜2B．x≤1C．x＞2D．1＜x≤2
【分析】首先解两个不等式求得各自的解集，然后取它们解集的公共部分即可．
【解答】解：
由①移项，合并同类项得：2x≥2，
系数化为1得：x≥1；
由②移项，合并同类项得：﹣3x＞﹣6，
系数化为1得：x＜2，
则原不等式组的解集为：1≤x＜2，
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【分析】由平行线的性质求出∠OFB＝25°，由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝30°，由三角形外角的性质即可求出∠3的度数．
【解答】解：∵AB∥OF，
∴∠1+∠OFB＝180°，
∵∠1＝155°，
∴∠OFB＝25°，
∵∠POF＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出∠OFB的度数，由对顶角的性质得到∠POF的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
7．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的结果有：AB，BA，共2种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率为．
故选：A．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8．（3分）关于x的函数y＝kx﹣k和在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据反比例函数判断出k的取值，进而判断出一次函数所在象限即可．
【解答】解：A、由反比例函数图象可得k＞0，所以一次函数y＝kx﹣k应经过一、三、四象限，故A选项不合题意；
B、由反比例函数图象可得k＜0，所以一次函数y＝kx﹣k应经过一、二、四象限，故B选项不合题意；
C、由反比例函数图象可得k＞0，所以一次函数y＝kx﹣k应经过一、三、四象限，故C选项符合题意；
D、由反比例函数图象可得k＜0，所以一次函数y＝kx﹣k应经过一、二、四象限，故D选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的图象特征；用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，一次函数经过一三象限，常数项大于0，还经过第二象限；常数项小于0，还经过第四象限；比例系数小于0，一次函数经过二四象限，常数项大于0，还经过第一象限，常数项小于0，还经过第三象限；反比例函数的比例系数大于0，图象的两个分支在一三象限；比例系数小于0，图象的2个分支在二四象限．
9．（3分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，根据规定时间相等可得方程．
【解答】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，
根据题意，得﹣1＝+3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
10．（3分）已知二次函数y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2为常数），若1＜x1＜x2＜3，记t＝a+b，则（ ）
A．﹣3＜t＜0B．﹣1＜t＜0C．﹣1＜t＜3D．0＜t＜3
【分析】由二次函数解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）；然后由二次函数解析式与一元二次方程的关系以及根的判别式得到a2﹣4b＞0；结合根与系数的关系知：x1+x2＝﹣a，x1•x2＝b；最后根据限制性条件1＜x1＜x2＜3列出相应的不等式并解答．
【解答】解：∵y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2），二次项系数1＞0，
∴抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（x1，0），（x2，0），1＜x1＜x2＜3，
∴x＝1时，y＝1+a+b＞0，即1+t＞0，
∴t＞﹣1．
又对称轴x＝﹣，
此时y＝b﹣＜0．
∴a+b＜+a＝（a+2）2﹣1．
∵1＜﹣＜3，
∴﹣6＜a＜﹣2，
∴﹣1＜（a+2）2﹣1＜3．
综上所述，t的取值范围是﹣1＜t＜3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象的性质是解题的根本依据．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）某种颗粒的半径约为0.000025米，用科学记数法表示这个数为 2.5×10﹣5 米．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000025＝2.5×10﹣5．
故答案为：2.5×10﹣5．
【点评】本题考查了科学记数法表示较小的数，掌握形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是关键．
12．（3分）分解因式：2m2﹣8＝ 2（m+2）（m﹣2） ．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：2m2﹣8，
＝2（m2﹣4），
＝2（m+2）（m﹣2）．
故答案为：2（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13．（3分）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 3 m．
【分析】先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴当x＝1时，y有最大值为3，
∴喷出水珠的最大高度是3m，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出函数的最大值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．则CD与BD的数量关系是 BD＝2CD ．
【分析】证明AD＝DB＝2CD,可得结论．
【解答】解：∵∠C＝90°,∠B＝30°，
∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°，
由作图可知AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴AD＝2CD，
∵∠BAD＝∠B＝30°，
∴AD＝DB，
∴BD＝2CD，
故答案为：BD＝2CD．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，直角三角形30°角的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出各个角的度数，属于中考常考题型．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上．将沿AC翻折与AB交于点D．若OA＝3cm，的度数为40°，则＝ cm．
【分析】作D关于AC的对称点E，连接AE，BE，OE，则，然后再根据的度数为40°知∠CAB＝20°，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得∠AOE＝180°﹣80°＝100°，最后运用弧长公式即可解答．
【解答】解：如图，作D关于AC的对称点E，连接AE，BE，OE，
则，
∵ 的度数为40°，
∴∠CAB＝20°，
∴∠EAB＝2∠CAB＝40°，
∴∠EOB＝2∠EAB＝80°，
∴∠AOE＝180°﹣80°＝100°，
∴的长度为，
∴ 的长度为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点，求得的长度是解答本题的关键．
16．（3分）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是 ．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，根据折叠的性质得到△BDE≌△FDE，根据已知条件得到图形ACED的面积＝S△BDE＝S△FDE，求得S△FHG＝S△ADG+S△CHE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵折叠△BDE得到△FDE，
∴△BDE≌△FDE，
∴S△BDE＝S△FDE，∠F＝∠B＝60°＝∠A＝∠C，
∵DE平分等边△ABC的面积，
∴图形ACED的面积＝S△BDE＝S△FDE，
∴S△FHG＝S△ADG+S△CHE，
∵∠AGD＝∠FGH，∠CHE＝∠FHG，
∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，
∴2＝，
∴，
∴GH2＝m2+n2，
解得GH＝或GH＝﹣（不合题意舍去），
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）解方程：x2﹣2x＝4．
【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解
【解答】解：配方x2﹣2x+1＝4+1
∴（x﹣1）2＝5
∴x＝1±
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】在实数运算中要注意运算顺序，在解一元二次方程时要注意选择适宜的解题方法．
18．（4分）如图，AB∥CD，∠B＝∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F，求证：∠DEF＝∠F．
【分析】由平行线的性质得到∠DCF＝∠B，进而推出∠DCF＝∠D，根据平行线的判定得到AD∥BC，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠DCF＝∠D，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠F．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟记两直线平行，同位角相等，内错角相等和内错角相等，两直线平行是解决问题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x满足x2﹣x﹣1＝0．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝，然后根据x2﹣x﹣1＝0，得x2＝x+1，最后把x2＝x+1代入计算即可
【解答】解：（1+）÷
＝（+）•
＝•
＝，
∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴原式＝＝2．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，注意整体代入的应用．
20．（6分）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 450 ；
（2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为 36 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．
【分析】（1）用C的人数除以C所占百分比可得样本容量；
（2）用360°乘A所占比例可得答案；
（3）用样本容量分别减去其它三部分的人数，可得B的人数，进而补全条形统计图；
（4）用该地区九年级学生总人数乘样本中A所占比例即可．
【解答】解：（1）此次调查的样本容量为：117÷26%＝450，
故答案为：450；
（2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为：360°×＝36°，
故答案为：36；
（3）样本中B的人数为：450﹣45﹣117﹣233＝55（人），
补全条形统计图如下：
（4）25000×＝2500（人），
答：其中视力正常的人数大约为2500人．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积；
（3）根据图象直接写出关于x的不等式的解集．
【分析】（1）联立求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）求得B、C的坐标，利用S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求得即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）联立，解得，
∴A点坐标为（﹣2，4）．
将A（﹣2，4）代入y＝，得4＝．
∴k＝﹣8．
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）联立，解得或．
∴B（﹣8，1）．
在y＝x+5中，令y＝0，得x＝﹣10．
故直线AB与x轴的交点为C（﹣10，0）．
如图，过A、B两点分别作x轴的垂线，交x轴于M、N两点，
则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝•OC•AM﹣•OC•BN＝×10×4﹣×10×1＝15．
（3）关于x的不等式的解集为﹣8＜x＜﹣2或x＞0．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积以及函数与不等式的关系，体现了方程思想，数形结合是解题的关键．
22．（10分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．
（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元），根据同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个，根据总利润＝两种模型利润之和列出函数解析式即可；
②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元），
根据题意得：＝﹣4，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合实际意义，
0.8x＝16（元），
答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；
（2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个，
则w＝（35﹣20）a+（25﹣16）（100﹣a）＝6a+900，
∴w与a的函数关系式为w＝6a+900；
②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，
∴a≤（100﹣a），
解得a≤，
∵w＝6a+900，4＞0，a是正整数，
∴当a＝33时，w最大，最大值为1098，
答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
23．（10分）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 3﹣π ．
【分析】（1）先作∠APB的平分线PQ，再过M点作PB的垂线交PQ于点O，接着过O点作ON⊥PA于N点，然后以O点为圆心，OM为半径作圆，则⊙O满足条件；
（2）先利用切线的性质得到OM⊥PB，ON⊥PN，根据切线长定理得到∠MPO＝∠NPO＝30°，则∠MON＝120°，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出OM＝，然后根据扇形的面积公式，利用⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积＝S四边形PMON﹣S扇形MON进行计算．
【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）∵PM和PN为⊙O的切线，
∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO＝∠APB＝30°，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°，
在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°，
∴OM＝PM＝×3＝，
∴⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积
＝S四边形PMON﹣S扇形MON
＝2××3×﹣
＝3﹣π．
故答案为：3﹣π．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算．
24．（12分）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．
（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
【分析】（1）求出（1，2）的“k级变换点”的坐标，即可求解；
（2）求出点A、B所在的直线表达式，即可求解；
（3）先求出点A、B所在的直线为y＝x﹣5，当n＞0时，画出抛物线和直线AB的大致图象，求出点A的横坐标为x，得到x+5＝，即可求解；当n＜0时，当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，即可求解．
【解答】（1）解：存在，理由：
由题意得，（1，2）的“k级变换点”为：（k，﹣2k），
将（k，﹣2k）代入反比例函数表达式得：﹣4＝k（﹣2k），
解得：k＝±；
（2）证明：由题意得，点B的坐标为：（kt，﹣kt+2k），
由点A的坐标知，点A在直线y＝x﹣2上，同理可得，点B在直线y＝﹣x+2k，
则y1＝m2﹣2，y2＝﹣m2+2k，
则y1﹣y2＝m2﹣2+m2﹣2k＝m2﹣2k﹣2，
∵k≤﹣2，则﹣2k﹣2+m2≥2，
即y1﹣y2≥2；
（3）解：设在二次函数上的点为点A、B，
设点A（s，t），则其“1级变换点”坐标为：（s，﹣t），
将（s，﹣t）代入y＝﹣x+5得：﹣t＝﹣s+5，
则t＝s﹣5，
即点A在直线y＝x﹣5上，
同理可得，点B在直线y＝x﹣5上，
即点A、B所在的直线为y＝x﹣5；
由抛物线的表达式知，其和x轴的交点为：（﹣1，0）、（5，0），其对称轴为x＝2，
当n＞0时，
抛物线和直线AB的大致图象如下：
直线和抛物线均过点（5，0），则点A、B必然有一个点为（5，0），设该点为点B，另外一个点为点A，如上图，
联立直线AB和抛物线的表达式得：y＝nx2﹣4nx﹣5n＝x﹣5，
设点A的横坐标为x，则x+5＝，
∵x≥0，
则﹣5≥0，
解得：n≤1，
此外，直线AB和抛物线在x≥0时有两个交点，故Δ＝（﹣4n﹣1）2﹣4n（5﹣5n）＝（6n﹣1）2＞0，
故n≠，
即0＜n≤1且n≠；
当n＜0时，
当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，
故该情况不存在，
综上，0＜n≤1且n≠1/6．
【点评】本题为考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、函数的性质和图象、解不等式等，理解新定义是本题解题的关键．
25．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN．
初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是 MN＝AC ，MN与AC的位置关系是 MN∥AC ．
特例研讨：（2）如图2，若∠BAC＝90°，BC＝4，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．
①求∠BCF的度数；
②求CD的长．
深入探究：（3）若∠BAC＜90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°＜α＜360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，则MN是△ABC的中位线，即可得出结论；
（2）特例研讨：①连接EM，MN，NF，证明△BME是等边三角形，△BNF是等边三角形，得出∠FCB＝30°；
②连接AN，证明△ADN∽△BDE，则 ，设DE＝x，则，在Rt△ABE中，BE＝2，，则，在Rt△ADN中，AD2＝DN2+AN2，勾股定理求得，则；
（3）当点C，E，F在同一直线上时，且点E在FC上时，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝180°﹣2θ，得出∠BEC+∠BAC＝180°，则A．B，E，C 在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出∠EAC＝∠EBC＝α﹣θ，表示∠BAE与∠ABF，即可求解；当F在EC上时，可得A，B，E，C在同一个圆上，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝∠BEF＝180°﹣2θ，设∠NBF＝β，则∠EBM＝β，则 α+β＝360°，表示∠BAE 与∠ABF，即可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴，MN∥AC；
故答案为：MN＝AC，MN∥AC；
（2）特例研讨：①如图所示，连接EM，MN，NF，
∵MN是△BAC的中位线，
∴MN∥AC，
∴∠BMN＝∠BAC＝90°，
∵将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，
∴BE＝BM，BF＝BN；∠BEF＝∠BMN＝90°，
∵点A，E，F在同一直线上，
∴∠AEB＝∠BEF＝90°，
在Rt△ABE中，M是斜边AB的中点，
∴，
∴BM＝ME＝BE，
∴△BME是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，即旋转角α＝60°，
∴∠NBF＝60°，BN＝BF，
∴△BNF是等边三角形，
又∵BN＝NC，BN＝NF，
∴NF＝NC，
∴∠NCF＝∠NFC，
∴∠BNF＝∠NCF+∠NFC＝2∠NFC＝60°，
∴∠FCB＝30°；
（2）如图所示，连接AN，
∵AB＝AC，∠BAC＝90° ，
∴，∠ACB＝∠ABC＝45°，
∵∠ADN＝∠BDE，∠ANB＝∠BED＝90°，
∴△ADN∽△BDE，
∴，
设DE＝x，则，
在Rt△ABE中，，则，
在Rt△ADN中，AD2＝DN2+AN2，
∴，
解得： 或 （舍去），
∴；
（3）如图所示，当点C，E，F在同一直线上时，且点E在FC上时，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝180°﹣2θ，
∵MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，
∴∠MNB＝∠MBN＝θ，
∵将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，
∴△EBF≌△MBN，∠MBE＝∠NBF＝α，
∴∠EBF＝∠EFB＝θ，
∴∠BEF＝180°﹣2θ，
∵点C，E，F在同一直线上，
∴∠BEC＝2θ，
∴∠BEC+∠BAC＝180°，
∴A，B，E，C在同一个圆上，
∴∠EAC＝∠EBC＝α﹣θ，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝（180°﹣2θ）﹣（α﹣θ）＝180°﹣α﹣θ，
∵∠ABF＝α+θ，
∴∠BAE+∠ABF＝180°，
如图所示，当F在EC上时，
∵∠BEF＝∠BAC，BC＝BC，
∴A，B，E，C在同一个圆上，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝∠BEF＝180°﹣2θ，
将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，设∠NBF＝β，则∠EBM＝β，则 α+β＝360°，
∴∠ABF＝θ﹣β，
∵∠BFE＝∠EBF＝θ，∠EFB＝∠FBC+∠FCB，
∴∠ECB＝∠FCB＝∠EFB﹣∠FBC＝θ﹣β，
∵，
∴∠EAB＝∠ECB＝θ﹣β，
∴∠BAE＝∠ABF，
综上所述，∠BAE＝∠ABF或∠BAE+∠ABF＝180°．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位 线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌 以上知识是解题的关键．
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