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    2024年天河区中考数学一模试卷(1)

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    2024年天河区中考数学一模试卷(1)

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    这是一份2024年天河区中考数学一模试卷(1),共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.(3分)如图,数轴上点A所表示的数的相反数为( )
    A.﹣3B.3C.D.
    2.(3分)据中国国家统计局发布:2023年第一季度,全国居民人均可支配收入10870元.数据10870用科学记数法表示为( )
    A.1.087×104B.10.87×104C.10.87×103D.1.087×103
    3.(3分)下列几何体中,各自的三视图完全一样的是( )
    A.B.
    C.D.
    4.(3分)下列运算正确的是( )
    A.(m﹣1)2=m2﹣1B.(2m)3=6m3
    C.m7÷m3=m4D.m2+m5=m7
    5.(3分)一组数据:3,4,4,4,5,若去掉一个数据4,则下列统计量中发生变化的是( )
    A.众数B.中位数C.平均数D.方差
    6.(3分)某运输公司运输一批货物,已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物,且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同,设大货车每辆运输x吨,则所列方程正确的是( )
    A.=B.=C.=D.=
    7.(3分)下列四个函数图象中,当x<0时,函数值y随自变量x的增大而减小的是( )
    A.B.
    C.D.
    8.(3分)如图,小亮为了测量校园里教学楼AB的高度,将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上,若测角仪的高度是1.5m.测得教学楼的顶部A处的仰角为30°.则教学楼的高度是( )
    A.55.5mB.54mC.19.5mD.18m
    9.(3分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC,∠BAC=30°,在上取点D(不与点A,B重合),连接BD,AD,则∠BAD+∠ABD的度数是( )
    A.60°B.105°C.75°D.72°
    10.(3分)如图,M是△ABC三条角平分线的交点,过M作DE⊥AM,分别交AB,AC于D,E,设BD=a,DE=b,CE=c,下列关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况判断正确的是( )
    A.一定有两个相等的实数根
    B.一定有两个不相等的实数根
    C.有两个实数根,但无法确定是否相等
    D.无实数根
    二、填空题(本题有6个小题,每小题3分,共18分.)
    11.(3分)方程4+2x=0的解为 .
    12.(3分)因式分解:x2﹣3x= .
    13.(3分)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》人物卡片,正面朝下放置在桌面上,从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回,洗匀后再抽.通过多次试验后,发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为 .
    14.(3分)已知P(x1,1),Q(x2,1)两点都在抛物线y=x2﹣3x+1上,那么x1+x2= .
    15.(3分)如图,平面直角坐标系中,⊙A与x轴相切于点B,作直径BC,函数y=(x>0)的图象经过点C,D为y轴上任意一点,则△ACD的面积为 .
    16.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点E,F分别是边CD,BC上的动点,且∠AFE=90°.
    (1)当BF=5时,tan∠FEC= ;
    (2)当∠AED最大时,DE的长为 .
    三、解答题(本大题有9小题,共72分,解答要求写出文字说明,证明过程或计算步骤.)
    17.(4分)解不等式:6x﹣3>2x﹣7.
    18.(4分)如图,四边形ABCD中,AB=DC,AB∥DC,E,F是对角线AC上两点,且AE=CF.求证:△ABE≌△CDF.
    19.(6分)为打造书香文化,培养阅读习惯,某中学计划在各班建设图书角,并开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动,学生根据自己的爱好选择一类书籍(A:科技类,B:文学类,C:政史类,D:艺术类,E:其他类).张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查,根据收集到的数据,绘制了两幅不完整的统计图(如图所示).
    根据图中信息,请回答下列问题:
    (1)填空:参与本次问卷调查活动的学生人数是 ;
    (2)甲同学从A,B,C三类书籍中随机选择一种,乙同学从B,C,D三类书籍中随机选择一种,请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率.
    20.(6分)已知关于x的函数图象经过点A(m﹣1,n).
    (1)用含m的代数式表示n;
    (2)当时,若反比例函数的图象也经过点A,求k的值.
    21.(8分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=60°,AB=3.
    (1)尺规作图:在BC上找一点P,作⊙P与AC,AB都相切,与AC的切点为Q;(保留作图痕迹)
    (2)在(1)所作的图中,连接BQ,求sin∠CBQ的值.
    22.(10分)如图是气象台某天发布的某地区气象信息,预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况,其中0时至5时的图象满足一次函数关系式y=kx+b,5时至8时的图象满足函数关系式y=﹣x2+16x﹣60.请根据图中信息,解答下列问题:
    (1)填空:次日0时到8时的最低气温是 ;
    (2)求一次函数y=kx+b的解析式;
    (3)某种植物在气温0℃以下持续时间超过4小时,即遭到霜冻灾害,需采取预防措施.请判断次日是否需要采取防霜措施,并说明理由.
    23.(10分)在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律.如图MN为一凸透镜,F是凸透镜的焦点.在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB,透过透镜后呈的像为CD.光路图如图所示:经过焦点的光线AE,通过透镜折射后平行于主光轴,并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点.
    (1)若焦距OF=4,物距OB=6,小蜡烛的高度AB=1,求蜡烛的像CD的长度;
    (2)设,,求y关于x的函数关系式,并通过计算说明当物距大于2倍焦距时,呈缩小的像.
    24.(12分)矩形ABCD中,AB=4,BC=8.
    (1)如图1,矩形的对角线AC,BD相交于点O.
    ①求证:A,B,C,D四个点在以O为圆心的同一个圆上;
    ②在⊙O的劣弧AD上取一点E,使得AE=AB,连接DE,求△AED的面积.
    (2)如图2,点P是该矩形的边AD上一动点,若四边形ABCP与四边形GHCP关于直线PC对称,连接GD,HD,求△GDH面积的最小值.
    25.(12分)已知抛物线C:y1=a(x﹣h)2﹣1,直线l:y2=k(x﹣h)﹣1,其中0<a≤2,k>0.
    (1)求证:直线l与抛物线C至少有一个交点;
    (2)若抛物线C与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,其中x1<x2,且0<x1+x2<3,求当a=1时,抛物线C存在两个横坐标为整数的顶点;
    (3)若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点,求k的取值范围.
    2024年广东省广州市天河区中考数学一模试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(本题有10个小题,每小题3分,满分30分,每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.)
    1.【解答】解:由图可得,点A所表示的数为3,
    ∴数轴上点A所表示的数的相反数为﹣3,
    故选:A.
    2.【解答】解:10870=1.087×104,
    故选:A.
    3.【解答】解:A、直三棱柱的俯视图为三角形,与主视图长方形和左视图长方形均不同,A错误;
    B、圆锥的俯视图为圆,与主视图三角形和左视图三角形均不同,B错误;
    C、圆柱的俯视图为圆,与主视图长方形和左视图长方形均不同,C错误;
    D、球的三视图完全相同,都是圆,D正确;
    故选:D.
    4.【解答】解:由题意,对于A选项,(m﹣1)2=m2﹣2m+1≠m2﹣1,
    ∴A选项错误,不符合题意.
    对于B选项,(2m)3=8m3≠6m3,
    ∴B选项错误,不符合题意.
    对于C选项,m7÷m3=m4,
    ∴C选项正确,符合题意.
    对于D选项,m2与m5不是同类项不能合并,
    ∴D选项错误,不符合题意.
    故选:C.
    5.【解答】解:原数据3,4,4,4,5的平均数为×(3+4+4+4+5)=4,中位数为4,众数为4,
    方差为×[(3﹣4)2+(4﹣4)2×3+(5﹣4)2]=0.4;
    新数据3,4,4,5的平均数为×(3+4+5+4)=4,中位数为4,众数为4,
    方差为×[(3﹣4)2+(4﹣4)2×2+(5﹣4)2]=0.5;
    故选:D.
    6.【解答】解:∵每辆大货车的货运量是x吨,
    ∴每辆小货车的货运量是( x﹣5)吨,
    依题意得:=.
    故选:B.
    7.【解答】解:A、根据函数的图象可知y随x的增大而增大,故本选项错误;
    B、根据函数的图象可知在第二象限内y随x的增大而增大,故本选项错误;
    C、根据函数的图象可知,当x<0时,在对称轴的右侧y随x的增大而减小,在对称轴的左侧y随x的增大而增大,故本选项错误;
    D、根据函数的图象可知,当x<0时,y随x的增大而减小;故本选项正确.
    故选:D.
    8.【解答】解:过D作DE⊥AB,
    ∵在D处测得教学楼的顶部A的仰角为30°,
    ∴∠ADE=30°,
    ∵BC=DE=18m,
    ∴AE=DE•tan30°=18m,
    ∴AB=AE+BE=AE+CD=18+1.5=19.5m,
    故选:C.
    9.【解答】解:连接CD,如图,
    ∵AB=AC,
    ∴∠ABC=∠ACB=(180°﹣∠BAC)=×(180°﹣30°)=75°,
    ∵∠BAD=∠BCD,∠ABD=∠ACD,
    ∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=75°.
    故选:C.
    10.【解答】解:∵AM平分∠BAC,DE⊥AM,
    ∴∠ADM=∠AEM,MD=ME=DE=b,
    ∴∠BDM=∠MEC=90°+∠BAC,
    ∴∠BMC=90°+∠BAC,
    ∴∠BDM=∠MEC=∠BMC,
    ∵M是△ABC的内角平分线的交点,
    ∴△DBM∽△MBC,
    同理可得出:△BMC∽△MEC,
    ∴△DBM∽△EMC,
    ∴,
    ∴BD•EC=MD•ME,
    即:ac=b2,
    即Δ=b2﹣4ac=0,
    故选:A.
    二、填空题(本题有6个小题,每小题3分,共18分.)
    11.【解答】解:4+2x=0,
    移项,得2x=﹣4,
    系数化成1,得x=﹣2.
    故答案为:x=﹣2.
    12.【解答】解:原式=x•x﹣x•3
    =x(x﹣3),
    故答案为:x(x﹣3).
    13.【解答】解:因为通过多次试验后,发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3,
    所以估计抽到绘有孙悟空这个人物卡片的概率为0.3,
    则这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数=0.3×50=15(张).
    所以估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为15张.
    故答案为15.
    14.【解答】解:∵P(x1,1),Q(x2,1)两点都在抛物线y=x2﹣3x+1上,
    ∴P、Q关于对称轴对称,
    ∴抛物线的对称轴为直线x==﹣,
    ∴x1+x2=3,
    故答案为:3.
    15.【解答】解:∵⊙A与x轴相切于点B,
    ∴BC⊥x轴,
    连接OC,
    ∵BC∥y轴,
    ∴S△ADC=S△BOC=×20=5.
    故答案为:5.
    16.【解答】解:(1)∵四边形ABCD是矩形,AB=6,AD=8,
    ∴CD=AB=6,BC=AD=8,∠C=∠B=90°,
    ∵BF=5,
    ∴FC=BC﹣BF=8﹣5=3,
    ∵∠AFE=90°,
    ∴∠CFE=∠BAF=90°﹣∠AFB,
    ∴△CFE∽△BAF,
    ∴===,
    ∴CE=BF=×5=,
    ∴tan∠FEC===,
    故答案为:.
    (2)设FC=x,DE=y,则BF=8﹣x,
    ∵=,
    ∴CE==,
    ∴y=6﹣,
    整理得y=(x﹣4)2+,
    ∴当x=4时,y最小=,
    由tan∠AED==可知,当∠AED最大时,DE的值最小,
    ∴当∠AED最大时,DE的长为,
    故答案为:.
    三、解答题(本大题有9小题,共72分,解答要求写出文字说明,证明过程或计算步骤.)
    17.【解答】解:∵6x﹣3>2x﹣7,
    ∴6x﹣2x>﹣7+3,
    4x>﹣4,
    ∴x>﹣1.
    18.【解答】证明:∵AB∥DC,
    ∴∠BAE=∠DCF,
    在△ABE和△CDF中,

    ∴△ABE≌△CDF(SAS).
    19.【解答】解:(1)参与本次问卷调查活动的学生人数是4÷8%=50(人).
    故答案为:50人.
    (2)列表如下:
    共有9种等可能的结果,其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有:(B,B),(C,C),共2种,
    ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为.
    20.【解答】解:(1)∵关于x的函数图象经过点A(m﹣1,n),
    ∴n=×(m﹣1)+


    =m+1;
    (2)当时,则A(﹣1,+1),
    ∵反比例函数的图象也经过点A,
    ∴k=(﹣1)(+1)=4,
    ∴k的值为4.
    21.【解答】解:(1)如图,作∠BAC的平分线,交BC于点P,以点P为圆心,PB的长为半径画圆,交AC于点Q,
    则⊙P即为所求.
    (2)由(1)可得,BP=PQ,PQ⊥AC,
    ∴∠AQP=90°,
    ∵AP=AP,
    ∴Rt△ABP≌Rt△AQP(HL),
    ∴AB=AQ,
    ∵∠BAC=60°,
    ∴△ABQ为等边三角形,
    ∴∠ABQ=60°,
    ∴∠CBQ=30°,
    ∴sin∠CBQ=sin30°=.
    22.【解答】解:(1)由题意,当x=5时,气温最低,即B点时气温最低.
    又抛物线为y=﹣x2+16x﹣60,
    ∴当x=5时,y=﹣25+80﹣60=﹣5.
    ∴次日0时到8时的最低气温是﹣5℃.
    故答案为:﹣5℃.
    (2)由题意,结合(1)得B(5,﹣5),
    又A(0,3),
    ∴将A、B代入y=kx+b得,.
    ∴.
    ∴一次函数的解析式为y=﹣x+3.
    (3)由(2)一次函数为y=﹣x+3,
    令y=0,则x=.
    又5时至8时图象满足函数关系式y=﹣x2+16x﹣60,
    ∴令y=0,则x=6或x=10(不合题意,舍去).
    ∴气温0℃以下持续时间为6﹣=>4.
    ∴需采取预防措施.
    23.【解答】解:(1)由题意得,AB∥OE,
    ∴△ABF∽△EOF,
    ∴,即=,
    ∴OE=2,
    ∵OE∥CD,CE∥OD,
    ∴四边形OECD是平行四边形,
    ∴CD=OE=2(米),
    ∴蜡烛的像CD的长度为2米;
    (2)由(1)得△ABF∽△EOF,CD=OE=2,
    ∴,即=,
    ∴y=x﹣1,
    当>2,即x>2时,y=x﹣1>1,
    ∴>1,即AB>CD,
    ∴物高大于像高,即呈缩小的像.
    24.【解答】解:(1)①∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠ABC=90°,OA=OB=OC=OD,
    ∴点A,B,C在以O为圆心,OA为半径的圆上,
    ∵OA=OB=OC=OD,
    ∴点D在以O为圆心的同一个圆上,
    故A,B,C,D四个点在以O为圆心的同一个圆上;
    ②如图,过点E作在EG⊥AD于点D,
    ∵AE=AB,
    ∴∠ADE=∠ADB,
    ∵AE=AB=4,BC=8,
    ∴tan∠ADE=tan∠ADB===,
    设EG=x,GD=2x,则AG=AD﹣GD=8﹣2x,
    ∴(8﹣2x)2+x2=16,
    解得:x=,x=4(舍去),
    ∴△AED的面积×=;
    (2)根据折叠的性质,得到CB=CH=8,BA=HG=4,∠CHG=90°,
    ∵CH≤CD+DH,
    ∴DH≥CH﹣CD=4,
    ∴当点C,D,H三点共线时,DH=4最小,
    此时△GDH面积的为GH×DH=×4×4=8,最小.
    25.【解答】(1)证明:抛物线C:y1=a(x﹣h)2﹣1的顶点为(h,﹣1),
    在y2=k(x﹣h)﹣1中,令x=h得y2=﹣1,
    ∴直线y2=k(x﹣h)﹣1必过抛物线C:y1=a(x﹣h)2﹣1的顶点,
    ∴直线l与抛物线C至少有一个交点;
    (2)解:当a=1时,y1=(x﹣h)2﹣1,
    令y1=0得0=(x﹣h)2﹣1,
    解得x1=h﹣1,x2=h+1,
    ∵0<x1+x2<3,
    ∴0<h﹣1+(h+1)<3,
    解得<h<,
    ∴h可取整数1或2,
    ∴抛物线C上两个横坐标为整数的顶点为(1,﹣1)或(2,﹣1);
    (3)解:由(1)知,直线l恒过抛物线C的顶点,
    ∴直线l下方抛物线C上横坐标为整数的点的多少与h无关,
    取h=0时,抛物线C:y1=ax2﹣1,直线l:y2=kx﹣1,
    ∵a>0,a越大开口越小,
    ∴当a=2时,在直线l下方的抛物线C上存在两个横坐标为整数的点,此时,两个横坐标的整数点的横坐标为1和2,如图:
    将x=2代入抛物线y=2x2﹣1中得y=7,
    ∴P(2,7),
    将点P(2,7)代入y=kx﹣1中得:7=2k﹣1,
    ∴k=4,
    又直线y=kx﹣1过定点(0,﹣1),
    ∴满足条件的k的取值范围为k>4.
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    D
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