甘肃省临洮中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省临洮中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,则等于( )
A.B.C.D.
2．如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法不正确的是( )
A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B.该几何体有12条棱,6个顶点
C.该几何体有8个面,并且各面均为三角形
D.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形
3．已知复数,为z的共轭复数,则( )
A.B.C.D.
4．正方形的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( )
A.8cmB.6cmC.D.
5．已知,,且与的夹角为,则( )
A.B.C.D.
6．函数的定义域是( )
A.B.
C.D.
7．设点P为内一点,且,则( )
A.B.C.D.
8．如图,某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为,该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后,到达B处,此时测得俯角为.已知小车的速度是20km/h,且,则此山的高( )
A.1kmB.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,则( )
A.的最大值为
B.的最小正周期为
C.是偶函数
D.将图象上所有点向左平移个单位,得到的图象
10．下列关于平面向量的说法中不正确的是( )
A.，,若,则
B.单位向量，，则
C.若且，则
D.若点G为的重心，则
11．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有( )
A.
B.平面
C.与平面所成角是
D.与所成的角等于与所成的角
12．如图,的三个内角A,B,C对应的三条边长分别是a,b,c,为钝角,,,,,则下列结论正确的有( )
A.B.C.D.的面积为
三、填空题
13．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图,图中的四条线段AB､CD､EF和GH在原正方体中相互异面的有___________对
14．如图,在正方体中,M,N分别是CD,的中点,则异面直线与DN所成角的大小是____________.
15．化简______.
16．已知内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,线段BC上的点D满足,,,,则______.
四、解答题
17．如图,四边形OADB是以向量,为边的平行四边形,且OD,AB相交于C点,又,,试用,表示,,.
18．如图所示,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别为AB,PC的中点,平面平面.
（1）求证:;
（2）MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.
19．已知函数.
（1）求的最小正周期;
（2）当时,若,求的值.
20．设复数(其中a,),,(其中).
（1）设,若,求出实数的值;
（2）若复数z满足条件:存在实数k,使得与是某个实系数一元二次方程的两个虚数根,求符合条件的复数z的模的取值范围.
21．如图,四棱锥中,平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,,E为PA的中点,F为PD的中点.
（1）求证:平面PDC;
（2）求异面直线BE与PD所成角的余弦值.
22．在中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求角C的大小;
（2）若,求周长的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,则.
故选:C.
2．答案：D
解析：根据几何体直观图,得
该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体,
且有棱MA,MB,MC,MD,AB,BC,CD,DA,NA,NB,NC和ND,共12条;
顶点是M,A,B,C,D和N共6个;
且有面MAB,面MBC,面MCD,面MDA,面NAB,面NBC,面NCD和面NDA共个,且每个面都是三角形.
所以选项A,B,C正确,选项D错误.
故选D.
3．答案：C
解析：因,则,
所以.
故选:C
4．答案：A
解析：作出原图形如下图所示:
由三视图知原图形是平行四边形OABC,如图,,,
,,
所以平行四边形OABC的周长是8cm.
故选:A.
5．答案：A
解析：因为,,且与的夹角为,
由平面向量数量积的定义可得,
因此,.
故选:A.
6．答案：D
解析：根据题意,由于,
分析求解可知x得取值范围是,故选D.
7．答案：A
解析：设AB的中点是点D,
,
,
点P是CD上靠近点D的五等分点,
的面积为的面积的.
故选:A
8．答案：A
解析：由题意可知:平面AOB,,,
,
设,在中,,,所以,
在中,,,所以,
在中,由余弦定理可得:,
所以,即,解得:,
所以山的高,
故选:A.
9．答案：AC
解析：,
因为,所以,因此,则,故A正确;
最小正周期为,故B错;
,所以是偶函数,即C正确;
将图象上所有点向左平移个单位,得到,故D错误.
故选:AC.
10．答案：AC
解析：对于选项A：因为，则，解得：，故选项A不正确；对于选项B：，所以
，故选项B正确；对于选项C：根据向量的几何意义可知若且，则不一定成立，故选项C不正确；对于选项D：若点G为的重心，取AB的中点O，则，故选项D正确，故选：AC
11．答案：ABC
解析：对于A选项，因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，A对；
对于B选项，因为四边形为正方形，则，
又因为平面，平面，所以，平面，B对；
对于C选项，因为平面，所以，与平面所成角是，C对；
对于D选项，因为，平面，平面，
所以，，所以，为锐角，
所以，与所成的角为直角，与所成的角为锐角，
故与所成的角不等于与所成的角，D错.
故选：ABC.
12．答案：AC
解析：由,得:,
又角为钝角,
解得:,
由余弦定理,得:,
解得,可知为等腰三角形,即,
所以,
解得,故A正确,
可得,
在中,,得,可得,故B错误,
,可得,可得,故C正确,
所以的面积为,故D错误.
故选:AC.
13．答案：3
解析：如图,将各点在原图中标记出来,观察发现,在AB､CD､EF和GH四条线中,
相互异面的只有3对:EF和GH,AB和CD,GH和AB.
故答案为:3.
14．答案：
解析：分别以DA,DC,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设,则,,,
,,
,即异面直线与DN所成角的大小是
15．答案：
解析：原式.
故答案为:.
16．答案：
解析：在中,,,
因,B为锐角,所以,,
由余弦定理得,
可得,可得,
又由,,
在中,由余弦定理可得,
在中,由正弦定理可得,可得,
又,可得,所以,可得,
可得,,
故答案为:.
17．答案：,,.
解析：因为,,所以,
所以,
因为,,
所以,
所以.
18．答案：（1）见解析;
（2）见解析
解析：（1）证明因为,平面PAD,
平面PAD,所以平面PAD.
又平面平面,平面PBC,所以.
（2）平面PAD.证明如下:
如图所示,取PD中点E,连结AE,EN.
又为PC的中点,
又
即四边形AMNE为平行四边形.
,又平面PAD,平面PAD
平面PAD.
19．答案：（1）;
（2）或.
解析：（1）
所以最小正周期为
（3）因为,所以,
又因为,即,
所以或,则或.
20．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）,,
因,则,即,解得,
所以实数k值为;
（2）,,
因与是某个实系数一元二次方程的两个虚数根,则,互为共轭复数,即,
若时,则有,此时,为零,不合题意,
若时,则,,整理得,由,得
而,即,,
所以复数z的模的取值范围是.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:因为四边形ABCD为正方形,则,
因为平面ABCD,平面ABCD,所以,,
因为,PA,平面,所以,平面PAD,
因为平面PAD,所以,,
因为,F为PD的中点,所以,,
因为,CD,平面PCD,所以,平面PCD.
（2）取AD的中点G,连接EG,BG,
因为E,G分别为PA,AD的中点,所以,且,
所以,异面直线BE与PD所成角为或其补角,
因为,四边形ABCD是边长为1的正方形,且平面ABCD,
且平面ABCD,所以,,则,故,
因为,同理可得,
取EG的中点H,连接BH,则,故.
因此,异面直线BE与PD所成角的余弦值为.
22．答案：（1）;
（2）
解析：（1）由题意知,
即,
由正弦定理得
由余弦定理得,
又,.
（2）,,,
则的周长
.
,,,
,
周长的取值范围是.