甘肃省张掖中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省张掖中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列各组向量中,可以作为基底的是( )
A.,B.,
C.,D.,
2．在中,,,则( )
A.B.C.D.7
3．已知集合,,则集合的元素个数为( )
A.1B.2C.3D.4
4．一组数据：155,156,156,157,158,160,160,161,162,165的第75百分位数是( )
A.161B.160.5C.160D.161.5
5．已知向量,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6．已知某人收集一个样本容量为50的一组数据,并求得其平均数为70,方差为75,现发现在收集这些数据时,其中得两个数据记录有误,一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90,在对错误得数据进行更正后,重新求得样本的平均数为,方差为,则( )
A.,B.,
C.,D.,
7．已知中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,则是( )
A.等边三角形B.锐角三角形
C.等腰直角三角形D.钝角三角形
8．某人用下述方法证明了正弦定理：直线l与锐角的边,分别相交于点D,E,设,,,,记与方向相同的单位向量为,, ,进而得,即：,即：,钝角三角形及直角三角形也满足．请用上述方法探究：如图所示,直线l与锐角的边,分别相交于点D,E,设,,,,则与的边和角之间的等量关系为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．为了了解某公路段汽车通过的时速,随机抽取了200辆汽车通过该公路段的时速数据,进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),绘制成频率分布直方图,“根据直方图,以下说法正确的是( )
A.时速在的数据有40个
B.可以估计该组数据的第70百分位数是65
C.时速在的数据的频率是0.07
D.可以估计汽车通过该路段的平均时速是62km
10．定义运算．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c满足,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.角B的最大值为D.若,则为钝角三角形
11．若直线与函数图象交于不同的两点A,B,已知点,O为坐标原点,点满足,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．已知函数其中e是自然对数的底数,则___________．
13．已知向量,满足,,与的夹角为,则在上的投影向量为__________（用坐标表示）．
四、双空题
14．已知平行四边形的面积为,,且.若F为线段上的动点,且,则实数的值为___________;的最小值为_____________.
五、解答题
15．拔尖创新人才是21世纪社会经济发展的巨大动力,培养拔尖创新人才也成为世界各国教育的主要任务．某市为了解市民对拔尖人才培养理念的关注程度,举办了“拔尖人才素养必备”知识普及竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩（满分100分,成绩均为不低于40分的整数）分成六段：,,,得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值,并估计该市这次竞赛成绩的众数;
（2）已知落在的平均成绩,方差,落在的平均成绩,方差,求这两组成绩的总平均数和总方差．
16．已知向量,满足,,．
（1）求与夹角的余弦值;
（2）求;
（3）在平行四边形中,若,,求平行四边形ABCD的面积．
17．在①,②两个条件中任选一个补充在下列问题中,并解决该问题,
在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,__________,且,求：
（1）B;
（2）周长的取值范围.
18．在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A,B,C满足.
（1）求的值;
（2）已知,,,若函数的最大值为3,求实数m的值.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答,当的三个内角均小于时,使得的点O即为费马点;当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
（1）求A;
（2）若,设点P为的费马点,求;
（3）设点P为的费马点,,求实数t的最小值．
参考答案
1．答案：C
解析：对于A,,不可以作为基底,A错误;
对于B,,,共线,不可以作为基底,B错误;
对于C,与为不共线的非零向量,可以作为一组基底,C正确;
对于D,,共线,不可以作为基底,D错误.
故选：C.
2．答案：D
解析：在中,
由余弦定理得：,
所以,
故选：D.
3．答案：C
解析：,
,即集合的元素个数为3.
故选：C.
4．答案：A
解析：由题意得此组数据已从小到大排列,此组数据共有10个数,
所以第75百分位数位置为,
所以第75百分位数为第8个数161,故A正确.
故选：A.
5．答案：B
解析：时,,不一定是相等或相反向量,
时,,
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6．答案：D
解析：因为,因此平均数不变,即,
设其他48个数据依次为,,,
因此,
,
,∴,
故选：D．
7．答案：C
解析： ,由正弦定理可得：,
而,当且仅当时取等号．
,即,又,故可得：,．
又,可得,故三角形为等腰直角三角形．
故选：C．
8．答案：D
解析：∵, ,进而得,
即,
即,即．
故选：D.
9．答案：AD
解析：对于A,,即时速在的数据有40个,故A正确;
对于B,,
所以该组数据的第70百分位数位于不妨设为,
则,解得,故B错误;
对于C,时速在的数据的频率是,故C错误;
对于D,可以估计汽车通过该路段的平均时速是,故D正确.
故选:AD.
10．答案：ACD
解析：由可知,整理可知,由正弦定理可知,,从而可知A正确;
因为满足,但不满足,故B不正确;
B错误;（当且仅当时取“=”）,
又,B的最大值为,故C正确;
由可得,解得,又,从而可得,,a为最大边,
,,角A为钝角,故D正确．
故选：ACD．
11．答案：CD
解析：对A,因为定义域为R,
则,,故A错误;
对B,由,所以,所以为奇函数,
又直线与函数图象交于不同的两点A,B,
则A、B两点关于原点对称,且A、B的中点为坐标原点O,
所以,又,,
所以,解得,所以,则,又,
所以,故B错误;
对C,又,故C正确;
对D,不妨设,则,
所以,,
,,
所以
,故D正确.
故选：CD.
12．答案：
解析：根据题意,,又,故.
故答案为：.
13．答案：
解析：向量在向量上的投影向量是,
故答案为：.
14．答案：①或0.5②.5
解析：因为,所以,即,
又,所以,
由D,F,E共线,则,解得
作,以G为原点建立平面直角坐标系,
设且,则,而的面积为,
则,故,
则,
则,
当且仅当时取“=”,
故答案为：;5.
15．答案：（1）0.03;众数为75分
（2）71,81
解析：（1）由频率分布直方图可知,,
该市这次竞赛成绩的众数为75分.
（2）落在与的人数比为．
所以,
.
16．答案：（1）
（2）
（3）12
解析：（1）因为,所以,
又,,所以,
所以.
（2）由（1）知,
所以,
所以．
（3）由（1）知,,
所以,
所以平行四边形ABCD的面积为．
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）若选①,在中,由,得,
而,则,因此,
所以.
若选②,在中,由,
即,整理得,
由正弦定理得：,由余弦定理得：,
而,所以.
(2)由（1）知,,由正弦定理得,
则
,
由,得,则,即,
因此,又,所以周长的取值范围.
18．答案：（1）2;
（2）.
解析：（1）由题意知,,即,
所以,即.
（2）易知,,,
则,,
所以,
令,
则,,其对称轴方程是.
当时,的最大值为,解得;
当时,的最大值为,解得（舍去）.
综上可知,实数m的值为.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由已知中,即,
故,由正弦定理可得,
故直角三角形,即.
（2）由（1）,所以三角形的三个角都小于,
则由费马点定义可知：,
设,,,由得：
,整理得,
则.
（3）点P为的费马点,则,
设,,,,,
则由得;
由余弦定理得,
,
,
故由得,
即,而,故,
当且仅当,结合,解得时,等号成立,
又,即有,解得或（舍去）,
故实数t的最小值为.