河北省石家庄市2024届高三下学期教学质量检测（二）数学试卷(含答案)

这是一份河北省石家庄市2024届高三下学期教学质量检测（二）数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩X近似服从正态分布，其正态密度函数为，且，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为( )
A.2000B.3000C.4000D.5000
3．已知曲线，则“”是“曲线C的焦点在x轴上”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知圆与圆交于A，B两点，则( )
A.B.C.D.
5．设是定义在R上的奇函数，且，当时，，则的值为( )
A.-1B.-2C.2D.1
6．在平行四边形中，，，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知，且，则( )
A.B.C.D.
8．已知正方体的棱长为，连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正方体的中心O为球心作一个半径为的球，则该球O的球面与八面体各面的交线的总长为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知数列的通项公式为，前n项和为，则下列说法正确的是( )
A.数列有最小项，且有最大项B.使的项共有5项
C.满足的n的值共有5个D.使取得最小值的n为4
10．设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有( )
A.若，则
B.对任意复数，，有
C.对任意复数，，有
D.在复平面内，若，则集合M所构成区域的面积为
11．已知，（参考数据），则下列说法正确的是( )
A.是周期为的周期函数
B.在上单调递增
C.在内共有4个极值点
D.设，则在上共有5个零点
三、填空题
12．各位数字之和为4的三位正整数的个数为____________.
13．设抛物线的焦点为F，准线为l.斜率为的直线经过焦点F，交C于点A，交准线l于点B（A，B在x轴的两侧），若，则抛物线C的方程为____________.
14．若实数，且，，则的取值范围是____________.
四、解答题
15．某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查，得到如下列联表：
（1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联.
（2）从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人.若从这15人中随机抽2人，记X为抽到乒乓球组的学生人数，求X的分布列及数学期望.
附：，.
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，，.
（1）求函数的最大值；
（2）若，，，求的面积.
17．已知数列满足，
（1）写出，，；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）若，求数列的前n项和.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图①.
（1）当点A为椭圆E的上顶点时，将平面xOy沿x轴折叠如图②，使平面平面，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）若过作，垂足为H.
（i）证明：直线过定点；
（ii）求的最大值.
19．设集合M是一个非空数集，对任意，定义，称为集合M的一个度量，称集合M为一个对于度量而言的度量空间，该度量空间记为.
定义1：若是度量空间上的一个函数，且存在，使得对任意，均有：，则称f是度量空间上的一个“压缩函数”.
定义2：记无穷数列，，，…为，若是度量空间上的数列，且对任意正实数，都存在一个正整数N，使得对任意正整数，均有，则称是度量空间上的一个“基本数列”.
（1）设，证明：f是度量空间上的一个“压缩函数”；
（2）已知是度量空间上的一个压缩函数，且，定义，，证明：为度量空间上的一个“基本数列”.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，
，所以.
故选：A.
2．答案：D
解析：由题易知均值，
由正态曲线的对称性可知，
则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为.
故选：D.
3．答案：A
解析：当时曲线表示焦点在x轴上的椭圆，故充分性成立；
当时曲线表示焦点在x轴上的双曲线，
故由曲线C的焦点在x轴上推不出，即必要性不成立；
所以“”是“曲线C的焦点在x轴上”的充分不必要条件.
故选：A.
4．答案：C
解析：因为圆与圆交于A，B两点，
则直线的方程即为两圆相减，可得，
且圆，半径为，
到直线的距离，
所以.
故选：C.
5．答案：B
解析：由题意知，则，
即，所以，
即，所以函数的周期为4，
所以，
故选：B.
6．答案：A
解析：设与同方向的单位向量，与同方向的单位向量，与同方向的单位向量，
由题意，所以，
所以，即，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，即.
故选：A.
7．答案：D
解析：因为，且，
所以，
由题意知，
所以，所以，
所以，
则.
故选：D.
8．答案：B
解析：如图所示，M为的中点，O为正方体的中心，过O作的垂线交于点N，正八面体的棱长为2，即，故，，，则，
设球与正八面体的截面圆半径为r，如图所示，则，
由于，，所以，则，平面与球O的交线所对应的圆心角恰为，则该球O的球面与八面体各面的交线的总长为.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：因为，所以，
令，即，解得，
又，所以当时，
则当或时，
令，解得，
所以，，
所以数列有最小项，且有最大项，故A正确；
由，则，又，所以或或或或，
所以使的项共有5项，故B正确；
要使，又，所以、、中有1个负数或3个负数，
所以或或，故满足的n的值共有3个，故C错误；
因为时，时，
所以当n为4时取得最小值，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：BC
解析：对A：由，故，
故，故A错误；
对B：设、，
则
，
，
故，故B正确；
对C：设、，
有，则，
，故，故C正确；
对D：设，则有，
集合M所构成区域为以为圆心，半径为2的圆，
故，故D错误.
故选：BC.
11．答案：BCD
解析：对于选项A，因为，
所以，所以选项A错误，
对于选项B，因为
，
当时，，，，
所以当时，，当且仅当时，取等号，所以在上单调递增，故选项B正确，
对于选项C，因为，
令，得到，
又因为，当且仅当或时，取等号，
所以，不是变号零点，即，不是的极值点，
由，即，
又，解得或或或，
由图象知，每一个解都是变号零点，所以在内共有4个极值点，故选项C正确，
对于选项D，因为，
所以的周期为，
又因为，
当时，由得到，，，
列表如下，
又，，，
则在上的大致图象如图所示，
当时，因为，此时无解，
由，则，又，则，
又由，，
故只需再画出在图象即可，
当时，，无解，
作出的图象，注意到，
所以时，的图象在图象下方，
由图可知与在上有5个交点，
所以在上共有5个零点，所以选项D正确，
故选：BCD.
12．答案：10
解析：因为或或或，
所以各位数字之和为4的三位数有，，，，，，，，，共10个.
故答案为：10.
13．答案：
解析：抛物线的焦点为，准线方程为，
依题意直线l的方程为，
令可得，即，
由，消去y得，解得或，
又A，B在x轴的两侧，所以，则，所以，
所以，解得或（舍去），
所以抛物线C的方程为.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为，，故，，
由得，解得，
故.
故答案为：.
15．答案：（1）与性别有关联，理由见解析
（2）
解析：（1），
故可以在的情况下，得到该校学生选择乒乓球还是羽毛球与性别有关联；
（2）女生中，乒乓球组与羽毛球组选取人数比例为，
故选取的15人中，选取乒乓球组的有人，选取羽毛球组的有人，
故X的可能取值为0，1，2，
，，，
故X的分布列为
数学期望为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）
因为，所以，
所以当，即时，有最大值；
（2）因为，所以，所以，，
因为，所以，
由正弦定理得：，
所以，，
又因为，所以，
所以，
由余弦定理有：，
即，所以，
所以.
17．答案：（1），，
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）由，
可得；；；
（2）证明：由题可得，
则数列是首项为1，公比为2的等比数列；
（3）由（2）可得，即，
，
，
前n项和，
，
两式相减可得，
化简可得.
18．答案：（1）
（2）（i）证明见解析
（ii）
解析：（1）由椭圆定义可知，，
所以的周长为，所以，
又因为椭圆离心率为，
所以，所以，
又，
所以椭圆的方程：，
所以椭圆的焦点为，，
当点A为椭圆E的上顶点时，，
所以直线l的方程为：，
由解得，，
由对称性知，
以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴的正半轴所在直线为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为.
（2）（i）设点，，，，
则直线的方程为，则，
由得，，
所以，
因为，所以，
所以，故，
又，
同理，，，
由A，，B三点共线，得，
所以，
直线的方程为，
由对称性可知，如果直线过定点，则该定点在x轴上，
令得，
，
故直线过定点.
（ii）由题意知点，点H的轨迹为以，为直径的圆（除，Q外），
圆心为，半径为，故.
19．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）由正弦函数的性质可知：在上单调递增，
在上单调递减，所以，
，所以在上的值域为，
所以f是从到的函数，
另一方面，我们证明存在，对任意，都有，
取，则对任意，不妨设，分两种情形讨论：
①当时，令，则，
所以在上单调递增，因为，所以，即，
所以，即，
②当时，令，则，
所以在上单调递增，因为，所以，即，
所以，即，
综上所述，对任意，都有，
所以f是度量空间上的一个“压缩函数”.
（2）证明：因为是度量空间上的一个压缩函数，
所以必存在，使得对任意，，
即，
因为，，
所以，
由绝对值三角不等式可知：
对任意，有
，
又因为，所以，
所以，
①当时，对任意，有，所以，
所以对任意，对任意正整数N，当时，均有，
②当时，对任意，取一个正整数，
则，即，
则当时，有，
综上所述，对任意，都存在一个正整数N，使得对任意正整数N，当时，均有，
故为度量空间上的一个“基本数列”.
性别
比赛项目
合计
乒乓球组
羽毛球组
男生
50
25
75
女生
35
40
75
合计
85
65
150
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x
+
0
-
0
+
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
单调递增
X
0
1
2
P