任丘市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份任丘市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设a、b表示空间的两条直线，表示平面，给出下列结论：
（1）若且，则
（2）若且，则
（3）若且，则
（4）若且，则其中不正确的个数是( )
A.1B.2个C.3个D.4个
2．如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,且,,则该平面图形的高为( )
A.B.2C.D.
3．已知向量,,则“”是“与的夹角为钝角”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD的点，且，则下列说法正确的是( )
A.EF与GH平行
B.EF与GH异面
C.EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D.EF与GH的交点M一定在直线AC
5．中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,,,则( )
A.B.C.D.
6．如图所示，在棱长为1的正方体中，M、N分别是、的中点，过直线BD的平面平面AMN，则平面截该正方体所得截面的面积为( ).
A.B.C.D.
7．武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处,为园内的主体建筑,是邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度AB,在地面上共线的三点C,D,E处分别测得点A的仰角为,,,且,则武灵丛台的高度AB约为( )
（参考数据：）

A.22mB.27mC.30mD.33m
8．如图,已知四棱锥的底面是菱形,交于点O,E为的中点,F在上,,平面,则的值为( )
A.3B.C.1D.2
二、多项选择题
9．已知向量,,则( )
A.
B.
C.向量在向量方向上的投影向量是
D.与向量方向相同的单位向量是
10．复数满足,则下列说法正确的是( )
A.在复平面内点落在第四象限B.为实数1
C.D.复数z的虚部为
11．在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且,则下列说法正确的是( )
A.若,则面积的最大值为
B.若,且只有一解,则b的取值范围为
C.若,且为锐角三角形,则c的取值范围为
D.若为锐角三角形,,则AC边上的高的取值范围为
三、填空题
12．圆锥的底面半径为,表面积为,则该圆锥为体积为________________.
13．设复数z满足,则的最大值为_________________.
14．在直三棱柱中,各棱长均为2,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______________.
四、解答题
15．已知i为虚数单位,复数z为纯虚数,且为实数.
(1)求复数z;
(2)若复数是关于x的方程在复数集内的一个根,求实数m和实数n的值.
16．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.
(1)求A的大小;
(2)若,,求的面积.
17．如图,在棱长为2的正方体中,平面与平面将该正方体截成三个多面体,M,P,N,Q分别是所在棱的中点.
(1)求证：平面;
(2)求证：平面平面;
(3)求多面体的体积.
18．在三角形ABC中,角A、B、C所对边分别为a,b,c.已知,.
(1)求边b的长;
(2)延长BC至D,使得,连接AD.已知为锐角,且它的角平分线与AB交于点E,若外接圆半径为.求长.
19．如图，在边长为1的正三角形ABC中，D为AB的中点，，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N.
（1）用，表示；
（2）若，，求的值；
（3）求的取值范围.
参考答案
1．答案：答案：D
解析：根据题意，依次分析4个结论：
（1）若且，则或，（1）错误；
（2）若且，则或a与b异面，（2）错误；
（3）若且，则或，（3）错误；
（4）若且，则a与b平行、相交或异面，（4）错误；其中有4个结论不正确.
故选：D.
2．答案：C
解析：
3．答案：B
解析：若“”可得,可得;
当时,与的方向相反,其夹角为,
即与的夹角为钝角或平角,充分性不成立;
若“与的夹角为钝角”,即可知,解得,必要性成立;
因此“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B.
4．答案：D
解析：如图，连接AC，BD，EH，FG.因为F，G分别是边BC，CD上的点，且，所以，且.因为点E，H分别是边AB，AD的中点，所以，且，所以，且，所以直线EF与GH相交，其交点为M，因为，平面ABC，所以平面ABC，同理平面ACD.又平面平面，所以M在直线AC上.故选D.
5．答案：C
解析：
6．答案：B
解析：
7．答案：B
解析：由题知,设,
则,,,
又,
所以中,,①
在中,,②
联立①②,解得.
故选：B.
8．答案：A
解析：设与交于点G,连接,如图所示,
因为E为的中点,则,
由四边形是菱形,可得,则,
所以,所以,
又因为平面,平面,平面平面,所以,
所以.
9．答案：ABD
解析：
10．答案：ACD
解析：
11．答案：AC
解析：对于A,由正弦定理可得,
因为,所以,所以,
若,且,所以,
由余弦定理得,
由,,可得,即,当且仅当时等号成立,
则面积,所以面积的最大值为,故A正确;
对于B,若,且,由正弦定理得,
所以,当时,即,时有一解,故B错误;
对于C,若,所以,且为锐角三角形,
所以,解得,所以,
由正弦定理得,故C正确;
对于D,由于为锐角三角形,,,所以,
故AC边上的高为
则AC边上的高的取值范围为,故D错误.
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：(1)
(2)
解析：
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,结合正弦定理,
得,即,
即,即,
因为,所以,即.
（2）因为,所以.
利用正弦定理得.
而,
故的面积为.
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明：由题意得平面平面,
又平面平面,
平面平面,,
同理,又且,且,
且,四边形为平行四边形,,,
又平面,平面,平面.
（2）证明：由（1）知,,为中点,为中点,
同理为中点,连接,,,,
四边形为平行四边形,,又平面,
且平面,平面,又平面.
且,平面,平面平面.
（3）由正方体特性可知：,
所求多面体,
而几何体可以看成两三棱锥相减,
将延长至O点,使,根据相似知识可知,,,
得到几何体体积为三棱锥体积减去三棱锥体积,
,
.
18．答案：（1）7
（2）5
解析：（1）因为,
所以由正弦定理可得,
所以,
又因为,,所以,
,即,
（2）由（1）可知,在中,由正弦定理：,
可得：,所以,
为锐角, 由
可得：
即①
因为,所以,
由余弦定理得,求得,代入①可解得：
19．答案：(1)
(2)3
(3)
解析：（1）因为D为BC中点，
又，所以，
（2）若，，
，
，
M，O，N三点共线，
，
（3）由（2）得，
，，
由得，，
令，，则
得，
则，
，
所以的取值范围为