四川省绵阳中学2024届高三下学期高考适应性考试（一）数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省绵阳中学2024届高三下学期高考适应性考试（一）数学（理）试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知i为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知命题为奇函数；命题，，则下面结论正确的是( )
A.是真命题B.是真命题
C.是假命题D.是假命题
4．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为( )
A.B.C.D.
5．若数列的前n项积，则的最大值与最小值之和为( )
A.B.C.2D.
6．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A.B.C.D.
7．已知函数在上的最大值为，当把的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数且满足时，则正数的最小值为( )
A.B.C.D.
8．三棱柱，底面边长和侧棱长都相等.，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
9．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中，取出4张排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有( )种.
A.72B.144C.384D.432
10．已知向量是单位向量，，若，且，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
11．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为(参考数据：，)( )
A.4B.5C.6D.7
12．已知定义在R上的函数，为其导函数，满足①，②当时，，若不等式有实数解，则其解集为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．若的展开式中有理项的系数和为2，则展开式中的系数为__________.
14．已知公比为q的等比数列的单调性与函数的单调性相同，且满足，.若，则的概率为__________.
15．中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，，则的周长为__________.
16．已知抛物线，为抛物线内一点，不经过P点的直线与抛物线相交于A，B两点，连接，分别交抛物线于C，D两点，若对任意直线l，总存在，使得，成立，则该抛物线方程为______.
三、解答题
17．已知等差数列的首项，公差，且，设关于x的不等式的解集中整数的个数为.
（1）求数列的前n项和为；
（2）若数列满足，求数列的通项公式.
18．如图（1）在三角形PCD中，AB为其中位线，且，，若沿AB将三角形PAB折起，使，构成四棱锥，如图（2）E和F分别是棱和的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值.
19．某县电视台决定于2023年国庆前夕举办“弘扬核心价值观，激情唱响中国梦”全县歌手大奖赛，比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分，各位选手的演唱部分成绩频率分布直方图（1）如下：已知某工厂的6名参赛人员的演唱成绩得分（满分10分）如茎叶图（2）（茎上的数字为整数部分，叶上的数字为小数部分）.
（1）根据频率分布直方图和茎叶图评估某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平？（计算数据精确到小数点后三位数）
（2）已知初赛9.0分以上的选手才有资格参加决赛，问答题部分为5组题，选手对其依次回答.累计答对3题或答错3题即结束比赛，答对3题者直接获奖，已知该工厂参赛人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率，且各题对错互不影响，设甲答题的个数为X，求X的分布列及X的数学期望.
20．在直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，的最小值为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若与A，B不共线的点P满足，求面积的取值范围.
21．现定义：为函数在区间上的立方变化率.已知函数，.
（1）若存在区间，使得的值域为，且函数在区间上的立方变化率为大于0，求实数a的取值范围；
（2）若对任意区间，的立方变化率均大于的立方变化率，求实数a的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标是，曲线的参数方程为（t为参数），，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，与交于A，B两点.
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线？
（2）过点P作垂直于的直线l交于C，D两点，求的值.
23．设函数
（1）证明：；
（2）若，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：当，时，，
当，时，，
所以.
故选：A.
2．答案：B
解析：由复数，可得共轭复数为，
其在复平面内对应点为，位于第二象限.
故选：B.
3．答案：B
解析：对于p，的定义域为，
，
进一步化简得到，
故为奇函数，故p为真命题.
对于q，考虑单位圆中的正弦线、正切线和弧长的关系，如图所示，
，，，，因为，
故，即.故q为真命题，
综上，为真命题，选B.
4．答案：B
解析：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，
即点在抛物线的准线上，又由抛物线的准线方程为，则，则抛物线的焦点为，
则双曲线的左顶点为，即，
点在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为，由双曲线的性质，可得，
则，则焦距为.
故选：B.
5．答案：C
解析：数列的前n项积，
当时，，
当时，，，
时也适合上式，
，
当时，数列单调递减，且，当时，数列单调递减，且，
故的最大值为，最小值为，
的最大值与最小值之和为2.
故选：C.
6．答案：C
解析：设正四棱锥的底面边长为a，高为h，侧面三角形底边上的高为，则以h为边长的正方形的面积为，该四棱锥一个侧面三角形的面积为.
故，且.
故，化简整理得，解得或（舍），所以该四棱锥侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为，故选C.
7．答案：C
解析：依题意，在上单调递增，，时，
把的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，
又，得是的一条对称轴，
即，当时，正数取最小值.
故选：C.
8．答案：D
解析：设，，，，
由题意，，，
，
，
又，
设异面直线与所成角为，则.
故选：D.
9．答案：D
解析：分3类：
①红1蓝1，红4蓝4，排成一排；
②红2蓝2，红3蓝3，排成一排；
③2个1选1张，2个2选1张，2个3选1张，2个4选1张，排成一排，
由分类加法计数原理，共种，
故选：D.
10．答案：D
解析：由题设单位向量，，，
，，，
即到和的距离和为，而，
故动点表示线段上的动点.
又，该式表示到线段上点的距离，
其最小值为点到线段的距离，
而，故.
最大值为到的距离是3，所以的取值范围是.
故选：D.
11．答案：C
解析：第一次操作去掉的区间长度为；
第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；
第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；
以此类推，第n次操作去掉个长度为的区间，长度和为，
进行了第n次操作后，去掉区间长度和，
由，即，，
又，的最小值为6.
故选：C.
12．答案：D
解析：令，
则，
所以在上递增，
因为，
所以，即，
所以是偶函数，
不等式等价于：
，
即，即，
所以，
解得或，
故选：D.
13．答案：1
解析：
，6时为有理项，，
由，系数：.
故答案为：1.
14．答案：
解析：，又，，是方程的两根，
又为单增等比数列，，
又，
，
，，，
所求概率.
故答案为：.
15．答案：14
解析：因为，
所以，
即.，
由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，整理得：.
因，，
所以，整理得：，
则，
所以，
故答案为：14.
16．答案：
解析：由题意设，，，，，，
由可得：，
可得：，同理可得：，
则：（*），
将A，B两点代入抛物线方程得，，
作差可得：，而，即，
同理可得，，代入（*），可得，
此时抛物线方程为，
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由等差数列的首项，且，
可得，整理得，即，
因为，所以，所以，
可得.
（2）由不等式，即，
解得，
因为的解集中整数的个数为，所以，
又因为，
可得，
即，
当时，，
两式相减得，则，
当时，，解得，满足上式，所以，
所以数列的通项公式为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为，所以，
因为，E为中点，，所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，.
而，，又，平面，平面，
所以平面.
因为，所以平面，
又因为平面，平面，
所以且，
又因为在平面中，，
于是.因为在平面中，，于是.
因为，平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面.
（2）以A点为原点，以为x轴，为y轴，面的垂线为z轴建立空间直角坐标系，
由（1）知平面，所以z轴位于平面内，所以，P到z轴的距离为1，，
同时知，，，
，，
设平面的一个法向量为，
所以，，
令，则；
又为平面的一个法向量，
所以，
又因为平面与平面所成的二面角的平面角为锐角，
所以平面与平面所成的二面角的余弦值为.
19．答案：（1）高于
（2）分布列见解析，
解析：（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1得，解得，
所以全部参赛人员的整体水平为，
根据茎叶图可知某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平为，
所以某工厂的参赛6名人员的演唱水平高于全部参赛人员的平均水平.
（2）从这6位抽取2位的基本事件总数为，分差大于0.5的基本事件为除数据，，，，，外的9个基本事件，
故概率为，
依题意X的取值为3，4，5，则；
；
,
所以X的分布列为
所以.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由右焦点知，，
当垂直于x轴时，最小，其最小值为.
又，解得，，
椭圆C的标准方程为.
（2）解法一：取，
则点M在直线上，且点M为线段的中点.
.
当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，；
当不垂直于x轴时，设其斜率为k，则直线的方程为.
则点O到直线的距离，
联立方程，消去y整理得，
则，，，
，
，
令，则，
此时.
综上可得，面积的取值范围为.
解法二：当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，
由，得点P的坐标为，
则点P到直线的距离为1，
又，的面积为，
当不垂直于x轴时，设其斜率为k，
则直线的方程为，
设P，A，B的坐标分别为，，，
则，，
由，得，
，
即.
故点P在直线上，且此直线平行于直线.
则点P到直线的距离，
联立方程，消去y整理得，
则，，
，
，
令，则，
此时.
综上可得，面积的取值范围为.
解法三：取，
则点M在直线上，且点M为线段的中点.
，
设直线的方程为，则点O到直线的距离.
联立方程，消去x整理得，
则，，，
，
，
，
即面积的取值范围为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）在区间上的立方变化率为正，可得单调递增，即.
故若存在区间，使得的值域为，
即存在不同的，，使得，，
故方程有两不等实根，化简得有两不等实根.即与有两个不同的交点.
由，可知在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，
故要使与有两个不同的交点，,
故实数a的取值范围是.
（2）由对任意区间，的立方变化率均大于的立方变化率，可得，由可得，，即对任意，有，
可得在上单调递增.
即在上恒成立，
解法一：①当时，当时，，显然不成立.
②当时，在上恒成立，
即在上恒成立，
令在上恒成立，即.
显然在上单调递增，得在上恒成立.即恒成立
令，，
可得在上单调递减，在上单调递增，
故，解得，
解法二：①当时，当时，，显然不成立.
②当时，可转化为，
令，，可得与互为反函数，
故恒成立，只需恒成立即可，即恒成立.
令，，可得在上单调递减，在上单调递增，
故，解得.
解法三：令，可得，
①当时，，此时在上单调递增，由，当时，，故在上存在唯一，使得，即，即，，
令，则，
当时，，当时，，
此时在上单调递减，在上单调递增，
故在上恒成立，只需即可.
而，解得，
经检验，当时等号成立，故
②当时，当时，，显然不成立.
故.
22．答案：（1），抛物线
（2）
解析：（1）由根据
，故.
所以曲线的直角坐标方程为，它是抛物线.
（2）将直线l的参数方程代入曲线的直角坐标方程得：，
设点A对应参数为，点B对应参数为，，异号，
由参数t的几何意义可得：，
直线的倾斜角为，设C，D对应参数分别为，，
则，
.
23．答案：（1）详见解析
（2）
解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.
（2）因为，所以，解得：.
X
3
4
5
P