北京市第一六六中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份北京市第一六六中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，1，1B．1，，2C．2，3，4D．，3，5
2．（2分）如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
3．（2分）一次函数y＝﹣2x+4的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）一次函数y＝8x﹣3的图象经过点（1，y1），（3，y2），则下列判断中正确的是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法确定
5．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（ ）
A．B．2C．D．
6．（2分）某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ）
A．8分B．8.1分C．8.2分D．8.3分
7．（2分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的长为（ ）
A．B．4C．3D．2
8．（2分）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．36
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）菱形两条对角线长分别是4和6，则这个菱形的面积为 ．
11．（2分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+2（k≠0）与直线y＝2x相交于点（a，4），则a+k＝ ．
12．（2分）已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝ ．
13．（2分）如图，一次函数y＝x+2与y＝kx+b（k≠0）的图象交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
14．（2分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF平分∠AEC交BC于点F．若AD＝7，AE＝CD＝3，则BF的长为 ．
15．（2分）2023年4月，北京市每日最高气温的统计图如图所示：
根据统计图提供的信息，有下列三个结论：
①若按每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位；
②4月7日到4月8日气温上升幅度最大；
③若记4月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为，下旬（21日至30日）的最高气温的方差为，则＜＜．
其中所有正确结论的序号是 ．
16．（2分）如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．
（1）∠DAE＝ °；
（2）点P是线段AE上的一个动点，连接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，则PB+PC的最小值为 ．
三、解答题（本题共68分，其中第17题7分，第18～24题，每题5分，第25～26题，每题6分，第27～28题，每题7分）
17．（7分）计算：
（1）+﹣5；
（2）．
18．（5分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示．
（1）求k，b的值；
（2）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与两坐标轴所围成三角形的面积；
（3）根据图象，直接写出不等式kx+b＞﹣2的解集．
19．（5分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，BE＝DF，EF与对角线AC相交于点O．
（1）求证：OE＝OF；
（2）连接CE，若点G为CE的中点，连接OG．若AE＝6，求OG的长．
20．（5分）下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程：
已知：在Rt△ABC中，ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
作法：如图，
①分别以点A，C为圆心、大于AC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；
②作直线EF，交AC于点P；
③连接BP并延长至点D，使得PD＝BP；
④连接AD，CD．
则四边形ABCD是矩形．
根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AE，CE，AF，CF．
∵AE＝CE，AF＝CF，
∴EF是线段AC的垂直平分线．
∴AP＝ ．
又∵BP＝DP，
∴四边形ABCD是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（ ）（填推理的依据）．
21．（5分）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求BN的长．
22．（5分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）在图①中画一条线段MN，使得；
（2）在图②中画一个菱形ABCD，使其周长为；
（3）在图③画一个等腰Rt△ABC，使得它的面积为4．
23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是由直线y＝3x﹣1平移得到的，且经过点（﹣1，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＜﹣1时，若对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
24．（5分）如图，矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交BC，AD于点E，F，连接AE和CF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝3，BC＝5，求AE的长．
25．（6分）某校七年级和八年级学生人数都是200人，学校想了解这两个年级学生的阅读情况，分别从每个年级随机抽取了40名学生进行调查，收集了这80名学生一周阅读时长的数据，并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七、八年级各抽取的40名学生一周阅读时长统计图（不完整）如图（两个年级的数据都分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12）．
b．八年级学生一周阅读时长在6≤x＜8这一组的数据是：6 6 6 6 6.5 6.5 7 7 7 7 7.5 7.5．
c．七、八年级学生一周阅读时长的平均数、中位数和众数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）图1中p%＝ %；
（2）①补全八年级学生一周阅读时长统计图（图2）；
②上表中m的值为 ．
（3）将收集的这80名学生的数据分年级由大到小进行排序，其中有一名学生一周阅读时长是6.5小时，排在本年级的前20名，由此可以推断他是 年级的学生；（填“七”或“八”）
（4）估计两个年级共400名学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数．
26．（6分）水龙头关闭不严会造成滴水．下表记录了30min内7个时间点的漏水量，其中t表示时间，y表示漏水量．
解决下列问题：
（1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线；
（2）结合表中数据写出滴水量y关于时间t的函数解析式 （不要求写自变量的取值范围）；
（3）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约为 mL．
27．（7分）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．
（1）依题意补全图1；
（2）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；
（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．
参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．【解答】解：A．∵1＝1＝1，
∴三角形是等边三角形，不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵12+（）2＝1+3＝4，22＝4，
∴12+（）2＝22，
∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵22+32＝4+9＝13，42＝16，
∴22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵（）2+32＝7+9＝16，52＝25，
∴（）2+32≠52，
∴以，3，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝70°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣70°＝20°，
故选：B．
3．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+4，k＝﹣2＜0，b＝4＞0，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
4．【解答】解：∵一次函数y＝8x﹣3，
∵8＞0，
∴y的值随x值的增大而增大，
∵﹣1＜3，
∴y1＜y2．
故选：A．
5．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，
则由勾股定理知：AB＝＝＝，
又∵D为AB的中点，
∴CD＝AB＝．
故选：C．
6．【解答】解：该企业的总成绩为：8×+9×+7×＝8.1（分），
故选：B．
7．【解答】解：∵OA1＝1，
∴由勾股定理可得OA2＝＝，
OA3＝＝，
…，
∴OAn＝，
∴OA8＝＝2．
故选：D．
8．【解答】解：在图1中，作BE⊥AD，垂足为E，
在图2中，取M（6，6），N（12，8），
当点P从点A到点B时，对应图2中OM线段，得AB＝x＝6，
当点P从B到D时，对应图2中曲线MN从点M到点N，得AB+BD＝x＝12，解得BD＝6，
当点P到点D时，对应图2中到达点N，得AD＝AP＝y＝8，
在△ABD中，AB＝BD＝6，AD＝8，BE⊥AD，
解得AE＝4，
在Rt△ABE中，AB＝6，AE＝4，
BE2+AE2＝AB2，
解得BE＝2，
∴▱ABCD的面积＝AD×BE＝8×2＝16，
故选：B．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．【解答】解：式子在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，
故实数x的取值范围是：x≥5．
故答案为：x≥5．
10．【解答】解：由题意，知：S菱形＝×4×6＝12．
故答案为12．
11．【解答】解：∵直线y＝2x过点（a，4），
∴2a＝4，解得a＝2，
把点（2，4）代入y＝kx+2得，2k+2＝4，
∴k＝1，
∴a+k＝2+1＝3，
故答案为：3．
12．【解答】解：∵n是正整数，且也是正整数，
∴18﹣n是一个完全平方数，
∵18﹣n≥0，解得：n≤18，
∴0＜n≤18，
则18﹣n＝12，解得：n＝17，
或18﹣n＝22，解得：n＝14，
或18﹣n＝32，解得：n＝9，
或18﹣n＝42，解得：n＝2，
当18﹣n＝52时，解得：n＝﹣7，不符合n的范围．
故答案为：2或9或14或17（只填一个即可）．
13．【解答】解：∵一次函数y＝x+2与y＝kx+b（k≠0）的图象交于点P（1，3），
∴关于x，y的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
14．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝7，
∴∠AEF＝∠EFC，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∵AD＝7，AE＝CD＝3，
∴DE＝4，
∴EC＝＝＝5，
∴FC＝5，
∴BF＝2，
故答案为2．
15．【解答】解：①由图可知，4月4日的最高气温在4月是最低的，所以若按每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位．故本结论正确，符合题意；
②由图可知，所以4月7日到4月8日气温上升幅度约为×100%≈33.3%，4月24日到4月25日气温上升幅度约为×100%≈46.7%，所以4月7日到4月8日气温上升幅度不是最大．故本结论错误，不符合题意；
③由图可知，4月上旬（1日至10日）的最高气温在11℃至27℃徘徊，中旬（11日至20日）的最高气温在19℃至28℃徘徊，下旬（21日至30日）的最高气温在15℃至26℃徘徊，所以上旬气温波动最大，中旬气温波动最小，下旬气温波动在上旬与中旬之间，所以＜＜．故本结论正确，符合题意；
故答案为：①③．
16．【解答】解：（1）∵△DAC是等边三角形，
∴∠DAC＝∠ADC＝60°，AD＝DC，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝DE，∠EDC＝90°，
∴△ADE是等腰三角形，
∴∠DAE＝（180°﹣90°﹣60°）＝15°，
故答案为15°；
（2）作C点关于AE的对称点C'，连接C'B与AE交点为P，
∴PB+PC＝BC'，
∵∠EAD＝15°，∠DAC＝60°，
∴∠GAC＝45°，
∵AG⊥CG，
∴∠DCA＝45°，
∵AC＝2，
∴GC＝，
∴CC'＝2，
过C'作C'H⊥AC，则△C'CH为等腰直角三角形，
∴C'H＝2，
∴H与A重合，
∴C'A⊥AC，
在Rt△ABC'中，AB＝AC+BC＝5，AC'＝2，
∴BC'＝，
∴PB+PC的最小值为，
故答案为．
三、解答题（本题共68分，其中第17题7分，第18～24题，每题5分，第25～26题，每题6分，第27～28题，每题7分）
17．【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝
＝．
18．【解答】解：（1）将点（1，6）和（﹣3，﹣2）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴k＝2，b＝4；
（2）由（1）可知一次函数为y＝2x+4，
设一次函数y＝2x+4与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，
令y＝0，则求得x＝﹣2，令x＝0，则y＝4，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与两坐标轴所围成三角形的面积为：＝＝4；
（3）根据图象可知，关于x的不等式kx+b＞﹣2的解集为x＞﹣3．
19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵BE＝DF，
∴AE＝CF，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：∵点G为CE的中点，OE＝OF，AE＝6，
∴OG＝AE＝3．
20．【解答】解：（1）如图，四边形ABCD为所作；
（2）证明：连接AE，CE，AF，CF，
∵AE＝CE，AF＝CF，
∴EF是线段AC的垂直平分线，
∴AP＝CP，
又∵BP＝DP，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个内角为90°的平行四边形为矩形）．
故答案为：CP；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形．
21．【解答】解：∵将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，
∴AN＝DN，
设BN＝x，则AN＝DN＝9﹣x，
在Rt△BND中，（9﹣x）2＝32+x2，解得x＝4，
即BN的长为4．
22．【解答】解：（1）如图①中，线段MN即为所求；
（2）如图②中，菱形ABCD即为所求；
（3）如图③中，△ABC即为所求．
23．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是由直线y＝3x﹣1平移得到的，
∴k＝3，即y＝3x+b，
∵一次函数y＝3x+b（k≠0）的图象过点（﹣1，2），
∴2＝﹣3+b，
解得：b＝5，
∴此函数解析式为y＝3x+5；
（2）把点（﹣1，2）代入y＝mx，求得m＝﹣2，
∵当x＜﹣1时，若对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，
∴m≤﹣2．
24．【解答】（1）证明：∵点O是AC的中点，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，EA＝EC，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO．
在△AOF和△COE中，
∵∠FAO＝∠ECO，OA＝OC，∠AOF＝∠COE＝90°，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴FA＝EC，
∴AE＝EC＝CF＝FA，
∴四边形AECF为菱形．
（2）解：设AE＝CE＝x，则BE＝5﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°．
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BE2＝AE2，
即32+（5﹣x）2＝x2，
解得，x＝3.4，
即AE＝3.4．
25．【解答】解：（1）图1中p%＝1﹣（5%+22.5%+27.5%+30%+5%）＝10%，即p＝10，
故答案为：10；
（2）①4≤x＜6的人数为40﹣（3+5+12+10+2）＝8（人），
补全图形如下：
②由题意知，这组数据的第20、21个数据为6、6.5，
所以这组数据的中位数m＝＝6.25，
故答案为：6.25；
（3）∵这名学生一周阅读时长是6.5小时，大于八年级阅读时长的中位数6.25小时，而小于七年级阅读时长7小时，
∴可以推断他是八年级的学生，
故答案为：八．
（4）一周阅读时长不低于8小时的人数为200×（30%+5%）+200×＝130（人）．
26．【解答】解：（1）描点、连线如下：
（2）滴水量y关于时间t的函数解析式为y＝3t；
故答案为：y＝3t；
（3）一天的漏水量约为y＝3×（24×60）＝4320（mL），
故答案为：4320．
27．【解答】解：（1）如图1所示：
（2）如图2，连接AE，
则∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠EAP＝∠BAP＝20°，
∴∠EAD＝130°，
∴∠ADF＝＝25°；
（3）如图3，连接AE、BF、BD，
由轴对称的性质可得：EF＝BF，AE＝AB＝AD，
∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，
∴∠BFD＝∠BAD＝90°，
∴BF2+FD2＝BD2，
∴EF2+FD2＝2AB2．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
6.225
7
7
八年级
6.375
m
8
时间t/min
0
5
10
15
20
25
30
漏水量y/mL
0
15
30
45
60
75
90