江苏省南京市秦淮区2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份江苏省南京市秦淮区2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）若一个正n边形的内角和为720°，则它的每个外角度数是（ ）
A．36°B．45°C．72°D．60°
2．（2分）下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（﹣x+y）B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．（﹣x﹣y）（x﹣y）D．（x+y）（﹣x+y）
3．（2分）已知，则比较a、b、c、d的大小结果是（ ）
A．b＜a＜d＜cB．a＜b＜d＜cC．b＜a＜c＜dD．b＜d＜a＜c
4．（2分）如图，某同学在课桌上随意将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于（ ）
A．60°B．90°C．75°D．105°
5．（2分）平面内，将长分别为1，1，3，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是（ ）
A．1B．3C．5D．7
6．（2分）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a，b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b（a＞b）．现有这三种纸片各10张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需要写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）
7．（2分）华为一部分Mate40手机将会搭载麒麟9000处理器，这是手机行业首批采用5nm工艺制式的芯片，1nm＝0.000000001m，其中5nm用科学记数法表示为 m．
8．（2分）“对顶角相等”的逆命题是 ．（用“如果…那么…”的形式写出）
9．（2分）如图梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，高为7cm，若将梯形ABCD向右平移4cm得到梯形A′B′C′D′，则平移前后两梯形重叠部分的面积为 cm2．
10．（2分）已知a＝96，b＝314，c＝273，则a、b、c的大小关系为 （用“＜”号连接）．
11．（2分）如图，把长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠EBF＝α，则∠1的度数为 °．
12．（2分）一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，则∠1的度数是 °．
13．（2分）在一个多边形中，小于108°的内角最多 个．
14．（2分）若正有理数m使得二次三项式x2﹣2mx+36是一个完全平方式，则m＝ ．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2024BC和∠A2024CD的平分线交于点A2025，则∠A2025＝ °．
16．（2分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上的一点，且BE＝3EC，CD与AE相交于点F，若△ABC的面积为40，则四边形BDFE的面积为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）计算：
（1）（﹣3x2）3﹣（x3）2+x8÷x2；
（2）（a+2）2﹣（a+1）（a﹣3）；
（3）（x﹣2y+z）（x﹣2y﹣z）．
18．（5分）先化简，再求值：（1+a）（1﹣a）﹣（a﹣2）2+（a﹣2）（2a+1），其中a＝﹣．
19．（6分）如图，已知FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G、D，∠1＝∠2，
求证：∠CED+∠ACB＝180°．请你将小明的证明过程补充完整．
证明：∵FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G、D（已知）
∴∠FGB＝∠CDB＝90°（ ），
∴GF∥CD（ ）．
∵GF∥CD（已证）
∴∠2＝∠BCD（ ），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝ ，（ ），
∴ ，（ ），
∴∠CED+∠ACB＝180°（ ），
20．（5分）已知：5a＝2，5b＝6，5c＝48．
（1）求52a﹣b的值；
（2）a、b、c之间的数量关系为 ．
21．（5分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，且通过两次平移（沿网格线方向作上下或左右平移）后得到△A'B'C'，点C的对应点是直线上的格点C'．
（1）画出△A'B'C'．
（2）若连接AA′、BB′，则这两条线段之间的关系是 ．
（3）试在直线l上画出格点P，使得由点A'、B'、C'、P四点围成的四边形的面积为9．
22．（6分）如图，已知∠MON，点A，B分别在OM，ON上．
（1）利用直尺和圆规过点A作直线m∥ON，过点B作直线n∥OM，直线m、n交于点P．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：∠O＝∠APB．
23．（7分）【课内回顾】
（1）若ac＝bc，当c满足 时，则a＝b；
【阅读材料】
如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况：
①底数不为零的零指数幂，例如30＝1；
②底数为1的整数幂，例如1﹣2＝1；
③底数为﹣1的偶数次幂，例如（﹣1）2＝1．
【知识运用】
（2）若（x+2）x+4＝1，求x的值；
（3）若（x+2）x+4＝x+2，则x＝ ．
24．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点D、E、F，过点B作BP∥AC交EF于点P．
（1）若∠A＝70°，∠F＝25°，求∠BPD的度数．
（2）求证：∠F+∠FEC＝2∠ABP．
25．（8分）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想（ ）
A．数形结合
B．分类讨论
C．类比推理
D．转化
利用上述公式解决问题：
【直接应用】
（2）若xy＝4，x+y＝6，则x2+y2＝ ；
【类比应用】
（3）若（x﹣2024）2+（2025﹣x）2＝2026，求（x﹣2024）（2025﹣x）的值；
【知识迁移】
（4）如图②，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为11，△CDG的面积为7，则CE的长度为 ．
26．（8分）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索：
（1）下列有A、B两题，请你选择其中一个进行证明（若两题都证明，按题A给分）．
A．如图①，∠1和∠2是△ABC的两个外角，求证∠1+∠2＝180°+∠A；
B．如图②D、E是△ABC边AB、AC上的点，将△ADE沿DE翻折至△FDE，若点F在△ABC内部，∠1+∠2＝2∠A．
我选择 作答
（2）如图③，BE、CE分别平分四边形ABCD的外角∠CBM、∠BCN．已知∠A＝100°，∠D＝120°，求∠E的度数；
（3）如图④，已知五边形ABCDE，延长AE至F，延长BC至G，连接CE，点P、Q分别在边DE、CD上，将△DPQ沿PQ翻折至△D′PQ，若，，∠A＝m°，∠B＝n°．请你直接写出∠1+∠2的度数（用含m、n的代数式表示）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）若一个正n边形的内角和为720°，则它的每个外角度数是（ ）
A．36°B．45°C．72°D．60°
【解答】解：一个正n边形的内角和为720°，
∴180°（n﹣2）＝720°，解得，n＝6，
∵正六边形的外角和为360°，
∴每个外角的度数为360°÷6＝60°，
故选：D．
2．（2分）下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（﹣x+y）B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．（﹣x﹣y）（x﹣y）D．（x+y）（﹣x+y）
【解答】解：A、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，A符合题意；
B、两个括号中，﹣x相同，含y的项的符号相反，故能使用平方差公式，B不符合题意；
C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，C不符合题意；
D、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，D不符合题意；
故选：A．
3．（2分）已知，则比较a、b、c、d的大小结果是（ ）
A．b＜a＜d＜cB．a＜b＜d＜cC．b＜a＜c＜dD．b＜d＜a＜c
【解答】解：∵a＝﹣（0.2）2＝﹣0.04，
b＝﹣2﹣2＝﹣，
c＝（﹣）﹣2＝4，
d＝（﹣）0＝1，
∴b＜a＜d＜c．
故选：A．
4．（2分）如图，某同学在课桌上随意将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于（ ）
A．60°B．90°C．75°D．105°
【解答】解：如图所示：
∵∠1与∠4是对顶角，∠2与∠3是对顶角，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∴此三角形是直角三角形，
∴∠3+∠4＝90°，即∠1+∠2＝90°．
故选：B．
5．（2分）平面内，将长分别为1，1，3，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是（ ）
A．1B．3C．5D．7
【解答】解：连接AC，
在△ACD中，3﹣1＜AC＜3+1，
∴2＜AC＜4，
在△ABC中，AC﹣1＜x＜AC+1，
∴1＜x＜5，
∴x可能是3．
故选：B．
6．（2分）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a，b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b（a＞b）．现有这三种纸片各10张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：共有以下6种拼法：
①∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴可以用甲、丙正方形纸片各1张，乙长方形纸片2张拼出一个边长为a+b正方形；
②∵（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，
∴可以用甲正方形纸片1张，丙正方形纸片4张，乙长方形纸片4张拼出一个边长为a+2b正方形；
③∵（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，
∴可以用甲正方形纸片4张，丙正方形纸片1张，乙长方形纸片4张拼出一个边长为2a+b正方形；
④∵（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，
∴可以用甲、丙正方形纸片各4张，乙长方形纸片8张拼出一个边长为2a+2b正方形；
⑤∵（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，
∴可以用甲正方形纸片9张，丙正方形纸片1张，乙长方形纸片6张拼出一个边长为3a+b正方形；
⑥∵（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，
∴可以用甲正方形纸片1张，丙正方形纸片9张，乙长方形纸片6张拼出一个边长为a+3b正方形；
综上所述，共有6种不同的正方形，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需要写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）
7．（2分）华为一部分Mate40手机将会搭载麒麟9000处理器，这是手机行业首批采用5nm工艺制式的芯片，1nm＝0.000000001m，其中5nm用科学记数法表示为 5×10﹣9 m．
【解答】解：∵1nm＝0.000000001m，
∴5nm＝5×0.000000001m＝0.000000005m＝5×10﹣9m，
故答案为：5×10﹣9．
8．（2分）“对顶角相等”的逆命题是 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 ．（用“如果…那么…”的形式写出）
【解答】解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
9．（2分）如图梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，高为7cm，若将梯形ABCD向右平移4cm得到梯形A′B′C′D′，则平移前后两梯形重叠部分的面积为 28 cm2．
【解答】解：∵将梯形ABCD向右平移4cm得到梯形A′B′C′D′，
∴AA′＝BB′＝4，
∵AD＝6，BC＝10，
∴A′D＝2，B′C＝6，
∴梯形A′B′CD的面积＝（2+6）×7＝28，
即平移前后两梯形重叠部分的面积为28cm2．
故答案为28．
10．（2分）已知a＝96，b＝314，c＝273，则a、b、c的大小关系为 c＜a＜b （用“＜”号连接）．
【解答】解：∵a＝96＝（32）6＝312，c＝273＝（33）3＝39，9＜12＜14，
∴39＜312＜314，
∴c＜a＜b，
故答案为：c＜a＜b．
11．（2分）如图，把长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠EBF＝α，则∠1的度数为 °．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF＝α，
∴∠BED＝180°﹣∠AEB＝180°﹣α，
由折叠得：∠DEF＝∠BED＝，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠DEF＝，
故答案为：．
12．（2分）一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，则∠1的度数是 15 °．
【解答】解：延长CB交直线AE于点M，
∵AE∥CD，
∴∠AMB＝∠BCD＝30°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠1＝∠ABC﹣∠AMB＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15．
13．（2分）在一个多边形中，小于108°的内角最多 4 个．
【解答】解：∵多边形的内角小于108°，
∴外角大于72°，
∵360°÷72°＝5，
∴小于108°的内角最多有4个，
故答案为：4．
14．（2分）若正有理数m使得二次三项式x2﹣2mx+36是一个完全平方式，则m＝ 6 ．
【解答】解：∵x2﹣2mx+36是一个完全平方式，
∴m＝±6，
∵m为正有理数，
∴m＝6，
故答案为：6
15．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2024BC和∠A2024CD的平分线交于点A2025，则∠A2025＝ °．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC＝∠ACD﹣∠ABC＝（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠ACD＝∠ABC+∠A，
∴∠A1＝（∠ABC+∠A﹣∠ABC）＝∠A＝m°，
同理可得：∠A2＝∠A1＝m°，∠A3＝m°，
．．．
∴∠A2025＝m°＝（）°，
故答案为：．
16．（2分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上的一点，且BE＝3EC，CD与AE相交于点F，若△ABC的面积为40，则四边形BDFE的面积为 18 ．
【解答】解：连接BF，
∵BE＝3EC，
∴S△BEF＝3S△CEF，S△ABE＝3S△ACE，
∵△ABC的面积为40，
∴S△ABE＝30，S△ACE＝10，
∵D是AB的中点，
∴，S△ADF＝S△BDF，
设S△CEF＝x，
则S△BEF＝3x，S△BDF＝20﹣x﹣3x＝20﹣4x，
∴2（20﹣4x）+3x＝30，
解得x＝2，
∴四边形BDFE的面积为20﹣4x+3x＝20﹣x＝20﹣2＝18，
故答案为：18．
三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）计算：
（1）（﹣3x2）3﹣（x3）2+x8÷x2；
（2）（a+2）2﹣（a+1）（a﹣3）；
（3）（x﹣2y+z）（x﹣2y﹣z）．
【解答】解：（1）（﹣3x2）3﹣（x3）2+x8÷x2
＝﹣27x6﹣x6+x6
＝﹣27x6；
（2）（a+2）2﹣（a+1）（a﹣3）
＝a2+4a+4﹣（a2﹣3a+a﹣3）
＝a2+4a+4﹣a2+3a﹣a+3
＝6a+7；
（3）（x﹣2y+z）（x﹣2y﹣z）
＝（x﹣2y）2﹣z2
＝x2﹣4xy+4y2﹣z2．
18．（5分）先化简，再求值：（1+a）（1﹣a）﹣（a﹣2）2+（a﹣2）（2a+1），其中a＝﹣．
【解答】解：（1+a）（1﹣a）﹣（a﹣2）2+（a﹣2）（2a+1）
＝1﹣a2﹣a2+4a﹣4+2a2+a﹣4a﹣2
＝a﹣5，
当a＝﹣时，原式＝﹣﹣5＝﹣．
19．（6分）如图，已知FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G、D，∠1＝∠2，
求证：∠CED+∠ACB＝180°．请你将小明的证明过程补充完整．
证明：∵FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G、D（已知）
∴∠FGB＝∠CDB＝90°（ 垂直定义 ），
∴GF∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∵GF∥CD（已证）
∴∠2＝∠BCD（ 两直线平行，同位角相等 ），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝ ∠BCD ，（ 等量代换 ），
∴ DE∥BC ，（ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠CED+∠ACB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
【解答】证明：∵FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G，D（已知）
∴∠FGB＝∠CDB＝90°（垂直定义）．
∴GF∥CD（同位角相等，两直线平行），
∵GF∥CD（已证），
∴∠2＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠BCD（等量代换），
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠CED+∠ACB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BCD；等量代换；DE∥BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
20．（5分）已知：5a＝2，5b＝6，5c＝48．
（1）求52a﹣b的值；
（2）a、b、c之间的数量关系为 3a+b＝c ．
【解答】解：（1）52a﹣b
＝52a÷5b
＝（5a）2÷5b
＝4÷6
＝；
（2）∵（5a）3•5b＝23•6＝8•6＝48＝5c，
∴3a+b＝c．
故答案为：3a+b＝c．
21．（5分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，且通过两次平移（沿网格线方向作上下或左右平移）后得到△A'B'C'，点C的对应点是直线上的格点C'．
（1）画出△A'B'C'．
（2）若连接AA′、BB′，则这两条线段之间的关系是 AA′∥BB′，AA′＝BB′ ．
（3）试在直线l上画出格点P，使得由点A'、B'、C'、P四点围成的四边形的面积为9．
【解答】解：（1）△A'B'C'如图所示．
（2）AA′∥BB′，AA′＝BB′，
故答案为：AA′∥BB′，AA′＝BB′．
（3）由题意：△A′B′C′的面积为5，
∴当△PA′C′或△B′C′P′的面积为4即可．
如图点P即为所求．
22．（6分）如图，已知∠MON，点A，B分别在OM，ON上．
（1）利用直尺和圆规过点A作直线m∥ON，过点B作直线n∥OM，直线m、n交于点P．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：∠O＝∠APB．
【解答】（1）解：如图，即为所求．
（2）证明：∵m∥ON，n∥OM，
∴∠APB＝∠PBN，∠O＝∠PBN，
∴∠O＝∠APB．
23．（7分）【课内回顾】
（1）若ac＝bc，当c满足 c≠0 时，则a＝b；
【阅读材料】
如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况：
①底数不为零的零指数幂，例如30＝1；
②底数为1的整数幂，例如1﹣2＝1；
③底数为﹣1的偶数次幂，例如（﹣1）2＝1．
【知识运用】
（2）若（x+2）x+4＝1，求x的值；
（3）若（x+2）x+4＝x+2，则x＝ ﹣2或﹣1或﹣3． ．
【解答】解：（1）∵ac＝bc，
∴当c≠0时，则a＝b，
因此若ac＝bc，当c满足c≠0时，则a＝b，
故答案为：c≠0．
（2）分三种情况讨论如下：
①当x+4＝0且x+2≠0时，（x+2）x+4＝1，
由x+4＝0，解得：x＝﹣4，
此时x+2＝﹣2≠0，
∴当x＝﹣4时，（x+2）x+4＝1；
②当x+2＝1且x+4为整数时，（x+2）x+4＝1，
由x+2＝1，解得：x＝﹣1，
此时x+4＝3为整数，
∴当x＝﹣1时，（x+2）x+4＝1；
③当x+2＝﹣1且x+4为偶数时，（x+2）x+4＝1，
由x+2＝﹣1，解得：x＝﹣3，
此时x+4＝1不是偶数，故不合题意，舍去．
综上所述：若（x+2）x+4＝1，则x的值为﹣4或﹣1．
故答案为：﹣4或﹣1．
（3）分三种情况讨论如下：
①当x+2＝0且x+4≠0时，（x+2）x+4＝x+2，
由x+2＝0，解得：x＝﹣2，
此时x+4＝2≠0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）x+4＝x+2，
②当x+2＝1且x+4为整数时，（x+2）x+4＝x+2，
由x+2＝1，解得：x＝﹣1，
此时x+4＝3为整数，
∴当x＝﹣1时，（x+2）x+4＝x+2，
③当x+2＝﹣1且x+4为奇数时，（x+2）x+4＝x+2，
由x+2＝﹣1，解得：x＝﹣3，
此时x+4＝1为奇数，
∴当x＝﹣3时，（x+2）x+4＝x+2，
综上所述：若（x+2）x+4＝x+2，则x＝﹣2或﹣1或﹣3．
24．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点D、E、F，过点B作BP∥AC交EF于点P．
（1）若∠A＝70°，∠F＝25°，求∠BPD的度数．
（2）求证：∠F+∠FEC＝2∠ABP．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠ABC＝70°，BP∥AC，
∴∠ABP＝∠A＝70°＝∠ABC，
∴∠PBF＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠BPD＝∠F+∠PBF＝25°+40°＝65°；
（2）∵∠F+∠FEC＝180°﹣∠C，∠A+∠ABC＝180°﹣∠C，
∴∠F+∠FEC＝2∠A＝2∠ABP．
25．（8分）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想（ A ）
A．数形结合
B．分类讨论
C．类比推理
D．转化
利用上述公式解决问题：
【直接应用】
（2）若xy＝4，x+y＝6，则x2+y2＝ 28 ；
【类比应用】
（3）若（x﹣2024）2+（2025﹣x）2＝2026，求（x﹣2024）（2025﹣x）的值；
【知识迁移】
（4）如图②，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为11，△CDG的面积为7，则CE的长度为 8 ．
【解答】解：（1）图①中大正方形的面积用“边长的平方”表示为（a+b）2，用“各部分面积之和”表示为a2+2ab+b2，利用数形结合的数学思想验证了公式（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，A．
（2）∵xy＝4，x+y＝6，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝36，即x2+y2+8＝36，
∴x2+y2＝28．
故答案为：28．
（3）设x﹣2024＝m，2025﹣x＝n，则m+n＝1，m2+n2＝2026，（x﹣2024）（2025﹣x）＝mn，
∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝1，即2026+2mn＝1，
∴mn＝﹣，
∴（x﹣2024）（2025﹣x）＝﹣．
（4）设正方形ABCD的边长为a，正方形DEFG的边长为b，则CE＝a+b．
∵S△ABG＝AG•AB＝（a﹣b）a，S△EFG＝EF•FG＝b2，
∴S阴影＝S△ABG+S△EFG＝（a﹣b）a+b2＝11，经整理，得a2﹣ab+b2＝22，
∵S△CDG＝CD•DG＝ab＝7，
∴ab＝14，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2
＝a2﹣ab+b2+3ab
＝22+3×14
＝64，
∴a+b＝8或﹣8（舍去），
∴CE＝8．
故答案为：8．
26．（8分）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索：
（1）下列有A、B两题，请你选择其中一个进行证明（若两题都证明，按题A给分）．
A．如图①，∠1和∠2是△ABC的两个外角，求证∠1+∠2＝180°+∠A；
B．如图②D、E是△ABC边AB、AC上的点，将△ADE沿DE翻折至△FDE，若点F在△ABC内部，∠1+∠2＝2∠A．
我选择 A或B 作答
（2）如图③，BE、CE分别平分四边形ABCD的外角∠CBM、∠BCN．已知∠A＝100°，∠D＝120°，求∠E的度数；
（3）如图④，已知五边形ABCDE，延长AE至F，延长BC至G，连接CE，点P、Q分别在边DE、CD上，将△DPQ沿PQ翻折至△D′PQ，若，，∠A＝m°，∠B＝n°．请你直接写出∠1+∠2的度数（用含m、n的代数式表示）
【解答】（1）证明：选择A，证明如下：
∵∠ABC＝180°﹣∠1，∠ACB＝180°﹣∠2，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+180°﹣∠1+180°﹣∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝180°+∠A；
选择B，证明如下：
由翻折性质得：∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，
∴∠ADF＝2∠ADE，∠AEF＝2∠AED，
∴∠ADF+∠AEF＝2（∠ADE+∠AED），
∵∠ADF+∠AEF＝180°﹣∠A，
∴∠ADF+∠AEF＝2（180°﹣∠A）＝360°﹣2∠A，
又∵∠ADF＝180°﹣∠1，∠AEF＝180°﹣∠2，
∴∠ADF+∠AEF＝360°﹣（∠1+∠2），
∴360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣2∠A，
即∠1+∠2＝2∠A；
故答案为：A或B．
（2）延长BA，CD交于点K，如图③所示：

由（1）A可知：∠BAD+∠CDA＝180°+∠K，∠MBC+∠NCB＝180°+∠K，
则∠MBC+∠NCB＝∠BAD+∠CDA
∵∠BAD＝100°，∠CDA＝120°，
∴∠MBC+∠NCB＝100°+120°＝220°，
∵BE、CE分别平分∠CBM、∠BCN，
∴∠EBC+∠ECB＝（∠MBC+∠NCB）＝110°，
∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝70°；
（3）由（3）可知：∠EAB+∠CBA＝∠CEF+∠ECG，
∵∠EAB＝m°，∠CBA＝n°，
∴∠FEC+∠GCF＝m°+n°，
设∠DEF＝α，∠DCG＝β，
∴∠CEF＝3α，∠ECG＝3β，
∴∠DEC＝2α，∠DCE＝2β，
∴3α+3β＝m°+n°，
即α+β＝（m°+n°），
∵∠D＝180°﹣（∠DEC+∠DCE）
∴∠D＝180°﹣2（α+β）＝180°﹣（m°+n°），
由（1）B可知：∠1+∠2＝2∠D＝．