2023-2024学年重庆市梁平区梁山初中教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市梁平区梁山初中教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.14的平方根是( )
A. 12B. −12C. ±12D. 116
2.在 1、 2、 3、 4这四个数中，无理数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.在下列所给出坐标的点中在第二象限的是( )
A. (2,3 )B. (−2,3 )C. (−2,−3)D. ( 2，−3)
4.下列说法中，正确的是( )
A. 16的算术平方根是−4B. 25的平方根是5
C. −27的立方根是−3D. 1的立方根是±1
5.下列命题中，是真命题的是( )
A. 同位角相等B. 相等的角是对顶角
C. 邻补角一定互补D. 有且只有一条直线与已知直线垂直
6.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE=90°，则∠EOC和∠AOD的关系( )
A. 相等
B. 互补
C. 互余
D. 以上三种都有可能
7.数轴上点A，B表示的数分别是5、−3，它们之间的距离可以表示为
( )
A. −3+5B. −3−5C. −3+5D. −3−5
8.如图，AF是∠BAC的平分线，DF/​/AC，若∠1=35°，则∠BAC的度数为( )
A. 17.5°
B. 35°
C. 55°
D. 70°
9.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1(0,1)，A2(1,1)，A3(1,0)，A4(2,0)，那么A2020坐标为( )
A. (2020,1)B. (2020,0)C. (1010,1)D. (1010,0)
10.设[x)表示大于x的最小整数，如[3)=4,[−1.2)=−1，则下列结论：
①[0)=0；
②[x)−x的最小值是0；
③[x)−x的最大值是1；
④存在实数x，使[x)−x=0.5成立；
⑤如[x)+x=a，则不大于a的最大整数一定是奇数
其中正确的是( )
A. ①③④B. ②③④C. ③④D. ③④⑤
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.点M(−3,4)到y轴的距离是______．
12.364的平方根是______．
13.若|a−2|+ b−3+(c−4)2=0，则a−b+c=______．
14.把一副三角板放在同一水平面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数为______．
15.如图，将一副直角三角扳叠在一起，使直角顶点重合于O点，则∠AOB+∠DOC=______．
16.已知点P(x,y)在第二象限，且|x|=3，|y|=5，则点P的坐标是______．
17.如果a，b分别是2020的两个平方根，那么a+b−ab=______．
18.用“∝”表示一种新运算，对于任意实数都有a∝b= a−3b+2a−1.例如4∝8= 4−38+2×4−1=7，那么1∝(−27)= ______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)2 2+ 9+3−8+| 2−2|；
(2) 16−3−27−( 5)2．
20.(本小题10分)
已知a是−64的立方根，b的算术平方根为2．
(1)写出a，b的值；
(2)求3b−a的平方根．
21.(本小题10分)
已知实数a，b，e在数植上对应的点的位氨如图所示，化简：|a+b|− (c−b)2+3(a−c)3．
22.(本小题10分)
已知m，n为有理数，并且满足等式m2−2n− 2n=17−4 2，求m+n．
23.(本小题10分)
已知 13=x+y,x为整数．
(1)当0(2)当−124.(本小题10分)
根据语句画图，并回答问题，如图，∠AOB内有一点P．
(1)作线段OP；过点P画直线PC/​/OB交OA于点C，画直线PD/​/OA交OB于点D．
(2)证明∠AOB=∠CPD，请完善证明过程．
证明：∵PC/​/OB，
∴ ______
∵ ______
∴∠DPO=∠AOP ______
∵∠AOB= ______+ ______
∠CPD=∠CPO+∠DPO，
∴∠AOB=∠CPD ______
25.(本小题10分)
定义：纵坐标等于横坐标二倍的点统称“2倍点”．
(1)写出四个“2倍点”的坐标，并标注在平面直角坐标系内．
(2)猜想并画出所有“2倍点”组成的图形．
(3)将图中的点M左移一个单位，下移6个单位得到点P.点A是“2倍点”，当线段PA取得最小值时，画出线段PA并写出此时A点的坐标．
26.(本小题10分)
如图①，平面直角坐标系中，A(−2,0)，C(2,2)，过点C作CB⊥x轴于点B．
(1)△ABC的面积为______；
(2)如图②，过点B作BD/​/AC交y轴于点D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数；
(3)如图③，AC与y轴交于点Q(0,1)，点P在y轴上，使得△ABC和△ACP的面积相等，直接写出点P坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：14的平方根为± 14=±12，
故选：C．
根据平方根的定义求出即可．
本题考查了对平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，注意：a(a≥0)的平方根为± a．
2.【答案】B
【解析】解： 1=1， 4=2，是整数，属于有理数；
无理数有 2和 3共2个．
故选：B．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3.【答案】B
【解析】解：∵第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，
∴(2,3)、(−2,3)、(−2,−3)、(2,−3)中只有(−2,3)在第二象限．
故选：B．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数解答即可．
本题考查了点的坐标的知识，解答本题的关键在于记住各象限内点的坐标的符号．四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
4.【答案】C
【解析】解：∵16的算术平方根是4，
∴选项A不符合题意；
∵25的平方根是±5，
∴选项B不符合题意；
∵−27的立方根是−3，
∴选项C符合题意；
∵1的立方根是1，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
根据立方根、平方根的含义和求法，以及算术平方根的含义和求法，逐项判定即可．
此题主要考查了立方根、平方根的含义和求法，以及算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．
5.【答案】C
【解析】解：A、两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；
B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
C、邻补角一定互补，正确，是真命题；
D、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误，是假命题，
故选：C．
利用平行线的性质、邻补角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、邻补角的定义等知识，难度不大．
6.【答案】C
【解析】解：因为∠AOE=90°，
所以∠EOB=90°，
所以∠EOC+∠COB=90°，
因为∠BOC=∠AOD，
即∠EOC和∠AOD互余．
故选：C．
直接利用对顶角的性质结合互余的定义得出答案．
此题主要考查了余角的定义以及对顶角的性质，正确得出∠EOC+∠AOD=90°是解题关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查绝对值的意义、数轴上两点间的距离；理解数轴上两点间的距离与绝对值的关系是解决问题的关键．
由距离的定义和绝对值的关系容易得出结果．
【解答】
解：∵点A、B表示的数分别是5、−3，
∴它们之间的距离=|−3−5|=8．
故选D．
8.【答案】D
【解析】解：∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠FAC．
∵DF//AC，
∴∠FAC=∠1=35°．
∴∠BAC=70°．
故选：D．
先利用平行线的性质求出∠FAC的度数，再由角平分线的性质得结论．
本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解决本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：由图象可知：纵坐标每四个点循环一次，而2020=505×4，
故A 2020的纵坐标与A4的纵坐标相同，都等于0；
由A4(2,0)，A8(4,0)，A12(6,0)…，
可得到规律A4n(2n,0)(n为不为0的自然数)，
当n=505时，A2020(1010,0)．
故选：D．
结合图象可知：纵坐标每四个点循环一次，而2020=505×4，故A 2020的纵坐标与A4的纵坐标相同，都等于0；由A4(2,0)，A8(4,0)，A12(6,0)…可得到以下规律，A4n(2n,1)(n为不为0的自然数)，当n=505时，A2020(1010,0)．
考查了规律型：点的坐标，学生归纳猜想的能力，本题属于循环类规律探究题，结合图象找准循环节是解决本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：设[x)表示大于x的最小整数，如[3)=4,[−1.2)=−1，则下列结论：
①∵[x)表示大于x的最小整数，∴[0)=1，故本小题错误；
②∵[x)表示大于x的最小整数，∴[x)−x的最小值大于0且小于等于1，故本小题错误；
③∵[x)表示大于x的最小整数，∴[x)−x的最大值是1，故本小题正确；
④当x=0.5时，[x)−x=0.5成立，故本小题正确；
⑤∵[x)表示大于x的最小整数，[x)+x=a,∴不大于a的最大整数一定是奇数，故本小题正确．
故选：D．
①根据[x)表示大于x的最小整数可得出[0)=1；
②根据[x)表示大于x的最小整数，可知[x)−x的最小值大于0且小于等于1；
③当x为整数时，[x)−x=1，当x为小数时，[x)−x<1，据此可进行判断；
④当x=0.5时，原式成立；
⑤可把x代入具体数值进行验证．
本题考查的是实数大小比较，此题属新定义型题目，明确[x)表示大于x的最小整数是解答此题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：点A的坐标(−3,4)，它到y轴的距离为|−3|=3，
故答案为：3．
根据点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．
本题考查了点的坐标，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值．
12.【答案】±2
【解析】解：364=4，4的平方根为±2，
故答案为：±2．
原式利用立方根定义及平方根定义计算即可得到结果．
此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：∵|a−2|+ b−3+(c−4)2=0，
∴a−2=0，b−3=0，c−4=0，
∴a=2，b=3，c=4．
∴a−b+c=2−3+4=3．
故答案为：3
先根据非负数的性质求出a、b、c的值，再代入所求代数式计算即可．
本题考查的知识点是：某个数的绝对值与一个数的算术平方根以及另一数的平方的和等于0，那么绝对值里面的代数式的值为0．
14.【答案】75°
【解析】解：作直线l平行于直角三角板的斜边，
可得：∠2=∠3=45°，∠4=∠5=30°，
故∠1的度数是：45°+30°=75°．
故答案是：75°．
直接利用平行线的性质结合已知角得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
15.【答案】180°
【解析】解：由题意可知，∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠DOC+∠BOC=90°，
∴∠AOB+∠DOC=∠AOC+∠BOC+∠DOC=180°．
故答案为：180°．
由题意可得∠AOC=∠BOD=90°，则∠DOC+∠BOC=90°，所以∠AOB+∠DOC=∠AOC+∠BOC+∠DOC=180°．
本题主要考查角度的计算，通过角度的和差运算，把所求角度转化为两个角的和是解题关键．
16.【答案】(−3,5)
【解析】解：∵|x|=3，|y|=5，
∴x=±3，y=±5，
∵点P(x,y)在第二象限，
∴x=−3，y=5，
∴点P的坐标为(−3,5)．
故答案为：(−3,5)．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数结合绝对值的性质求出x、y的值，然后写出即可．
本题考查了各象限内点的坐标，掌握各象限内点的坐标的符号特征是关键．
17.【答案】2020
【解析】解：∵a，b分别是2020的两个平方根，即a= 2020，b=− 2020，
∴a+b−ab=0+2020=2020．
故答案为：2020．
利用平方根定义求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】5
【解析】解：∵a∝b= a−3b+2a−1，
∴1∝(−27)
= 1−3−27+2×1−1
=1−(−3)+2−1
=1+3+2−1
=5．
故答案为：5．
根据a∝b= a−3b+2a−1，用1的算术平方根减去−27的立方根，再加上1的2倍，最后减去1，求出1∝(−27)的值即可．
此题主要考查了实数的运算，注意运算顺序，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“∝”的运算方法．
19.【答案】解：(1)原式=2 2+3−2+2− 2
=3+ 2；
(2)原式=4+3−5
=2．
【解析】(1)利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算即可；
(2)利用算术平方根及立方根的定义，二次根式的性质计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)因为a是−64的立方根，b的算术平方根为2，
所以a=−4，b=4；
(2)因为a=−4，b=4，
所以3b−a=3×4−(−4)=12+4=16．
所以3b−a的平方根为±4．
【解析】(1)根据立方根的定义求出a的值，根据算术平方根的定义求出b的值；
(2)根据平方根的定义求出3b−a的平方根．
本题考查的是平方根、立方根和算术平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数；正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有平方根．
21.【答案】解：由数轴得：b则a+b<0，c−b>0，a−c<0，
原式=−a−b−(c−b)+a−c
=−a−b−c+b+a−c
=−2c．
【解析】由数轴可得b0，a−c<0，然后将原式化简即可．
本题考查立方根，数轴，二次根式及绝对值的性质，结合已知条件求得a+b<0，c−b>0，a−c<0是解题的关键．
22.【答案】解：由题意得，
m2−2n=17−n=−4，
解得m=5n=4或m=−5n=4，
当m=5，n=4时，
m+n=5+4=9；
当m=−5，n=4时，
m+n=−5+4=−1，
∴m+n的值是9或−1．
【解析】运用实数的概念进行列式、计算．
此题考查了实数概念的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行列式、计算．
23.【答案】解：(1)∵ 9< 13< 16，
∴3< 13<4，
∵x为整数，0∴x=3，y= 13−3，
∴x−y=3− 13+3=6− 13．
(2)∵ 9< 13< 16，
∴3< 13<4，
∵x为整数，−1∴x=4，y= 13−4，
∴x−y=4− 13+4=8− 13．
【解析】(1)先估算出3< 13<4，根据x为整数，0(2)先估算出3< 13<4，根据x为整数，−1本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．
24.【答案】∠CPO=∠POB PD/​/OA (两直线平行，内错角相等) ∠POB ∠POA (等量代换)
【解析】解：(1)如图，连接OP，过点P作∠OPC=∠BOP，交直线OA于点C，作直线PC，
则直线PC/​/OB，
则直线PC即为所求，如图，过点P作∠DPC=∠ACP，交直线OB于点D，作直线PD，
则直线PD/​/OA，
则直线PD即为所求；
(2)证明：∵PC/​/OB，
∴∠CPO=∠POB，
∵PD/​/OA，
∴∠DPO=∠AOP(两直线平行，内错角相等)，
∵∠AOB=∠POB+∠POA，
∠CPD=∠CPO+∠DPO，
∴∠AOB=∠CPD(等量代换)．
故答案为：∠CPO=∠POB，PD/​/OA，(两直线平行，内错角相等)，∠POB，∠POA，(等量代换)．
(1)连接OP，过点P作∠OPC=∠BOP，交直线OA于点C，作直线PC即可．过点P作∠DPC=∠ACP，交直线OB于点D，作直线PD即可．
本题考查作图—复杂作图、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
25.【答案】解：(1)如图所示，点(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)即为所求；

(2)猜想并画出所有“2倍点”组成的图形如图所示，组成的图形为一条直线；
(3)如图所示，线段PA即为所求，A(1,2)．
【解析】(1)根据题意写出点的坐标并作出图形即可；
(2)根据2倍点的定义作出大概图形即可得出结论；
(3)先找出点P的坐标位置，再根据垂线段最短作出点P到直线的垂线交点即为点A，再根据图形写出坐标即可．
本题考查了作图−平移变换，垂线段最短，熟记垂线段最短以及平移变换的性质是解题的关键．
26.【答案】4
【解析】解：(1)∵A(−2,0)，C(2,2)，过点C作CB⊥x轴于点B，
∴B(2,0)，
∴OB=2，
∴AB=2+2=4，
∴S△ABC=12AB⋅BC=12×4×2=4；
故答案为：4；
(2)如图，过E作EF/​/AC．
∵CB⊥x轴，
∴CB/​/y轴，∠CBA=90°，
∴∠ODB=∠6．
又∵BD/​/AC，
∴∠CAB=∠5，
∴∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=180°−∠CBA=90°．
∵BD/​/AC，
∴BD/​/AC/​/EF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4．
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3=12∠CAB，∠4=12∠ODB，
∴∠AED=∠1+∠2=∠3+∠4=12(∠CAB+∠ODB)=45°．
(3)存在．理由如下：
设P点坐标为(0,t)，
∵Q点坐标为(0,1)，
∴S△PAC=S△APQ+S△CPQ=12|t−1|⋅2+12|t−1|⋅2=4，
解得t=3或−1，
∴P点坐标为(0,3)或(0,−1)．
(1)根据三角形面积公式可得出答案；
(2)过E作EF/​/AC，证得∠ODB=∠6，∠CAB=∠5，由此求出∠CAB+∠ODB的值，根据BD//AC//EF及角平分线的定义求出∠3=12∠CAB，∠4=12∠ODB，由此求出答案；
(3)利用S△PAC=S△APG+S△CPG进行计算可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了坐标与图形性质，平行线的判定与性质，三角形的面积等知识，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键．