广东省华南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

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一、单项选择题：
1—4．CDAA 5—8． DBBD
二、多项选择题： 9.BCD 10．BD 11. ACD
7【详解】因为，所以.当时，，
所以.因为也满足，所以.令，
则，，所以.
或，则．
8. 【详解】化简知，，
当，时，，，
∴，，即为奇数时，数列是常数列，，
∴当为奇数时，；
又∵当为偶数时，为奇数，，∴，
综上所述，数列的通项公式为.
∴数列的通项公式为，使用错位相减法得其前2024项和为.
10. 【详解】，故A错误；
，
所以的最小正周期为，
因为的定义域为，关于原点对称，
且，可知为奇函数，
又因为，
则，
当时，则，可得；
当时，则，可得；
可得在内单调递减，在内单调递增，
所以在处取得极小值，故B正确；
且，可知在内的最小值为，
结合奇函数对称性可知：在内的最大值为，
所以在内的最小值为，最大值为，
结合周期性可知：在内的最小值为，最大值为，
故，，，故C错误；
令，即，得或，
当时，解得或，故在上有2个零点，故D正确；故选：BD.
11. 【详解】对于A，函数具有性质，即存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，对两边求导得，因此存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，也具有性质，A正确；
对于B，函数具有性质，则对任意的实数，，即，
于是，即函数的周期是4，因此，
所以，B错误；
对于C，函数具有性质，则，有，
取，则，而当时，，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列，则，C正确；
对于D，函数（）具有性质，即存在常数，
使得对任意的实数恒成立，即，而，因此，
令，则有正数解，
为单增函数，
故若，则，从而单增，又故不可能有有正数解.
反之，若，则先负后正，从而在上先单减后单增，故必有正数解.
从而有正数解等价于，故，解得，D正确. 故选：ACD
三、填空题： 12．17． 13．． 14．．
14. 【详解】因为，所以，依题意在上有两个变号零点，令，，又
故有两个变号零点，求导得，
故函数在上单增，上单减，上单增，…
画出函数的草图后，可判断出若在两个变号零点，必有,
从而的取值范围是.
四、解答题：
15．（1）根据农户近5年种植药材的平均收入情况的统计数据可得：
，，
设，则，所以，
则，．所以，回归方程为．
（2）将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4，
则残差平方和为．
因为，所以回归方程拟合效果符合要求．
16．（1）点E在上且为直径，，
又平面平面，平面平面，且平面，
平面，平面，，
又平面，故平面.
（2）当四棱锥体积最大时，是的中点，
此时，，取中点，连接，
则，即平面，又，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴及轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，
，，设平面的一个法向量为，则
取，可得，平面的一个法向量为，
设平面与平面所成夹角为，则，
故平面与平面所成夹角的余弦值为.
17．（1）解法一：设的公差为，由①，得②，
则② ①得，即，又，则；
解法二：设的公差为，因为，所以对恒成立，即对恒成立，
所以，又，则；
（2）由得，即，
所以，又即，则，因此则故18．（1），，又，，故的图象在点处的切线方程为，即.
（2），又，，
则 = 1 \* GB3 ①时，当，，单增；当，，单减；
= 2 \* GB3 ②时，当，，单减；当，，单增；
当，，单调递减；
= 3 \* GB3 ③时，当，，在单调递减；
= 4 \* GB3 ④时，当，，单调递减；当，，单调递增；
当，，单调递减.
综上所述：当，的单调增区间为，单调减区间为；
当，的单调减区间为，单调增区间为；
当，的单调减区间为，没有单调增区间；
当，的单调减区间为，单调增区间为.
（3）若对任意，都有，则在上的最大值；
由（2）可知，当，在单调递增，在单调递减，
故；
令，则，
故在单调递增，又，
故当时，，
也即当时，对任意，都有.故的最大值为.
19．（1）联立方程，得 ，
，∴与椭圆C只有一个交点，是切线；
若 ， ，切线方程为， 也满足，
若 ，切线方程为 ，也满足，
综上，是椭圆C在处的切线方程；
（2）解法一：依题意作下图：设圆O的切点为，则其切线方程为 ，设 ，
联立方程： ，得 ，
， ，
在A点的椭圆C的切线方程为 ，在B点的椭圆C的切线方程为 ，
联立方程 ， 得 ，
，得 ，代入① ，
因为 点在切线 上，所以 ，得 ，
使用水平底铅垂高计算的面积，铅垂高为 ，
又 ，从而 ，即 ，
，
∵点P在圆O上，∴ ，由题意， ，
设函数，，∴；
当时，切线方程为 ，代入椭圆C的方程得 ，，
，同理时，.
综上 取值范围是．
解法二：设直线，因为AB与曲线O相切，则有
，即．
设，将代入椭圆方程得：
，
，
则．
由（1）的结论，
过点A的切线为，过点B的切线为，
而两条切线交于点P，则所以A,B的坐标满足直线，即直线AB方程．
易知，则，故有即
则点P到直线AB的距离，
所以，当时，，
故 取值范围是．