2024内江高三下学期第三次模拟考试数学（文）含答案

这是一份2024内江高三下学期第三次模拟考试数学（文）含答案，共12页。试卷主要包含了本试卷包括第Ⅰ卷两部分，共4页，考试结束后，监考员将答题卡收回等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上．
3．考试结束后，监考员将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．集合的子集个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．已知是虚数单位，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和为（ ）
A．11B．12C．13D．14
5．如图所示的程序框图，若输入，则输出k的值为（ ）
A．3B．7C．15D．31
6．在等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（ ）
A．25B．30C．35D．40
7．设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为（ ）
A．B．1或C．D．1或
8．口袋中装有质地和大小相同的6个小球，小球上面分别标有数字1，1，2，2，3，3，从中任取两个小球，则两个小球上的数字之和大于4的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．已知正方体的棱长为2，点M、N、P分别为棱AB、、的中点，则平面MNP截正方体所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．若函数有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线，以双曲线C的右顶点A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，若，则双曲线的离线率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数的定义域为，对都有成立，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知函数，则函数在处的切线方程为______．
14．已知实数x，y满足则的最大值为______．
15．若函数是奇函数，则______．
16．在中，角A的平分线AD与BC边相交于点D，若，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）
17．（本小题满分12分）
2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024·内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示：
（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程；
（2）若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将2×2列联表补充完整，并判断能否有90%的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关．
参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，，，其中．
18．（本小题满分12分）
已知等差数列的公差为4，且，，成等比数列，数列的前n项和为，且．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，，平面．
（1）求证：；
（2）若PD与平面PBC所成的角为，求三棱锥的体积．
20．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）若恒成立，求a的取值集合；
（2）证明：．
21．（本小题满分12分）
已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）证明：为定值．
请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔将所选题号涂黑．
22．（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为加点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标系方程为．
（1）求曲线和的普通方程，并指出曲线和所表示的曲线类型；
（2）若曲线和交于点A、B，点P在曲线上，且的面积为，求点P的直角坐标．
23．（本小题满分10分）
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）将函数的图象与直线围成的封闭图形的面积记为t，若正数a、b、c满足，求证：．
内江市高中2024届第三次模拟考试
数学（文科）参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．D2．C3．C4．B5．C6．C7．D8．A
9．B10．D11．D12．A
二、填空题（本答题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．14．115．16．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．解：（1）由表格知，，
所以，
，
则，，
故y关于x的线性回归方程为．
（2）依题意，补充2×2列联表如下：
故没有90%的把握认为该节目的观众是否购买A等票与性别有关．
18．解：（1）依题意，设等差数列的首项为，因为，，成等比数列，
所以，又，即，解得，
故，
由已知，故，
两式相减，得，
又，解得，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故
（2）由（1）得，
故，
则
两式相减得
，
故
19．解：（1）证明：取PB的中点M，连接AM．
∵，∴．
又平面，平面，，
∴．又，∴．
∵底面ABCD是直角梯形，且
∴，∴．
又，，∴．
又，∴．
（2）取PC的中点N，连接MN、DN，则，．
∴四边形AMND是平行四边形，则．
又，∴，则是PD与平面PBC所成的角，
即，在中，易知．
在直角梯形ABCD中，易知，
∴，∴，∴，
在中，，
∴是等边三角形．从而．
∴．
故所求三棱锥的体积为．
20．解：（1）由题可知函数的定义域为，
∵，∴当时，，递减，
当时，，递增，∴，
由已知恒成立，所以，．
令，则，
∴当时，，递增，当时，，递减，∴，
又∵，，，，
∴，故a的取值集合为．
（2）由（1）可知，当时，，即，，
∴（当时，“＝”成立），
令，，
则，即，
故，，…，，
由累加法可得，
即．
21．解：（1）因为准线为：，设，则，所以
故抛物线E的标准方程为
（2）证明：易知抛物线E的焦点，
设直线AB的方程为，、，联立可得，
由韦达定理可得，，
接下来证明抛物线E在点A处的切线方程为，
联立可得，即，即，
所以，直线与抛物线E只有唯一的公共点，
所以，AC的方程为，
同理可知，直线BD的方程为，
在直线AC的方程中，令，可得，即点，
同理可得点，所以，直线的方程为，即，
设点、，联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
同理可得，
所以，
故为定值．
22．解：（1）将曲线的参数方程（为参数）中的参数消去，
得的普通方程为，
所以曲线表示以为圆心，1为半径的圆．
将，代入曲线的极坐标方程，
得曲线的直角坐标方程为，
所以曲线表示经过点，且斜率为的直线．
（2）由（1）得圆心到直线的距离为，
所以．设点，
则点P到直线的距离．
因为的面积为，所以．
所以，则或（舍去），
所以，或，，
所以或，，
点P的直角坐标为或．
23．（1）由可得，
即，解得．所以不等式的解集为．
（2），其函数图象如下图，
由图可知：，
又因为a、b、c均为正数，则
（当且仅当时，等号成立）
即，即．
场次编号x
1
2
3
4
5
观众人数y
1
购买A等票
购买非A等票
总计
男性观众
50
女性观众
60
总计
100
200
k
购买A等票
购买非A等票
总计
男性观众
40
50
90
女性观众
60
50
110
总计
100
100
200