2024南昌一中高二下学期4月期中考试数学试题

这是一份2024南昌一中高二下学期4月期中考试数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：彭勇 审题人：赵子锋 试卷总分：150分 考试时长：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
2.记为等差数列的前n项和．若，，则( )
A. B. C. 10D. 12
3.数列是等比数列，首项为，公比为，则“”是“数列是递增数列”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是( )
A. 在上单调递增
B. 在上单调递增
C. 在时取得极大值
D. 在时取得极小值
5.已知函数在区间上为单调递增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前n项和为( )
A. B. C. D.
7.已知数列的通项公式为，若数列为递减数列，则实数k的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.若，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导结果错误的是( )
A. B.
C. D.
10.已知数列的前n项和为，下列说法正确的是( )
A. 若，则是等差数列
B. 若是等比数列，且，，则
C. 若是等差数列，则
D. 若，则是等比数列
11.将个数排成n行n列的一个数阵，如右图：
该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列其中已知，，记这个数的和为下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等比数列中，，是函数的极值点，则__________
13.函数的极值为__________.
14.对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和”，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数p的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知函数
求函数的导数的表达式；
求函数的值域．
16.本小题15分
为等差数列的前n项和，已知，
求数列的通项公式；
求，并求的最小值.
17.本小题15分
已知等比数列的公比，且，是，的等差中项数列满足，数列的前n项和为
求q的值；
求数列的通项公式．
18.本小题17分
已知函数，函数
求的单调区间；
当时，若与的图象在区间上有两个不同的交点，求k的取值范围．
19.本小题17分
已知函数
若恒成立，求实数k的取值范围；
证明：
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题导数的几何意义，属于基础题．
先求出导数，然后求出切线的斜率，最后利用点斜式求出切线方程．
【解答】
解：由题知，，，
切线方程为，即，
故选
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等差数列的求和公式，考查运算求解能力，是基础题．
根据题意，可得，即可得解．
【解答】
解：为等差数列的前n项和，，，
设公差为d，
，
可得，
故选：
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分条件和必要条件及等比数列的知识，属一般题.
根据等比数列的知识，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【解答】
解：因为 ，则或
当且时，数列单调递增；
当且，数列单调递增；
当且，数列不单调.
而若数列递增，则且或且，可以得到，
故“”是“数列递增”的必要而不充分条件.
故选
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了导函数图象与原函数图象的关系，以及利用导数判断函数的单调性、极值，属基础题.
根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.
【解答】
解：观察的图象可知：
在区间上，
则在上单调递减；
在区间上，
则在上单调递增.
所以不是的极值点，是的极大值点.
所以ACD选项错误，B选项正确.
故选
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于基础题.
求出导数，转化为：，，从而求出a的范围.
【解答】
解：，
若函数在上单调递增，且，
则在上恒成立，
，
而，则
，
故选
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数列与函数相结合，数列求和以及函数的导数的应用，裂项相消法求和，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
利用函数的导数，求出切线的斜率，得到，然后利用裂项相消法求解数列的前n项和即可．
【解答】
解：函数，
可得：，
因为函数的图象在点处的切线的斜率为，
可得：
，
则数列 的前n项的和为：
故选
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查数列的函数特征，是基础题.
由数列为递减数列，则，转化为恒成立问题，本题可解.
【解答】
解：因为，
由数列为递减数列知，对任意N，，
所以对任意N恒成立，
所以
故选
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数比较大小，属于中档题.
设，利用导数判断在上的单调性，从而可判断选项A、B；设，利用导数判断在上单调递减，从而可判断选项C、
【解答】
解：由题意，设，则，
因为在上单调递增，
且，，所以存在，使，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上不是单调函数，无法判断与的大小，故选项A、B错误；
设，，当时，，
所以在上单调递减，又，所以，即，
所以，故选项C正确，选项D错误．
故选
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查简单复合函数的求导，属于基础题.
根据导数的运算公式进行求解即可.
【解答】
解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查等比、等差数列的前n项和的性质以及应用，涉及等比、等差数列的性质，属于基础题．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若，则，
当时，，
时，也满足上式，
所以，则易得是等差数列，A正确，
对于B，若是等比数列，当时，则，B错误，
对于C，是等差数列，则，C正确，
对于D，若，则，
当时，，
时，也满足上式，
所以，则是等比数列，D正确，
故选：
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查的是等差数列、等比数列的通项公式、求和公式以及基本性质，属于较难题.
根据条件结合等差数列等比数列的性质逐个选项分析即可.
【解答】
解：选项由题意，该数阵第一列的 n个数从上到下构成以 m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，且，，
可得，，所以，
解得或舍去，所以选项A是正确的；
选项B：又由，所以选项B不正确；
选项又由
，所以选项C是正确的；
选项又由这个数的和为S，
则………
，所以选项D是正确的.
故选
12.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的极值、一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
对求导得，可得、是的两个实数根，结合等比数列的性质即可得出．
【解答】
解：，
，
，是函数的极值点，
、是的两个实数根，
，
，
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数求导及利用导数研究函数的极值的相关知识，属于中档题.
先直接求出导函数，然后判断导函数的正负性，进而判断函数的单调性，然后求得极值.
【解答】
解：
函数的定义域为，
且，
令，得，
当x变化时，，y的变化情况如下表：
当时，y有极大值，为
故答案为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数列的新定义问题，等差数列的单调性和最值的判断，属于中档题.
首先利用，构造从而计算出 ，进一步得到，以及，利用等差数列的单调性即可得到答案.
【解答】
解：由题意的，
，，
两式作差得，
，，
检验当时， 符合题意，
所以，
，
则数列是等差数列，
若对任意的恒成立，
则，
解得
故答案为
15.【答案】解：，，
，；
，
由得，，
函数在上单调递增，
，
；
函数的值域为
【解析】本题考查基本初等函数的求导公式，导数的乘法运算，以及利用导数求函数最值，属于基础题．
根据基本初等函数的求导公式和导数的乘法运算，即可求导出；
当时，可得出，从而得出在上是增函数，即可求出的最小值和最大值，进而得出的值域．
16.【答案】解：为等差数列的前n项和，，
，
解得，，
数列的通项公式
时，取最小值为
【解析】本题考查等差数列的通项公式、前n项和的最小值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
由等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式．
求出从而可得时，取最小值．
17.【答案】解：等比数列的公比，
且，是，的等差中项，
可得，
解得，
由，可得或舍去，
则q的值为2；
由及可得，
解得，故，
设，
可得时，，
时，可得，
上式对也成立，
则，
即有，
可得…
…，
…，
相减可得…
，
化简可得
【解析】本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式及等差数列的性质、错位相减法的运用，考查运算能力．
运用等比数列的通项公式和等差数列中项性质，解方程可得公比q；
设，运用数列的递推式可得，再由数列的恒等式求得…，运用错位相减法，可得所求数列的通项公式．
18.【答案】解：由题意可得的定义域为，且因为，
所以①当时，由，得；由，得
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为
②当时，由，得；由，得
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为
综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为
当时，令，得，即，
则与的图象在上有两个不同的交点，
等价于在上有两个不同的实数根．
设，则
由，得；由，得
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，故
因为，，且，
所以要使在上有两个不同的实数根，则，
即k的取值范围为
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系，导数中的零点问题，属于较难题.
求解导函数，然后分类讨论求单调区间；
利用参变分离法，将题目条件转化为在上有两个不同的实数根，构造函数，求导，判断函数单调性并求解最值，从而得k的取值范围.
19.【答案】解：
若，当时，，不符合题意.
若，得；得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以
所以
所以k的取值范围为
证明：由知，当，，
所以
所以，
而，
所以，
所以
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、研究函数的最值求解参数的取值范围，考查不等式的证明，考查分类讨论这一数学思想，属于较难题.
首先求导得，据a的取值讨论可得在上递增，在上递减，故，可得，可得k的取值范围为
利用的结论得，进而可得，可得，结论得证.
x
2
+
0
-
+
0
+
y
↗
极大值
↘
↗
非极值
↗