上海市建平中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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说明：1．本场考试时间为120分钟，总分150分
2．本卷所有解答均在答题纸上答卷，解答题写出必要解答过程
一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）
1. 某古典概型样本空间，事件，则___________.
2. 设函数在处存在导数为3，则__________
3. 函数的驻点是________．
4. 正整数24有__________个不同的正因数．
5. 函数，则_____.
6. 在区间上，是函数在该区间严格增的__________条件．（①充要条件②充分不必要条件③必要不充分条件④既非充分也非必要条件）
7. 函数的图象在点处的切线方程为______．
8. 关于的方程的正整数解是__________
9. 平面上有8个点，其中有3个点在同一条直线上，除此之外，不再有任意三点共线，由这些点可以确定__________直线
10. 已知，则满足的实数的取值范围是__________.
11. 建平中学“9.30”活动需要4个不同节目的志愿者服务队，有7名志愿者被分配到这4个服务队，7人中有5名高二学生和2名高一学生，1名高一学生至少需要1名高二学生进行工作的传授，每个服务队至少需要1名高二学生，且2名高一学生不能分配到同一个服务队，则不同的分配方案种数是__________.
12. 已知函数有三个不同的零点，其中则的值为__________.
二、选择题（13、14题每题4分，15、16题每题5分，共18分）
13. 已知事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”，则和（ ）
A. 是对立事件B. 不是互斥事件
C. 互斥但不是对立事件D. 是不可能事件
14. 某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（ ）
A. 120种B. 240种C. 216种D. 256种
15. 已知函数，其导函数图象如图所示，则（ ）
A. 有2个极值点B. 在处取得极小值
C. 有极大值，没有极小值D. 在上单调递减
16. 建平中学高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：
则甲夺冠的概率为（ ）
A. 0.15B. 0.162C. 0.3D. 0.25
三、解答题（17、18、19题每题14分，20、21题每题18分，共78分）
17. 有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字．设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）判断事件和事件是否相互独立，并说明理由．
18. 建平中学在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎“春”卡各两张，“龙”卡三张.每个同学从卡箱中随机抽取张卡片，其中抽到“龙”卡获得分，抽到其他卡均获得分.
（1）求学生甲最终获得分的不同的抽法种数；
（2）求学生乙最终获得分的概率．
19. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取4件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立
（1）求4件产品中恰有2件不合格品的概率，并记为；
（2）求的最大值点；
20. 已知函数是自然对数底数．
（1）当时，求函数单调性；
（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
（3）若为整数，且当时，恒成立，求的最大值．
21. 已知与都是定义在上的函数，函数图像上任意两点，记表示此两点连线的斜率.当时，都有，则称是的一个“T函数”．
（1）判断是否为函数一个函数，并说明理由；
（2）设的导数为，求证：关于的方程在区间上有实数解；
（3）函数的导函数存在记为，即导函数存在记为，当都有，函数是否存在T函数?若存在，请求出的所有函数；若不存在，请说明理由．
甲
乙
丙
丁
甲获胜概率
0.3
0.3
0.7
乙获胜概率
0.7
0.6
0.3
丙获胜概率
0.7
0.4
0.4
丁获胜概率
0.3
0.7
0.6