四川省成都市第七中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考号等填写（涂）在答题卡的指定位置上.
2.回答选择题时，选出每个小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡相应位置上
3.考试结束后，只需将答题卡交回，试卷由考生自行保管.
4.试卷满分：150分，考试时间：120分钟.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知，则的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. 1D. 2
2. 已知点在抛物线上，则点到其焦点的距离（ ）
A 7B. 8C. 9D. 10
3. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在等比数列中，，则（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
5. 从一个三棱台的9条棱中任取2条，它们所在直线互为异面直线的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数且在区间上单调递减，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆柱内接于表面积为的球（圆柱的上､下底面圆周都在球面上），当圆柱的体积最大时，其高等于（ ）
A. B. C. 3D.
8. “肝胆两相照，然诺安能忘.”（《承左虞燕京惠诗却寄却寄》，明•朱察卿）若两点关于点成中心对称，则称为一对“然诺点”，同时把和视为同一对“然诺点”.已知，函数图象上有两对“然诺点”，则等于（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 在二项式展开式中，下列说法正确的有（ ）
A. 常数项等于240B. 项的系数等于160
C. 偶次项系数之和等于365D. 系数绝对值最大的是第5项
11. 已知，函数在处取得极大值，则下列不等式可以成立的有（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某同学决定用圆周率的不足近似值3.14159中出现的这六个数字编成一组六位数的开锁密码（每个数字用一次），则两个数字“1”不相邻的不同密码共有__________组.
13. 已知分别是双曲线的左､右顶点，直角的顶点在轴上，顶点在双曲线的一条渐近线上，且斜边的中点为，则双曲线的离心率为__________.
14. 牛顿数列是牛顿利用曲线的切线和数列的极限探求函数的零点时提出的，在航空航天领域中应用广泛.已知牛顿数列的递推关系为：是曲线在点处的切线在轴上的截距，其中.
（1）若，并取，则的通项公式为__________；
（2）若取，且为单调递减等比数列，则可能为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，面为正方形，面为等边三角形，分别是和的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
16. “一花一世界，一叶一追寻.”为庆祝建校120周年，激发同学们对校园的热爱､对艺术的追求，学校某学生社团举办了“校园一隅”自然景观摄影比赛.经过初赛的激烈角逐，有3名女生和2名男生的摄影作品（每人一件）闯入决赛.决赛采用抽签的方式决定顺序，由5名选手依次对自己的摄影作品进行创作陈述，最终评出特等奖2件（事先假定每件作品获奖的可能性相同）.
（1）求至少有1名男生的摄影作品最终获得特等奖的概率；
（2）求决赛时，恰好有2名女生相邻进行创作陈述概率；
（3）若当2名男生都陈述结束时，还有名女生没有陈述的概率为0.2，求.
17. 已知，并补充规定.
（1）化简：.
（2）在数列中，，前项和满足.
①求的通项公式；
②设，求数列的前项和.
18. 已知椭圆经过点，且离心率为.直线与交于两点，连结.
（1）求面积的最大值；
（2）设直线分别与轴交于点，线段的中点为，求直线与直线的交点的轨迹方程.
19. 已知函数为自然对数的底数.
（1）设，求在区间内的实根个数；
（2）若对任意都成立，求的取值范围；
（3）设，比较与的大小.