2023年四川省广安市岳池县中考数学三诊试卷附解析

这是一份2023年四川省广安市岳池县中考数学三诊试卷附解析，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践应用题，推理论证题，拓展探索题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）倒数为﹣2的是（ ）
A．2B．C．﹣D．﹣2
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．a3•a5＝a15C．D．a2+a2＝a4
3．（3分）目前全国初中生共有50100000人，将数“50100000用科学记数法可以表示为（ ）
A．5.01×107B．50.1×106C．501×105D．0.501×107
4．（3分）如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）下列说法中正确的个数为（ ）
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④有限小数是有理数，无限小数是无理数；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．（3分）一次函数y＝2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位，那么所得图象的函数解析式是（ ）
A．y＝2x﹣3B．y＝2x+2C．y＝2x+1D．y＝2x
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，线段PQ在对角线AC上运动，且PQ＝1．连接BP，BQ．则△BPQ周长的最小值是（ ）
A．3+1B．4C．+1D．2+1
9．（3分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为（ ）
A．10B．8C．4D．4
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①4ac﹣b2＞0；②若（﹣，y1），（，y2）是图象上的两点，则y1＞y2；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；⑤3a+c＜0中正确的是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡上相应位置，本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）比较大小： （选填“＞”，“＜”或“＝”）
12．（3分）已知a2+a﹣1＝0，则代数式2a2+2a+2021的值是 ．
13．（3分）若点（a，﹣3）在第三象限，则点（2，a）在第 象限．
14．（3分）若（x﹣2021）2+|2022+y|+＝0，则（x+y）m＝ ．
15．（3分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间（t单位：s）之间的函数关系如图所示．则当t＝1.5s时，小球的高度为 m．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2；以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3；以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长 ．
三、解答题（本大题共4小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分.解答时应按要求写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤.）
17．（5分）计算：﹣2tan60°．
18．（6分）先化简，再求值：÷（a﹣3+），其中a＝﹣1．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在CA和AC的延长线上，且AE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣2，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是2．
（1）求m、n的值；
（2）求直线AC的解析式．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21题6分，第22、23、24题各8分，共30分.解答时应按要求写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤.）
21．（6分）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
（1）共有 名学生参加竞赛；成绩为“B等级”的学生人数有 名；
（2）在扇形统计图中，m的值为 ；
（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中，选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有一名女生和两名男生，请用画树状图的方法求出一名男生和一名女生同时被选中的概率．
22．（8分）为了迎接“五•一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元．
（1）若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？
（2）该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于26700元，且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a（0＜a＜20）元出售，乙种服装价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
23．（8分）我南海巡逻船接到有人落水求救信号，如图，巡逻船A观测到∠PAB＝67.5°，同时，巡逻船B观测到∠PBA＝36.9°，两巡逻船相距63海里，求此时巡逻船A与落水人P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）
24．（8分）下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请你在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形（另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同），并画出其对称轴．
五、推理论证题（本大题共1个小题，共9分.）
25．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C、E是⊙O上两点，且CE＝CB，过点C的直线与AE垂直，且交AE的延长线于D，连接AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，CE＝，求AE的长．
六、拓展探索题（本大题共1个小题，共10分.）
26．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0），点B的纵坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，求出M点的坐标；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥y轴交y轴于点Q，问：是否存在点P使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年四川省广安市岳池县中考数学三诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）倒数为﹣2的是（ ）
A．2B．C．﹣D．﹣2
【答案】C
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：倒数为﹣2的是：﹣，
故选：C．
【点评】此题主要考查了倒数，乘积是1的两数互为倒数．
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．a3•a5＝a15C．D．a2+a2＝a4
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法的法则、合并同类项的方法，算术平方根的定义判断即可．
【解答】解：A、（）2＝，不符合题意；
B、a3•a5＝a8，不符合题意；
C、＝2，符合题意；
D、a2+a2＝2a2，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（3分）目前全国初中生共有50100000人，将数“50100000用科学记数法可以表示为（ ）
A．5.01×107B．50.1×106C．501×105D．0.501×107
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：50100000＝5.01×107，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
5．（3分）下列说法中正确的个数为（ ）
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④有限小数是有理数，无限小数是无理数；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
【分析】根据实数，平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，进行逐一判断即可．
【解答】解：①在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有：平行和相交（夹角为直角时垂直），故①错误；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确；
③在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误；
④有限小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故④错误；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑤错误．
故正确的是②，共1个．
故选：D．
【点评】本题考查了实数，平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
6．（3分）一次函数y＝2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位，那么所得图象的函数解析式是（ ）
A．y＝2x﹣3B．y＝2x+2C．y＝2x+1D．y＝2x
【答案】C
【分析】平移时k的值不变，只有b发生变化．
【解答】解：原直线的k＝2，b＝3；向下平移2个单位长度得到了新直线，那么新直线的k＝2，b＝3﹣2＝1．
∴新直线的解析式为y＝2x+1．
故选：C．
【点评】求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
【答案】A
【分析】利用众数、中位数的定义、调查方式的选择、方差的意义及概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，正确，符合题意；
B、了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，因调查范围广，适合抽样调查，故错误，不符合题意；
C、甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，因甲的方差小于乙的方差，所以甲的跳远成绩比乙稳定，故原命题错误，不符合题意；
D、可能性是1%的事件在一次试验中不一定不会发生，故错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】考查了众数、中位数的定义、调查方式的选择、方差的意义及概率的意义，综合性强，但难度不大．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，线段PQ在对角线AC上运动，且PQ＝1．连接BP，BQ．则△BPQ周长的最小值是（ ）
A．3+1B．4C．+1D．2+1
【答案】C
【分析】如图，过点D作DE∥AC，且点E在AD上方，DE＝1，连接BE交AC于点P，取PQ＝1，连接BE，DQ，BD．B，P，E三点共线，此时△BPQ的周长＝BP+BQ+PQ＝BE+1最小
【解答】解：如图，过点D作DE∥AC，且点E在AD上方，DE＝1，连接BE交AC于点P，取PQ＝1，连接BE，DQ，BD.
∵DE∥PQ，DE＝PQ，
∵四边形PQDE为平行四边形，
∴PE＝DQ＝BQ，
∵B，P，E三点共线，
∴此时△BPQ的周长＝BP+BQ+PQ＝BE+1最小．
∵BD⊥AC，
∴BD⊥DE，即∠BDE＝90°，
∴BE＝＝√19，
∴△BPQ周长的最小值为+1，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
9．（3分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为（ ）
A．10B．8C．4D．4
【答案】D
【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE＝4，Rt△COE中求得OE＝3及AE＝8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．
【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
又∵CD∥AB，
∴AO⊥CD，记垂足为E，
∵CD＝8，
∴CE＝DE＝CD＝4，
连接OC，则OC＝OA＝5，
在Rt△OCE中，OE＝＝＝3，
∴AE＝AO+OE＝8，
则AC＝＝＝4，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径及垂径定理．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①4ac﹣b2＞0；②若（﹣，y1），（，y2）是图象上的两点，则y1＞y2；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；⑤3a+c＜0中正确的是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】①根据抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，据此解答即可．
②根据抛物线的对称轴x＝﹣1，开口向下，据此判断即可．
③根据抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，可得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x＝1时a+b+c＜0，据此判断即可．
④根据y＝ax2+bx+c的最大值是2，可得方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2，据此判断即可．
⑤首先根据抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣1，可得b＝2a，然后根据a+b+c＜0，判断出3a+c＜0即可．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴结论①不正确．
∵抛物线的对称轴x＝﹣1，开口向下，（﹣，y1），（，y2）是图象上的两点，
∴y1＞y2，
∴结论②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x＝1时a+b+c＜0，
∴结论③正确．
∵y＝ax2+bx+c的最大值是2，
∴方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2，
∴结论④正确．
∵抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵a+b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，
∴结论⑤正确．
综上，可得正确结论的序号是：②③④⑤．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡上相应位置，本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）比较大小： ＞ （选填“＞”，“＜”或“＝”）
【答案】见试题解答内容
【分析】通过对估算进行求解．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
∴，
即＞，
故答案为：＞．
【点评】此题考查了实数的大小比较能力，关键是能对无理数进行准确地估算．
12．（3分）已知a2+a﹣1＝0，则代数式2a2+2a+2021的值是 2023 ．
【答案】2023．
【分析】根据题意得到a2+a＝1，再将代数式变形即可求值．
【解答】解：∵a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，
∴2a2+2a+2021＝2（a2+a）+2021＝2×1+2021＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查了代数式求值，利用整体代入思想解决问题是解题关键．
13．（3分）若点（a，﹣3）在第三象限，则点（2，a）在第 四 象限．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据点（a，﹣3）在第三象限，得到a＜0，进而判断出点（2，a）所在象限即可．
【解答】解：∵点（a，﹣3）在第三象限，
∴a＜0，
∴点（2，a）在第四象限；
故答案为：四．
【点评】本题考查象限内点的符号特征．熟练掌握各象限内，点的符号特征，是解题的关键．
14．（3分）若（x﹣2021）2+|2022+y|+＝0，则（x+y）m＝ ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【分析】先根据非负数的性质求得x，y，z的值，再代入计算．
【解答】解：由题意得，
，
解得，
∴（x+y）m
＝（2021﹣2022）2023
＝（﹣1）2023
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了非负数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解．
15．（3分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间（t单位：s）之间的函数关系如图所示．则当t＝1.5s时，小球的高度为 30 m．
【答案】30．
【分析】由待定系数法求得函数解析式，再将t＝1.5s代入计算，即可得到结论．
【解答】解：设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：
0＝a（0﹣3）2+40，
解得a＝﹣，
∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，
∴当t＝1.5s时，h＝﹣（1.5﹣3）2+40＝30，
故答案为：30．
【点评】本题考查了二次函数的应用，会用待定系数法求函数解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2；以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3；以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长 22021π ．
【答案】22021π．
【分析】连接P1O1，P2O2，P3O3，易求得PnOn垂直于x轴，可得 为圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题．
【解答】解：连接P1O1，P2O2，P3O3…，
∵P1 是⊙O2上的点，
∴P1O1＝OO1，
∵直线l解析式为y＝x，
∴∠P1OO1＝45°，
∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，
同理，PnOn垂直于x轴，
∴ 为圆的周长，
∵以O1为圆心，O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3，以此类推，
∴OOn＝2n﹣1，
∴＝•2π•OOn＝π•2n﹣1＝2n﹣2π，
当n＝2023时，的长＝22021π．
故答案为：22021π．
【点评】本题考查了圆周长的计算，考查了从图中找到圆半径规律的能力，本题中准确找到圆半径的规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共4小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分.解答时应按要求写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤.）
17．（5分）计算：﹣2tan60°．
【答案】0．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝1﹣4+2+3﹣2
＝0．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）先化简，再求值：÷（a﹣3+），其中a＝﹣1．
【答案】，．
【分析】先算括号内的式子，然后算括号外的除法，再将a的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：÷（a﹣3+）
＝÷
＝•
＝
＝，
当a＝﹣1时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在CA和AC的延长线上，且AE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．
【答案】证明见解析．
【分析】证△DOE≌△BOF（SAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA+AE＝OC+CF，
即OE＝OF，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（SAS），
∴DE＝BF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△DOE≌△BOF是解题的关键．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣2，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是2．
（1）求m、n的值；
（2）求直线AC的解析式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据反比例函数的对称性可得点A与点B关于原点中心对称，则B（2，a），由于BC⊥x轴，所以C（2，0），先利用三角形面积公式得到×2×a＝2，解得a＝2，则可确定A（﹣2，2），然后把A点坐标代入y＝mxy＝mx和y＝中即可求出m，n；
（2）根据待定系数法即可得到直线AC的解析式．
【解答】解：（1）∵直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣2，a）、B两点，
∴点A与点B关于原点中心对称，
∴B（2，﹣a），
∴C（2，0）；
∵S△AOC＝2，
∴×2×a＝2，解得a＝2，
∴A（﹣2，2），
把A（﹣2，2）代入y＝mx和y＝得﹣2m＝2，2＝，解得m＝﹣1，n＝﹣4；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵直线AC经过A、C，
∴，解得
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了反比例函数图象的性质．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21题6分，第22、23、24题各8分，共30分.解答时应按要求写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤.）
21．（6分）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
（1）共有 20 名学生参加竞赛；成绩为“B等级”的学生人数有 5 名；
（2）在扇形统计图中，m的值为 40 ；
（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中，选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有一名女生和两名男生，请用画树状图的方法求出一名男生和一名女生同时被选中的概率．
【答案】（1）20，5；
（2）40；
（3）．
【分析】（1）A等的有3人，占调查人数的15%，可求出调查人数，进而求出B等的人数；
（2）根据C等级的人数与总人数计算C等级所占的百分比，即可求出m的值；
（3）用画树状图的方法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
【解答】解：（1）3÷15%＝20（名），20﹣3﹣8﹣4＝5（名），
故答案为：20，5；
（2）8÷20＝40%，即m＝40，
故答案为：40；
（3）“A等级”2男1女，从中选取2人，所有可能出现的结果如下：
共有6种等可能出现的结果，其中女生被选中的有4种，
∴P（女生被选中）＝＝．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义，会用列表法和树状图求概率是解题的关键．
22．（8分）为了迎接“五•一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元．
（1）若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？
（2）该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于26700元，且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a（0＜a＜20）元出售，乙种服装价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200﹣x）件，根据两种服装共用去32400元，即可列出方程，从而求解；
（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200﹣y）件，根据总利润（利润＝售价﹣进价）不少于26700元，且不超过26800元，即可得到一个关于y的不等式组，解不等式组即可求得y的范围，再根据y是正整数整数即可求解；
（3）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案．
【解答】解：（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200﹣x）件，
根据题意得：180x+150（200﹣x）＝32400，
解得：x＝80，
200﹣x＝200﹣80＝120（件），
则购进甲、乙两种服装80件、120件；
（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200﹣y）件，根据题意得：
，
解得：70≤y≤80，
又∵y是正整数，
∴共有11种方案；
（3）设总利润为W元，
W＝（140﹣a）y+130（200﹣y）
即w＝（10﹣a）y+26000．
①当0＜a＜10时，10﹣a＞0，W随y增大而增大，
∴当y＝80时，W有最大值，即此时购进甲种服装80件，乙种服装120件；
②当a＝10时，利润是 26000元不符合题意；
③当10＜a＜20时，10﹣a＜0，W随y增大而减小．
当y＝70时，W有最大值，即此时购进甲种服装70件，乙种服装130件．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，以及一次函数的性质，正确利用y表示出利润是关键．
23．（8分）我南海巡逻船接到有人落水求救信号，如图，巡逻船A观测到∠PAB＝67.5°，同时，巡逻船B观测到∠PBA＝36.9°，两巡逻船相距63海里，求此时巡逻船A与落水人P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）
【答案】见试题解答内容
【分析】过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x海里．在Rt△APC中根据tan∠A＝求出AC的长，在Rt△PCB中由tan∠B＝得出BC的长，再由AC+BC＝AB＝63，得出x的值，根据sin∠A＝即可得出PA的值，进而得出结论．
【解答】解：如图，过点P作PC⊥AB，垂足为C，
设PC＝x海里．
在Rt△APC中，
∵tan∠A＝，
∴AC＝＝，
在Rt△PCB中，
∵tan∠B＝，
∴BC＝＝x．
∵AC+BC＝AB＝63，
∴x+x＝63，解得x＝36．
∵sin∠A＝，
∴PA＝＝＝36×＝39（海里）．
∴巡逻船A与落水人P的距离为39海里．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
24．（8分）下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请你在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形（另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同），并画出其对称轴．
【答案】见解析过程．
【分析】根据轴对称图形的性质，沿一条直线对折直线两旁部分完全重合，即可得出答案．
【解答】解：答案不唯一，如图所示：
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
五、推理论证题（本大题共1个小题，共9分.）
25．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C、E是⊙O上两点，且CE＝CB，过点C的直线与AE垂直，且交AE的延长线于D，连接AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，CE＝，求AE的长．
【答案】（1）证明过程请看解答；
（2）3．
【分析】（1）连接OC，由圆周角定理和等腰三角形的性质证出∠1＝∠3，得OC∥AD，进而得出结论；
（2）先证相似三角形△ADC∽△ACB的对应边成比例求得AD＝4，DC＝2．再由勾股定理得到DE＝1，则AE＝AD﹣ED＝3．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵CE＝CB，
∴，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵AC＝2，CB＝CE＝，
∴，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠1＝∠2，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
即，
∴AD＝4，DC＝2，
在Rt△DCE中，DE＝，
∴AE＝AD﹣ED＝4﹣1＝3．
【点评】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
六、拓展探索题（本大题共1个小题，共10分.）
26．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0），点B的纵坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，求出M点的坐标；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥y轴交y轴于点Q，问：是否存在点P使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、勾股定理运用等知识点，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【分析】（1）将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）分当点B、C、M三点不共线时、当点B、C、M三点共线时，求得直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，然后把M的横坐标代入即可得M的坐标；
（3）分当时、当时两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；
（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，
∵A （0，3），
∴B（﹣4，1）；
当点B、C、M三点不共线时，|MB﹣MC|＜BC；
当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|＝BC．
∴当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，
设直线BC解析式为y＝kx+n，
把B（﹣4，1）、C（﹣3，0）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3．
∵抛物线y＝x2+x+3的对称轴为：x＝﹣，
∴M在抛物线对称轴l上，M的横坐标为x＝﹣，
∴M的纵坐标为y＝﹣（﹣）﹣3＝﹣，
∴M点的坐标为M（，）；
（3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
设点P坐标为（x，x2+x+3）（x＞0），
作BE垂直于x轴于E，
在Rt△BEC中，BE＝CE＝1，
∴∠BCE＝45°，
在Rt△ACO中，AO＝CO＝3，
∴∠ACO＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，AC＝3，
如图2，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，则∠APQ＝90°，
过点P作PG⊥y轴于点G，
∵∠PGA＝∠APQ＝90°，
∠PAG＝∠QAP，
∴△PGA∽△QPA，
∵∠PGA＝∠ACB＝90°，
当时，
△PAG∽△BAC，
∴＝，
解得x1＝1，x2＝0（舍去），
∴点P的纵坐标为×12+×1+3＝6，
∴点P为（1，6）；
当时，
△PAG∽△ABC，
∴＝3，
解得x1＝﹣（舍去），x2＝0（舍去），
∴此时无符合条件的点P．
综上所述，存在点P（1，6）．
【点评】（1）y＝x2+x+3；
（2）M（，）；
（3）P（1，6）．