2024年四川省广安市广安区、岳池县中考数学二模试卷附解析

这是一份2024年四川省广安市广安区、岳池县中考数学二模试卷附解析，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，推理论证题，拓展探究题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a+2b＝5abB．a7÷a6＝a
C．（2b3）4＝8b12D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
3．（3分）数据显示，截至2月17日16时，广安市28家开放的A级旅游景区在春节假期累计接待游客约160万人次．将160万用科学记数法表示为（ ）
A．16×105B．0.16×107C．1.6×105D．1.6×106
4．（3分）如图是某场比赛颁奖现场的领奖台的示意图，其主视图为（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）岳池顾县某豆干加工厂为调查一批豆干的品质，从中随机选取了6袋，记录其质量（单位：g）分别为60，59，61，63，62，61，则这组数据的统计量中，是61的是（ ）
A．只有众数、中位数B．只有众数、平均数
C．只有中位数、平均数D．众数、中位数、平均数
6．（3分）若关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有实数根，则下列m的值中，不符合要求的是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
7．（3分）将一次函数y＝2x﹣2图象向上平移3个单位，若平移后一次函数经过点（﹣6，a），则a的值为（ ）
A．13B．7C．﹣8D．﹣11
8．（3分）在▱ABCD中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示．若BE＝6，AB＝5，则AG＝（ ）
A．10B．8C．6D．4
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，以边BC为直径作⊙O，与线段CA，BA的延长线分别交于点D，E，则的长为（ ）
A．3πB．2πC．D．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②9a﹣3b+c＝0；③3b+2c＝0；④若A（a+1，y1），B（a+2，y2）两点在该二次函数的图象上，则y1﹣y2＜0．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．请把最简答案填写在答题卡相应位置）
11．（3分）9的算术平方根是 ．
12．（3分）若在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ．
13．（3分）弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的关系是一次函数，图象如图所示，则弹簧不挂物体时的长度是 cm．
14．（3分）若关于x的方程﹣1＝0无实根，则a的值为 ．
15．（3分）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知点A（﹣1，0），B（0，4），则BC+AD的最小值为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，1），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3……按此规律继续作下去，则点A2024的纵坐标为 ．
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）计算：．
18．（6分）先化简：，再从﹣1，0，中选取合适的数作为x的值，代入求值．
19．（6分）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线分别交AB，AC于点D，O，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE，CD．求证：四边形ADCE是菱形．
20．（6分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+4的图象在第一象限交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为A，一次函数y＝kx+4的图象分别交x轴、y轴于点C，D，且S△OCD＝2，OA＝2OC．
（1）点D的坐标为 ；
（2）求一次函数的解析式及m的值；
（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式的解集．
21．（6分）某校在课后延时服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法，且每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D对应扇形的圆心角为150°．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；若该校共有1500名学生加入了社团，则估计其中有 名学生参加了计算机社团．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四名同学平时的表现优秀，恰好其中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四名同学中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图或列表的方法，求恰好选中一男一女的概率．
22．（8分）每年的4月23日为“世界读书日”．为了迎接第30个世界读书日，某校计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个、乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的进价分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，一共有哪几种购买方案？
23．（8分）如图1，某款台灯由底座、支撑臂AB、连杆BC、悬臂CD和安装在D处的光源组成．如图2是该款台灯放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂AB⊥l，AB＝22cm，BC＝35cm，CD＝40cm，固定∠ABC＝143°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高照明效果．
（1）求悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
（2）已知光源D到桌面l的距离为30cm时照明效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.33）
24．（8分）如图，网格中每个小正方形的边长为1．
请你认真观察图1中的三个网格中的黑色部分构成的图案，解答下列问题：
（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形；
（2）在图2中选一个白色的小正方形并涂黑，使图2中黑色部分是轴对称图形；
（3）请在图3中设计出一个面积为4的图案，且具备（1）中的特征（不与图1中所给图案相同）．
五、推理论证题（9分）
25．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，以AD为直径作⊙O，交AB于点E，交AC于点F，连接EF交AD于点G，连接OB交EF于点P，连接DF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OG＝3，EG＝4，求：
①tan∠DFE的值；
②线段PG的长．
六、拓展探究题（10分）
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣4，0），B两点，交y轴于点C（0，4）．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP，CP，求四边形AOCP的面积的最大值．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年四川省广安市广安区、岳池县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【解答】解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a+2b＝5abB．a7÷a6＝a
C．（2b3）4＝8b12D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【答案】B
【分析】根据整式的相关运算法则逐项分析判断即可．
【解答】解：A、3a与2b不能合并，不符合题意；
B、a7÷a6＝a，正确，符合题意；
C、（2b3）4＝16b12，不符合题意；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的相关运算，熟练掌握相关运算法则是关键．
3．（3分）数据显示，截至2月17日16时，广安市28家开放的A级旅游景区在春节假期累计接待游客约160万人次．将160万用科学记数法表示为（ ）
A．16×105B．0.16×107C．1.6×105D．1.6×106
【答案】D
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：∵160万＝1600000，
∴160万用科学记数法可表示为1.6×106．
故选：D．
【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
4．（3分）如图是某场比赛颁奖现场的领奖台的示意图，其主视图为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：领奖台从正面看，是由三个长方形组成的．三个长方形，右边最低，中间最高，
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5．（3分）岳池顾县某豆干加工厂为调查一批豆干的品质，从中随机选取了6袋，记录其质量（单位：g）分别为60，59，61，63，62，61，则这组数据的统计量中，是61的是（ ）
A．只有众数、中位数B．只有众数、平均数
C．只有中位数、平均数D．众数、中位数、平均数
【答案】D
【分析】根据众数、中位数和平均数的计算方法作答．
【解答】解：将这些数据按从小到大的顺序排列为：59，60，61，61，62，63，中间的两个数据是61，61，所以中位数是：＝61．
61出现的次数最多，所以众数是61．
平均数为：＝61．
所以是61的是众数、中位数、平均数．
故选：D．
【点评】本题主要考查了统计量的选择，掌握平均数、中位数以及众数的意义和计算方法是正确解答的前提．
6．（3分）若关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有实数根，则下列m的值中，不符合要求的是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4m≥0，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可．
【解答】解：当m＝2时，Δ＝（﹣2）2﹣4×2＝﹣4，Δ＜0，没有实数根，故A符合题意；
当m＝2时，Δ＝（﹣2）2﹣4×1＝0，Δ＝0，有实数根，故B不符合题意；
当m＝0时，原方程为：﹣2x+1＝0，它是一元一次方程，有一个实数根，故C不符合题意；
当m＝﹣1时，Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8，Δ＞0，有实数根，故D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0 （a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac，解题的关键是计算出判别式的结果来判断．
7．（3分）将一次函数y＝2x﹣2图象向上平移3个单位，若平移后一次函数经过点（﹣6，a），则a的值为（ ）
A．13B．7C．﹣8D．﹣11
【答案】D
【分析】求出将一次函数y＝2x﹣2图象向上平移3个单位后解析式y＝2x+1，再把（﹣6，a）代入即可得到a的值．
【解答】解：将一次函数y＝2x﹣2图象向上平移3个单位后解析式为y＝2x﹣2+3＝2x+1，
把（﹣6，a）代入y＝2x+1得：
a＝2×（﹣6）+1＝﹣11；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握“上加下减”的平移规律．
8．（3分）在▱ABCD中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示．若BE＝6，AB＝5，则AG＝（ ）
A．10B．8C．6D．4
【答案】B
【分析】先判定△ABH≌△AEH，得出∠AHB＝∠AHE＝90°，∠ABH＝∠AEH＝∠GBH，BH＝HE＝3，再根据勾股定理可得AH的长，进而得出AG的长．
【解答】解：如图，令AG交BE于点H．
根据作图痕迹知：AF平分∠BAD．
∵AF平分∠BAD，AD∥BC，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠AFB，
∴AB＝BG，
∵AE＝AB，AH＝AH，
∴△ABH≌△AEH，
∴∠AHB＝∠AHE＝90°，∠ABH＝∠AEH＝∠FBH，BH＝HE＝3，
∴Rt△ABH中，AH＝＝4，
∴AF＝2AH＝8，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解题时，运用了全等三角形的判定与性质求得相关线段的长度，解题时注意：平行四边形的对边相等．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，以边BC为直径作⊙O，与线段CA，BA的延长线分别交于点D，E，则的长为（ ）
A．3πB．2πC．D．
【答案】C
【分析】连接OD、OE、OA，根据等腰三角形的性质对称∠B＝∠C＝30°，AO⊥BC，利用圆周角定理得出∠BOD＝∠COE＝60°，即可得出∠DOE＝60°，解直角三角形求得半径，然后利用弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OD、OE、OA，
在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵OB＝OC，
∴AO⊥BC，
在Rt△ABO中，∠B＝30°，AB＝6，
∴OB＝AB＝3，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠BOD＝∠COE＝60°，
∴∠DOE＝60°，
∴的长为：＝．
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，求得圆心角和圆的半径是解题的关键．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②9a﹣3b+c＝0；③3b+2c＝0；④若A（a+1，y1），B（a+2，y2）两点在该二次函数的图象上，则y1﹣y2＜0．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a＜0，利用抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴得到c＜0，则可对①进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），则当x＝﹣3时，y＞0，所以9a﹣3b+c＞0，从而可对②进行判断；由于x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，利用b＝﹣2a得到c＝﹣3a，所以3b+2c＝﹣12a＜0，则可对③进行判断；由于a＞0，所以A（a+1，y1），B（a+2，y2）两点在对称轴的右侧，然后根据二次函数的性质可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴当x＝﹣3时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，所以②错误；
∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，
即c＝﹣3a，
∴3b+2c＝﹣6a﹣6a＝﹣12a＜0，所以③错误；
∵a＞0，
∴A（a+1，y1），B（a+2，y2）两点在对称轴的右侧，
而a+1＜a+2，
∴y1＜y2，
即y1﹣y2＜0，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，从而比较两函数值的大小确定不等式的解集．也考查了二次函数的性质．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．请把最简答案填写在答题卡相应位置）
11．（3分）9的算术平方根是 3 ．
【答案】3．
【分析】利用算术平方根的意义解答即可．
【解答】解：9的算术平方根是3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
12．（3分）若在实数范围内有意义，则m的取值范围是 m＞﹣2 ．
【答案】m＞﹣2．
【分析】根据被开方数不小于零且分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
∵m2+1≥1，
∴2m+4＞0，
∴m＞﹣2．
故答案为：m＞﹣2．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零且分母不为零的条件是解题的关键．
13．（3分）弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的关系是一次函数，图象如图所示，则弹簧不挂物体时的长度是 9 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图所示，x＝5时，y＝12；x＝20时，y＝21；设直线的函数式为y＝kx+b，然后，把（5，12），（20，21）代入到函数式，即可推出k，b，求出直线表达式，最后把x＝0代入到函数式，即可推出y的值．
【解答】解：设直线的函数表达式为y＝kx+b，
∵x＝5时，y＝12；x＝20时，y＝21；
∴
∴①×4﹣②得：b＝9，
把b＝9代入到①得：k＝，
∴y＝x+9，
当x＝0时，y＝＝9，
故答案为9．
【点评】本题主要考查一次函数的图象，关键在于根据题意推出直线上两点的坐标，求出一次函数表达式．
14．（3分）若关于x的方程﹣1＝0无实根，则a的值为 1或﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，将x＝1代入计算即可求出a的值．
【解答】解：最简公分母为x﹣1，令x﹣1＝0，得到x＝1，
方程去分母得：ax+1﹣x+1＝0，即（a﹣1）x＝﹣2，
当a﹣1＝0，即a＝1时，方程无解；
当a﹣1≠0，即a≠1时，将x＝1代入得：a+1﹣1+1＝0，
解得：a＝﹣1，
综上，方程无实数根时a的值为1或﹣1．
故答案为：1或﹣1．
【点评】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
15．（3分）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知点A（﹣1，0），B（0，4），则BC+AD的最小值为 ．
【答案】．
【分析】根据轴对称的性质，作出点A关于直线x＝1的对称点，再构造出平行四边形，最后利用两点之间，线段最短即可解决问题．
【解答】解：作点A关于直线x＝1的对称点A′，记点A′正上方1个单位长度的点为M，
∵点A和点A′关于直线x＝1对称，
∴AD＝A′D．
∵CD＝A′M＝1，CD∥A′M，
∴四边形CDA′M为平行四边形．
∴A′D＝CM，
∴BC+AD＝BC+CM．
∵当点C在BM与直线x＝1的交点处时，BC+CM取得最小值，即为BM的长，
又∵B（0，4），M（3，1），
∴BM＝，
即BC+AD的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查坐标与图形性质，熟知轴对称的性质及平行四边形的性质是解题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，1），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3……按此规律继续作下去，则点A2024的纵坐标为 ．
【答案】．
【分析】根据等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质可得点A1，点A2的纵坐标的规律，由此即可求解．
【解答】解：∵点A的坐标为（0，1），三角形OAA1是等边三角形，
∴OA1＝OA＝1，∠AA1O＝∠AOA1＝60°，
∴∠A1OO1＝∠AOO1﹣∠AOA1＝90°﹣60°＝30°，
∵A1O1⊥x轴，
在Rt△A1OO1中，∠A1OO1＝30°，OA1＝1，
则，，
∴，
∴点A1的纵坐标为，
同理，，
，
……，
∴，
∴点A2024的纵坐标为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的规律，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，点坐标的规律的计算是解题的关键．
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）计算：．
【答案】．
【分析】根据实数运算的法则，零指数幂的性质，负整数指数幂的性质特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：
＝﹣1﹣4×+2+1
＝﹣1﹣2+2+1
＝．
【点评】本题考查了实数运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
18．（6分）先化简：，再从﹣1，0，中选取合适的数作为x的值，代入求值．
【答案】x2+x，2+．
【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后从﹣1，0，中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝•
＝•
＝•
＝x（x+1）
＝x2+x，
∵当x＝0或﹣1时，原分式无意义，
∴x＝，
当x＝时，原式＝（）2+＝2+．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．（6分）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线分别交AB，AC于点D，O，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE，CD．求证：四边形ADCE是菱形．
【答案】证明见解析．
【分析】由线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，AE＝CE，OA＝OC，由ASA证明△AOD≌△COE，得出对应边相等AD＝CE，得出AD＝CD＝AE＝CE，即可得出结论．
【解答】证明：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AE＝CE，OA＝OC，
∵CE∥AB，
∴∠OAD＝∠OCE，
在△AOD和△COE中，
，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴AD＝CE，
∴AD＝CD＝AE＝CE，
∴四边形ADCE是菱形．
【点评】此题考查菱形的判定，关键是由ASA证明△AOD≌△COE解答．
20．（6分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+4的图象在第一象限交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为A，一次函数y＝kx+4的图象分别交x轴、y轴于点C，D，且S△OCD＝2，OA＝2OC．
（1）点D的坐标为 （0，4） ；
（2）求一次函数的解析式及m的值；
（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式的解集．
【答案】（1）（0，4）；
（2）一次函数的解析式为y＝4x+4，m＝24；
（3）x＞2．
【分析】（1）将x＝0代入一次函数解析式即可求出点D的坐标．
（2）根据△OCD的面积及OD的长，可求出点C的坐标，进而求出一次函数解析式，再求出点P坐标即可求出m的值．
（3）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【解答】解：（1）将x＝0代入y＝kx+4得，
y＝4，
所以点D的坐标为（0，4）．
故答案为：（0，4）．
（2）因为S△OCD＝2，且OD＝4，
所以OC＝1，
则点C的坐标为（﹣1，0）．
将点C坐标代入一次函数解析式得，
﹣k+4＝0，
解得k＝4，
所以一次函数的解析式为y＝4x+4．
又因为OA＝2OC，
所以OA＝2．
因为∠DOA＝90°，PA⊥x轴，
所以△CDO∽△CPA，
所以，
所以PA＝3OD＝12，
则点P的坐标为（2，12）．
将点P坐标代入反比例函数解析式得，
m＝2×12＝24．
（3）由函数图象可知，
当x＞2时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
所以不等式的解集为x＞2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知一次函数和反比例函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键．
21．（6分）某校在课后延时服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法，且每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D对应扇形的圆心角为150°．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 360 人；若该校共有1500名学生加入了社团，则估计其中有 500 名学生参加了计算机社团．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四名同学平时的表现优秀，恰好其中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四名同学中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图或列表的方法，求恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）360，500；
（2）条形统计图补充完整见解析；
（3）．
【分析】（1）由D的人数除以所占比例即可，由该校共有学生人数乘以参加计算机社团的学生所占的比例即可；
（2）求出C的人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有8种再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵D所占扇形的圆心角为150°，
∴这次被调查的学生共有：150÷＝360（人），
估计其中有参加了计算机社团的：1500×＝500（人），
故答案为：360，500；
（2）C组人数为：360﹣120﹣30﹣150＝60（人），
条形统计图补充完整如下：
（3）设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种，
∴恰好选中一男一女的概率为：＝．
【点评】本题考查了用树状图法求概率、扇形统计图、条形统计图以及用样本估计总体等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）每年的4月23日为“世界读书日”．为了迎接第30个世界读书日，某校计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个、乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的进价分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，一共有哪几种购买方案？
【答案】（1）每个甲种书柜的进价是180元，每个乙种书柜的进价是240元；
（2）该校共有3种购买方案，
方案1：购买8个甲种书柜，12个乙种书柜；
方案2：购买9个甲种书柜，11个乙种书柜；
方案3：购买10个甲种书柜，10个乙种书柜．
【分析】（1）设每个甲种书柜的进价是x元，每个乙种书柜的进价是y元，根据“购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；购买甲种书柜4个、乙种书柜3个，共需资金1440元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个甲种书柜，则购买（20﹣m）个乙种书柜，根据“购买乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，且学校至多能够提供资金4320元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设每个甲种书柜的进价是x元，每个乙种书柜的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个甲种书柜的进价是180元，每个乙种书柜的进价是240元；
（2）设购买m个甲种书柜，则购买（20﹣m）个乙种书柜，
根据题意得：，
解得：8≤m≤10，
又∵m为正整数，
∴m可以为8，9，10，
∴该校共有3种购买方案，
方案1：购买8个甲种书柜，12个乙种书柜；
方案2：购买9个甲种书柜，11个乙种书柜；
方案3：购买10个甲种书柜，10个乙种书柜．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23．（8分）如图1，某款台灯由底座、支撑臂AB、连杆BC、悬臂CD和安装在D处的光源组成．如图2是该款台灯放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂AB⊥l，AB＝22cm，BC＝35cm，CD＝40cm，固定∠ABC＝143°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高照明效果．
（1）求悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
（2）已知光源D到桌面l的距离为30cm时照明效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.33）
【答案】（1）悬臂端点C到桌面l的距离约为50cm；
（2）夹角∠BCD的度数约为23°．
【分析】（1）过点C作l的垂线，垂足为点E，过点B作BF⊥CE于点F，则EF＝AB＝22cm，∠ABF＝90°，得出∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝53°，根据CF＝BC⋅sin53°，求出CF，最后根据CE＝CF+EF，即可求解；
（2）过点D作DH⊥CE于点G，DG⊥l于点G，推出CH＝CE﹣HE＝20cm，则，求出∠DCH＝60°，得出∠BCF＝37°，最后∠BCD＝∠DCH﹣∠BCF，即可求解．
【解答】解：（1）过点C作l的垂线，垂足为点E，过点B作BF⊥CE于点F，
∵AB⊥l，CE⊥l，BF⊥CE，
∴四边形ABFE为矩形，
∴EF＝AB＝22cm，∠ABF＝90°，
∵∠ABC＝143°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝53°，
∴CF＝BC⋅sin53°＝35×0.8＝28（cm），
∴CE＝CF+EF＝50（cm），
即悬臂端点C到桌面l的距离约为50cm；
（2）过点D作DH⊥CE于点G，DG⊥l于点G，
∵DH⊥CE，DG⊥l，CE⊥l，
∴四边形DHEG为矩形，
∴DG＝HE＝30cm，
∴CH＝CE﹣HE＝20cm，
∵CD＝40cm，
∴，
∴∠DCH＝60°，
∵∠CBF＝53°，BF⊥CE，
∴∠BCF＝90°﹣53°＝37°，
∴∠BCD＝∠DCH﹣∠BCF＝23°．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形．
24．（8分）如图，网格中每个小正方形的边长为1．
请你认真观察图1中的三个网格中的黑色部分构成的图案，解答下列问题：
（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是 中心 对称图形，都不是 轴 对称图形；
（2）在图2中选一个白色的小正方形并涂黑，使图2中黑色部分是轴对称图形；
（3）请在图3中设计出一个面积为4的图案，且具备（1）中的特征（不与图1中所给图案相同）．
【答案】（1）中心，轴；
（2）见解析；
（3）见解析．
【分析】（1）利用网格特征以及中心对称图形的性质解决问题即可；
（2）根据要求作出图形即可；
（3）根据要求作出图形即可．
【解答】解：（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是中心对称图形，都不是轴对称图形；
故答案为：中心，轴；
（2）如图所示；
（3）如图所示．
如图所示，答案不唯一．（或面积是4的平行四边形、正方形等）
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解中心对称图形的定义，属于中考常考题型．
五、推理论证题（9分）
25．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，以AD为直径作⊙O，交AB于点E，交AC于点F，连接EF交AD于点G，连接OB交EF于点P，连接DF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OG＝3，EG＝4，求：
①tan∠DFE的值；
②线段PG的长．
【答案】（1）见解答；
（2）①；
②3．
【分析】（1）根据三线合一得到AD⊥BC，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）①如图所示，连接DE，DF，OE，由角平分线的定义和圆周角定理得到∠EAD＝∠FAD，即可利用三线合一得到AG⊥EF，利用勾股定理求出OE＝5，即可求出AD的长；
②证明EF∥BC，得到△AEG∽△ABD，利用相似三角形的性质求出BD＝5，证得△ODB，△OPG是等腰直角三角形即可求出PG的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：①连接DE，DF，OE，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADE＝∠ADF，
∴，
∴AG⊥EF，
∵OG＝3，EG＝4，
∴OE＝＝5，
∴AG＝8，AD＝10，
∴DG＝2，
由垂径定理可得GF＝EG＝4，
∴tan∠DFE＝＝＝；
②∵AG⊥EF，AD⊥BC，
∴EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，
∴，
∴，
∴BD＝5，
∴BD＝OD，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∴∠OBD＝45°，
∵EF∥BC，
∴∠OPG＝∠OBD＝45°，
∴△OPG是等腰直角三角形，
∴PG＝OG＝3．
【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三线合一定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键
六、拓展探究题（10分）
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣4，0），B两点，交y轴于点C（0，4）．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP，CP，求四边形AOCP的面积的最大值．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）16；
（3）存在，M的坐标为（﹣，2+）或（﹣，2﹣）或（﹣，）或（，﹣）．
【分析】（1）把A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，求出b和c的值，即可得出函数解析式；
（2）由四边形AOCP的面积＝S△ACP+S△AOC＝﹣2（t+2）2+16，即可求解；
（3）当斜边为AC时，由AM2+CM2＝AC2，列出等式即可求解；当斜边为AM、CM时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴该二次函数的解析式y＝﹣x2﹣3x+4．
（2）如图：连接AP，CP，
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴OA＝4，OC＝4，
则S△AOC＝AO×CO＝＝8，
设P（t，﹣t2﹣3t+4），则Q（t，t+4），
∴PQ＝﹣t2﹣3t+4﹣（t+4）＝﹣t2﹣4t，
则S△ACP＝PQ×（xC﹣xA）＝（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，
∴四边形AOCP的面积＝S△ACP+S△AOC＝﹣2（t+2）2+16，
∵﹣2＜0，
∴当t＝﹣2时，四边形AOCP的面积最大为16；
（3）存在，理由：
设M（﹣，m），
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴AC2＝42+42＝32，
同理可得：AM2＝+m2，CM2＝m2﹣8m+，
当斜边为AC时，AM2+CM2＝AC2，
则+m2+m2﹣8m+＝32，
解得：m＝2；
∴M（﹣，2+）或（﹣，2﹣）；
当斜边为AM时，AC2+CM2＝AM2，
即32+m2﹣8m+＝+m2，
解得：m＝，
∴M（﹣，）；
当斜边为CM时，AC2+AM2＝CM2，
即32++m2＝m2﹣8m+，
解得：m＝﹣，
∴M（，﹣）；
综上，M的坐标为（﹣，2+）或（﹣，2﹣）或（﹣，）或（，﹣）．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质是解题的关键．
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