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安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题原卷版docx、安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
考生注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A. B. -1C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先化简复数得，进而得虚部是-1
【详解】.
故选：B
2. 中，，则是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C 等边三角形D. 钝角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，结合正弦定理可得，即可求解.
【详解】，
由正弦定理得，即，
所以为直角三角形.
故选：B.
3. 正的边长为1，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简，再利用平面向量的数量积公式计算得解.
【详解】解：∵正的边长为1，
∴
.
故选B．
【点睛】本题主要考查向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4. 在△中，“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由正弦定理，得，由得，即，由大边对大角得；当得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故答案为C.
考点：1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断.
5. 黄鹤楼地处蛇山之㠌､濒临万里长江，是武汉市地标建筑.已知黄鹤楼的高度约为米，在其一侧有一座建筑物，在它们之间的地面上的点（三点共线）处，测得楼顶､楼顶的仰角分别为和，在楼顶处测得楼顶的仰角为.则地面上两点之间的距离约为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】利用两角差的余弦公式可得，由题意求出，结合正弦定理计算即可求解.
【详解】由题意得，，
在中，，，
所以，又米，
由正弦定理，得，解得米，
所以米.
故选：B.
6. 如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量加法的几何意义、数量积的运算性质可得，然后再求出即可
【详解】设与所成的角为，
由题意得，，
则
.
故选:A
7. 一个圆锥内切球的表面积是，其侧面展开图是半径为的半圆，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，根据球的表面积公式求出内切球的半径，利用勾股定理和内切圆的性质求出圆锥轴截面的内切圆的半径，即可求解.
【详解】设圆锥的底面半径是，则母线为，有，得.
∴圆锥的轴截面是正三角形，
所以圆锥的高，则其内切圆的半径是.
设圆锥内切球的半径是，则，解得.
所以，解得.
故选：D.
8. 已知向量，且，则函数的最小值是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合向量的坐标运算可得，结合余弦函数的有界性分析求解.
【详解】由题意可知：，，
因为，则，可得.
则，
由可知当时，.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 设都是非零向量，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若的夹角为钝角，则
B. 若，则
C. 若，则的夹角为锐角
D. 若，则与同向
【答案】AB
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的定义判断A、C；向量的加减法几何意义判断B；共线向量的充要条件判断D.
【详解】对的夹角为钝角，则，
所以，正确；
对，当时，易知：以为邻边的平行四边形是矩形，所以正确；
对，当同向共线时，有，所以错误；
对，所以与反向，错误.
故选：
10. 设是非零复数，是其共轭复数，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】取，即可判断A；设，根据复数的乘法运算和共轭复数的概念与运算，结合复数的几何意义即可判断BCD.
【详解】A：取，则，故A错误；
B：设，则
，故B正确；
C：设，
则，故C正确；
D：设，
则，故D正确；
故选：BCD.
11. 已知点是的外心，点是边的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合外心性质利用数量积的运算律求解判断A，利用数量积的几何意义求解判断B，利用重心的向量形式判断C，利用向量的线性运算化简判断D.
【详解】对于A，因为点是边中点，所以，
又点是的外心，所以，即，
所以，正确；
对于B，，正确；
对于C，当点是的重心时才有，错误；
对于D，，
，正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 锐角的三内角的对边分别为边在边上的射影长等于的外接圆半径，则的值是__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由题可得，化简即可得到答案
【详解】因为是锐角三角形，边在边上的射影长等于的外接圆半径，所以，
由正弦定理可得：，所以，因此.
故答案为：
13. 如图，在三棱锥中，，点在棱上，点在棱上，且，设表示与所成的角，表示与所成的角，则的值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】如图，作，则，进而，得，即可求解.
【详解】作交于，连接，则.
而，所以，则.
由，得，所以，
又，，
所以，故.
故答案为：
14. 在圆内接四边形中，已知平分，且，则边的长为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算和数量积的定义，结合余弦定理可得，解得AD即可.
【详解】因为平分，由圆的性质知.
在中，由余弦定理得
因此
，
解得，即.
故答案为：3
四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中，三内角对应的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理可得，则或，即可求解；
（2）由题意得，即，结合正弦定理计算即可求解.
【小问1详解】
由得，
又，所以.
因为，
得或，解得或（不合题意，舍去），
故.
【小问2详解】
因为是锐角三角形，所以，
即且，解得.
因此，即，
所以.
即的取值范围是.
16. 在直三棱柱中，.
（1）若外接圆的半径是1，求直三棱柱的表面积；
（2）若直三棱柱外接球的体积是，求此直三棱柱的高.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理求出，的长，从而求得直三棱柱的表面积；
（2）设，由正弦定理求出底面三角形外接圆半径，设、分别为和的外接圆圆心，则直棱柱的性质可知的中点为三棱柱的外接球球心，利用勾股定理即可求出外接球半径，由球的体积公式即可求出答案.
【小问1详解】
因为，所以，.
故直三棱柱的表面积为
.
【小问2详解】
设.因为，所以.
于是是外接圆的半径.
如图，设、分别为和的外接圆圆心，由直棱柱的性质可知的中点为三棱柱的外接球球心，
所以
则球的半径为..
所以球的体积为，解得.
故直三棱柱的高是.
17. 在中，角的对边分别是，其外接圆的半径是1，且向量，互相垂直.
（1）求角的大小；
（2）求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量垂直关系的向量表示和数量积的坐标表示可得，结合余弦定理计算即可求解；
（2）由（1）可得，结合基本不等式计算即可求解.
【小问1详解】
因为互相垂直，所以.
将（为外接圆半径）代入上式，
得，即，
由余弦定理得，，
又，所以；
【小问2详解】
由（1）得，即，
即，所以，
当且仅当时等号成立.所以，
故面积最大值是.
18. 在中，中线和中线相交于点，点在边上.
（1）若，证明：点是边的靠近点的四等分点；
（2）证明：；
（3）若，求中最大角与最小角和.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得，从而得证；
（2）根据重心的性质得到，同理得到，，即可得证；
（3）结合（2）可得，由正弦定理可得，再利用余弦定理求出，即可得解.
【小问1详解】
因为，
又，
所以，
即，
所以与同向，故点是边的靠近点的四等分点；
【小问2详解】
因为.
同理得，，
故.
【小问3详解】
由和，
所以，即，由正弦定理可得，
设，则，
由余弦定理，
因为，所以，所以，
故中最大角与最小角的和为.
19. 某公园计划改造一块四边形区域建设草坪（如图），其中百米，百米，.草坪内需要规划4条人行道，以及两条排水沟.其中分别是边的中点.
（1）若，求排水沟的长；
（2）设条人行道总长度记为.
（i）求出函数的表达式；
（ii）当取多少时，有最大值，并求出这个最大值.
【答案】（1）（百米）
（2）①；②，最大值为（百米）
【解析】
【分析】（1）结合已知图形中角的关系，在中，用余弦定理可求；
（2）①先，然后由余弦定理可表示AC，由正弦定理，可得，然后结合三角关系及余弦定理表示出四条道路的长度关系式；②利用换元法令，根据辅助角公式求出t的范围，然后利用函数的单调性求出最值
【小问1详解】
在直角中，.
在等腰直角中，.
在中，，
由余弦定理得，
即，
所以
【小问2详解】
（i）设.
由余弦定理得，
由分别是边的中点，所以，
在中，由正弦定理得，得
易得.
，
，
故，
（ii）令，
由，得.
在上单调递增
故的最大值为，
此时，且.
【点睛】关键点点睛：本题的第二问，对于四边形边长问题转化为三角形变长问题，结合三角形的性质与诱导公式熟练应用正弦定理、余弦定理求解即可.
考生注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A. B. -1C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先化简复数得，进而得虚部是-1
【详解】.
故选：B
2. 中，，则是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C 等边三角形D. 钝角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，结合正弦定理可得，即可求解.
【详解】，
由正弦定理得，即，
所以为直角三角形.
故选：B.
3. 正的边长为1，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简，再利用平面向量的数量积公式计算得解.
【详解】解：∵正的边长为1，
∴
.
故选B．
【点睛】本题主要考查向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4. 在△中，“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由正弦定理，得，由得，即，由大边对大角得；当得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故答案为C.
考点：1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断.
5. 黄鹤楼地处蛇山之㠌､濒临万里长江，是武汉市地标建筑.已知黄鹤楼的高度约为米，在其一侧有一座建筑物，在它们之间的地面上的点（三点共线）处，测得楼顶､楼顶的仰角分别为和，在楼顶处测得楼顶的仰角为.则地面上两点之间的距离约为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】利用两角差的余弦公式可得，由题意求出，结合正弦定理计算即可求解.
【详解】由题意得，，
在中，，，
所以，又米，
由正弦定理，得，解得米，
所以米.
故选：B.
6. 如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量加法的几何意义、数量积的运算性质可得，然后再求出即可
【详解】设与所成的角为，
由题意得，，
则
.
故选:A
7. 一个圆锥内切球的表面积是，其侧面展开图是半径为的半圆，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，根据球的表面积公式求出内切球的半径，利用勾股定理和内切圆的性质求出圆锥轴截面的内切圆的半径，即可求解.
【详解】设圆锥的底面半径是，则母线为，有，得.
∴圆锥的轴截面是正三角形，
所以圆锥的高，则其内切圆的半径是.
设圆锥内切球的半径是，则，解得.
所以，解得.
故选：D.
8. 已知向量，且，则函数的最小值是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合向量的坐标运算可得，结合余弦函数的有界性分析求解.
【详解】由题意可知：，，
因为，则，可得.
则，
由可知当时，.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 设都是非零向量，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若的夹角为钝角，则
B. 若，则
C. 若，则的夹角为锐角
D. 若，则与同向
【答案】AB
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的定义判断A、C；向量的加减法几何意义判断B；共线向量的充要条件判断D.
【详解】对的夹角为钝角，则，
所以，正确；
对，当时，易知：以为邻边的平行四边形是矩形，所以正确；
对，当同向共线时，有，所以错误；
对，所以与反向，错误.
故选：
10. 设是非零复数，是其共轭复数，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】取，即可判断A；设，根据复数的乘法运算和共轭复数的概念与运算，结合复数的几何意义即可判断BCD.
【详解】A：取，则，故A错误；
B：设，则
，故B正确；
C：设，
则，故C正确；
D：设，
则，故D正确；
故选：BCD.
11. 已知点是的外心，点是边的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合外心性质利用数量积的运算律求解判断A，利用数量积的几何意义求解判断B，利用重心的向量形式判断C，利用向量的线性运算化简判断D.
【详解】对于A，因为点是边中点，所以，
又点是的外心，所以，即，
所以，正确；
对于B，，正确；
对于C，当点是的重心时才有，错误；
对于D，，
，正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 锐角的三内角的对边分别为边在边上的射影长等于的外接圆半径，则的值是__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由题可得，化简即可得到答案
【详解】因为是锐角三角形，边在边上的射影长等于的外接圆半径，所以，
由正弦定理可得：，所以，因此.
故答案为：
13. 如图，在三棱锥中，，点在棱上，点在棱上，且，设表示与所成的角，表示与所成的角，则的值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】如图，作，则，进而，得，即可求解.
【详解】作交于，连接，则.
而，所以，则.
由，得，所以，
又，，
所以，故.
故答案为：
14. 在圆内接四边形中，已知平分，且，则边的长为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算和数量积的定义，结合余弦定理可得，解得AD即可.
【详解】因为平分，由圆的性质知.
在中，由余弦定理得
因此
，
解得，即.
故答案为：3
四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中，三内角对应的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理可得，则或，即可求解；
（2）由题意得，即，结合正弦定理计算即可求解.
【小问1详解】
由得，
又，所以.
因为，
得或，解得或（不合题意，舍去），
故.
【小问2详解】
因为是锐角三角形，所以，
即且，解得.
因此，即，
所以.
即的取值范围是.
16. 在直三棱柱中，.
（1）若外接圆的半径是1，求直三棱柱的表面积；
（2）若直三棱柱外接球的体积是，求此直三棱柱的高.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理求出，的长，从而求得直三棱柱的表面积；
（2）设，由正弦定理求出底面三角形外接圆半径，设、分别为和的外接圆圆心，则直棱柱的性质可知的中点为三棱柱的外接球球心，利用勾股定理即可求出外接球半径，由球的体积公式即可求出答案.
【小问1详解】
因为，所以，.
故直三棱柱的表面积为
.
【小问2详解】
设.因为，所以.
于是是外接圆的半径.
如图，设、分别为和的外接圆圆心，由直棱柱的性质可知的中点为三棱柱的外接球球心，
所以
则球的半径为..
所以球的体积为，解得.
故直三棱柱的高是.
17. 在中，角的对边分别是，其外接圆的半径是1，且向量，互相垂直.
（1）求角的大小；
（2）求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量垂直关系的向量表示和数量积的坐标表示可得，结合余弦定理计算即可求解；
（2）由（1）可得，结合基本不等式计算即可求解.
【小问1详解】
因为互相垂直，所以.
将（为外接圆半径）代入上式，
得，即，
由余弦定理得，，
又，所以；
【小问2详解】
由（1）得，即，
即，所以，
当且仅当时等号成立.所以，
故面积最大值是.
18. 在中，中线和中线相交于点，点在边上.
（1）若，证明：点是边的靠近点的四等分点；
（2）证明：；
（3）若，求中最大角与最小角和.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得，从而得证；
（2）根据重心的性质得到，同理得到，，即可得证；
（3）结合（2）可得，由正弦定理可得，再利用余弦定理求出，即可得解.
【小问1详解】
因为，
又，
所以，
即，
所以与同向，故点是边的靠近点的四等分点；
【小问2详解】
因为.
同理得，，
故.
【小问3详解】
由和，
所以，即，由正弦定理可得，
设，则，
由余弦定理，
因为，所以，所以，
故中最大角与最小角的和为.
19. 某公园计划改造一块四边形区域建设草坪（如图），其中百米，百米，.草坪内需要规划4条人行道，以及两条排水沟.其中分别是边的中点.
（1）若，求排水沟的长；
（2）设条人行道总长度记为.
（i）求出函数的表达式；
（ii）当取多少时，有最大值，并求出这个最大值.
【答案】（1）（百米）
（2）①；②，最大值为（百米）
【解析】
【分析】（1）结合已知图形中角的关系，在中，用余弦定理可求；
（2）①先，然后由余弦定理可表示AC，由正弦定理，可得，然后结合三角关系及余弦定理表示出四条道路的长度关系式；②利用换元法令，根据辅助角公式求出t的范围，然后利用函数的单调性求出最值
【小问1详解】
在直角中，.
在等腰直角中，.
在中，，
由余弦定理得，
即，
所以
【小问2详解】
（i）设.
由余弦定理得，
由分别是边的中点，所以，
在中，由正弦定理得，得
易得.
，
，
故，
（ii）令，
由，得.
在上单调递增
故的最大值为，
此时，且.
【点睛】关键点点睛：本题的第二问，对于四边形边长问题转化为三角形变长问题，结合三角形的性质与诱导公式熟练应用正弦定理、余弦定理求解即可.
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