河南省南阳市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 本试卷共8页，三个大题， 23个小题，满分120分，考试时间100分钟．
2.答题前考生务必将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置．
3.考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效．
4. 考试结束，将答题卡交回．
一、选择题：（每小题3分，共30分）（下列各小题中只有一个答案是正确的）
1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件可进行求解．
【详解】解：由题意得：，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
2. 在平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：点第二象限．
故选：B．
3. 2024年3月 14日是第5个国际数学日， 主题是 （玩数学）．我国古代数学家祖冲之推算出无理数π近似值为 ，它与π的误差小于 ． 将用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定．在本题中a应为3，10的指数为．
【详解】解：
故选C
4. 化简 的结果是（ ）
A. 0B. 1C. mD. m-1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是同分母分式的加法运算，利用分母不变，把分子相加减即可得到答案．
【详解】解：，
故选B
5. 将函数图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，根据“上加下减”的平移规律解答即可．
【详解】解：将函数的图象向下平移2个单位长度，所得函数图象的表达式是，
故选：A．
6. 将分式 中的x、y的值都变为原来的3倍，则该分式的值（ ）
A. 扩大为原来的3倍B. 扩大为原来的9倍
C. 保持不变D. 缩小为原来的
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案．
【详解】解：，
∴该分式的值扩大为原来的3倍，
故选：A．
7. 若函数 的图象位于第一、三象限， 则直线一定不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的性质和一次函数的性质，注意：反比例函数中，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，再由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数图象在第一、三象限内，
∴，，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
8. 分式，，的最简公分母是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：分式，，的分母分别是，，，
故最简公分母是：，
故选B．
【点睛】本题考查了最简公分母，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
9. 汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量 随行驶路程的增加而减少，平均耗油量为．当时，y与x的函数关系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是列函数关系式，掌握“剩余油量原来油量耗油量”是解本题的关键．由剩余的油量等于原来的油量减去耗油量，从而可得函数解析式．
【详解】解：由题意可得：，
即，
故选:B．
10. 在平面直角坐标系中，按如图所示方式放置正方形，点A的坐标为，将正方形绕坐标原点 O逆时针旋转， 每秒旋转， 第2024秒旋转结束时点 C 的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，正确找到旋转2024秒后点的位置是解题的关键．根据旋转4秒恰好旋转，说明旋转2024秒后点D与点的坐标重合即可．
【详解】解：过A作轴于E，过作轴于F，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
将正方形绕坐标原点O逆时针旋转，每秒旋转，旋转4秒恰好旋转，
∵，余数为0，
故旋转2024秒后点C与点的坐标重合，即
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15 分）
11. 一个函数图象过点，且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式：____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据题意及函数的性质可进行求解．
【详解】解：由一个函数过点，且随增大而增大，
可知该函数可以为（答案不唯一）；
故答案为（答案不唯一）．
12. 若分式的值为0，则x的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．根据分式的值为零的条件即可求出x的值．
【详解】解：由题意可知：且，
解得且．
故答案为：．
13. 如图，过反比例函数 的图象上任意一点 P 作 轴于点 M，若的面积等于5，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义和反比例函数的性质．利用反比例函数k的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值．
【详解】解：∵轴，的面积等于5，
∴，
而图象在第二象限，，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图痕迹可知，当时，点M的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的作法与性质，勾股定理的应用，根据图示，可知为的角平分线，由此得到的横纵坐标相等，再进一步利用勾股定理可得答案．
【详解】解：由图可得，为的角平分线，
∴，
∴的横纵坐标相等，
设，而，
∴，而，
解得：，
∴，
故答案为：．
15. 如图， 直线 与x轴、y轴分别交于点 A、B，点 C 是 x轴上的一个动点，将直线 沿直线 翻折，当点 A的对应点 D 恰好落在y轴上时，点 C的横坐标为____________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，以及勾股定理．熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解三角形，是解题的关键．分两种情况讨论：先求出，两点的坐标，根据折叠，得到，，进而求出的长度，在中，利用勾股定理进行求解，得到的长，即可得解．
【详解】解：，
当时，；当时，；
，，
，，
将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上正半轴点D处，如图，连接，
，
，，
在中，，即：，
，
点在轴的负半轴上，
．
将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上负半轴点D处，如图，连接，
同理可得：，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
综上：或．
故答案为：或．
三、解答题（共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，
（1）利用零指数幂、负整数指数幂的意义，算术平方根的定义以及乘方的意义计算即可；
（2）先计算括号内，同时把除法转化为乘法，然后约分即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A．
（1）求的值；
（2）若直线图象经过点A，求的值；
（3）当时，都有一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）6 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
（1）由函数图象易得，把点代入，即可得到答案；
（2）把点代入函数，求出b的值，即可得到答案；
（3）求得当时，此时直线与y轴交点的纵坐标的值，即b的值，利用数形结合思想即可求解．
【小问1详解】
解：由函数图象得：，
把点代入，得，
解得：；
【小问2详解】
解：直线图象经过点，
，
解得：；
【小问3详解】
解：当时，，
∵当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于反比例函数的值，
∴．
18. 赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗．某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，已知甲、乙两队参加比赛时的路程（米）与时间（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题：

（1）这次龙舟比赛全程为 米；
（2）龙舟比赛先到达终点的是 队；（填“甲”或“乙” ）
（3）比赛时甲队龙舟的平均速度是 米分钟；
（4）甲队和乙队相遇时，乙队龙舟的速度是 米分钟；
（5）直接写出相遇之前甲队和乙队龙舟何时相距10米．
【答案】（1）1000
（2）乙 （3）160
（4）175 （5）1分钟或分钟
【解析】
【分析】（1）根据函数图象，即可求解；
（2）根据函数图象，可以得出甲乙到达终点时间，即可求解；
（3）根据路程以及甲队的时间，即可求解；
（4）根据乙队提速后的路程和时间，即可求解；
（5）分为两种情况，乙队提速前后，分别求解即可．
【小问1详解】
解：从图象可以看出，这次龙舟赛的全程是1000米，
故答案为：1000；
【小问2详解】
从图象可以看出，乙队先到达终点，
故答案为：乙；
【小问3详解】
比赛时甲队龙舟的平均速度是（米分），
故答案为：160；
【小问4详解】
由图象可知，甲队和乙队相遇时，乙队龙舟的速度是（米分），
故答案为：175；
【小问5详解】
①乙队在提速之前，
根据题意得，
解得；
②乙队在提速之后，与甲相遇之前，
根据题意，得，
解得．
综上所述，在乙队与甲相遇之前，经过1分钟或分钟相距10米．
【点睛】此题考查了函数图象与路程问题，解题的关键是读懂函数图像，能够正确的从函数图象获取信息．
19. 已知关于x的分式方程 ．
（1）当时，求该分式方程的解；
（2）若该分式方程的解为非负数，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）且．
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解分式方程，解题的关键是准确熟练地进行计算．
（1）把代入原方程中，然后按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；
（2）先解分式方程可得，然后根据题意可得且，从而可得答案．
【小问1详解】
解：当时，原方程即为：，
∴，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根；
【小问2详解】
解：，
∴，
解得：，
该分式方程的解为非负数，
且，
且，
解得：且，
的取值范围为：且．
20. 如图，已知直线 与x轴、y轴的交点分别为A、B，请在图中作出直线 ．
（1）直接写出二元一次方程组 的解______；
（2）直线 上是否存在点 C，使 与 的面积相等，若存在，求出C 点坐标；否则，说明理由．
【答案】（1）画图见解析，
（2）或．
【解析】
【分析】本题考查的是画一次函数的图象，一次函数与二元一次方程组的关系，坐标与图形，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键；
（1）先画的图象，再结合方程组与一次函数的关系可得答案；
（2）先求解的面积，再设，利用面积关系建立方程求解即可．
小问1详解】
解：列表如下：
描点连线如下：
∵方程组即方程组，
∴由图象可得方程组的解为：；
【小问2详解】
∵，
当，，
当，则，
∴，
∴，，
∴，
∵在上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或．
21. 春节过后，我市又降大雪给交通带来了一定影响．为保证市民第二天的正常出行，某社区计划调用甲、乙两个工程队合作清扫1800平方米的积雪．已知甲工程队每小时能清雪的面积是乙工程队每小时能清雪的面积的2倍，并且在独立清扫面积为300 平方米的积雪时，甲工程队比乙工程队少用3 小时．
（1）求甲、乙两个工程队每小时能独立清雪多少平方米；
（2）已知甲工程队清雪的费用是 6 元/平方米，乙工程队清雪的费用是 5 元/平方米．在合作完成这1800 平方米的清雪任务中，如果乙工程队的施工时间为t（小时），两个工程队的总费用为w（元），求w关于t的函数关系式．
【答案】（1）甲工程队每小时能完成清雪的面积为100平方米，乙工程队每小时能完成清雪的面积为50平方米
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）设乙工程队每小时能完成清雪的面积为x平方米，则甲工程队每小时能完成清雪的面积为平方米，根据“在独立完成面积为300平方米区域的清雪时，甲队比乙队少用3小时”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据总费用等于甲工程队的费用与乙工程队的费用之和，即可求解．
【小问1详解】
解：设乙工程队每小时能完成清雪的面积为x平方米，则甲工程队每小时能完成清雪的面积为平方米，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：甲工程队每小时能完成清雪的面积为100平方米，乙工程队每小时能完成清雪的面积为50平方米；
【小问2详解】
解：根据题意，得
，
即．
22. 【发现问题】
我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，同时又有很多水龙头由于漏水造成大量的浪费，某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．
【提出问题】
小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量y（毫升）是否为时间 t（分钟）的函数？
【分析问题】
小明每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据：
（1）请在下图的平面直角坐标系内描出上表中数据对应的点；

（2）根据上表中的数据和所描的点，判断 和（k、b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？求出这个关系式；
【解决问题】
（3）小明继续实验，当量筒中的水刚好有60毫升时，所需时间为______分钟；
（4）按此漏水速度，半小时会浪费 毫升水；
（5）若一个人一天大约饮用1500 毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一个人饮用多少天．
【答案】（1）画图见解析；（2）能反应总水量y与时间t的函数关系，解析式为；（3）11；（4）；（5）这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键．
（1）根据表格数据描点即可；
（2）根据上表中的数据和所描的点， （k、b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系；再利用待定系数法求解解析式即可；
（3）把代入解析式即可得到答案；
（4）把代入解析式即可得到答案；
（5）由解析式可知，每分钟滴水量为毫升，故可算出1个月的总滴水量，再除以一个人每天的饮水量，即可解答．
【详解】解：（1）如图，描点如下：
（2）根据上表中的数据和所描的点， （k、b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系；
∴，
解得：，
∴；
（3）当时，则，
解得：，
∴当量筒中的水刚好有60毫升时，所需时间为11分钟；
（4）当时，，
按此漏水速度，半小时会浪费155毫升水；
（5）由解析式可知，每分钟的滴水量为毫升，
30天分钟分钟，
可供一人饮水天数天，
答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．
23. 如图，在一段长为的高速公路上，规定汽车行驶速度最低为，最高为．
（1）直接填空：
①当行驶速度为，需要 h走完这段路；
②行驶完这段路恰好用了，行驶速度是 ．
（2）请你根据以上背景，设定变量建立一个合理的函数关系，这个函数关系式中要把数据“”用上，并写出自变量的取值范围．
（3）请你先提出一个问题，然后再回答它．要求：这个问题的解决要把“（2）中的函数关系式”、“”和“”都用上．
【答案】（1）①；②；
（2）与的关系式为
（3）问题及解答见解析
【解析】
分析】（1）①利用路程除以速度即可得到答案；②利用路程除以时间即可得到答案；
（2）利用速度与时间的关系提问题，再列函数关系式即可；
（3）根据（2）中的函数关系式题问题，再解决问题即可．
【小问1详解】
解：①；
②；
【小问2详解】
设汽车行驶所需的时间为，汽车行驶的速度为，
∴与的关系式为；
【小问3详解】
问题：若汽车行驶完这段路程用了，判断汽车的行驶速度是否符合要求？
当，
∴，
∵，
∴汽车的速度符合要求；
时间t（分钟）
1
2
3
4
5
总水量y（毫升）
10
15
20
25
30