上海市进才中学北校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1. 下列函数中，是一次函数的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】一般地，形如：，为常数，则是的一次函数，由一次函数的定义可得答案．
【详解】解：A、是反比例函数，故本选项错误；
B、不是一次函数，故本选项错误；
C、是二次函数，故本选项错误；
D、是正比例函数，是一次函数，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的定义，即一般地，形如，为常数，则是的一次函数，掌握定义是解题关键．
2. 下列关于的方程中，一定有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理方程，一元二次方程，分式方程，分别解方程，即可求解．
【详解】解：A. ，∴，∵
∴原方程无实数解；
B. ∵，则，
C. ，移项得，，∵，
∴原方程无实数根，
D. ，去分母得，检验：，是原方程的增根，原方程无解；
故选：B．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 是二元二次方程B. 是二项方程
C. 是分式方程D. 是无理方程
【答案】A
【解析】
【分析】利用无理方程、高次方程、分式方程、二项方程的定义分别进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、含有两个未知数，且未知数的最高次数是，故是二元二次方程，故正确；
B、是二次方程，故错误；
C、分母里不含未知数，不是分式方程，故错误；
D、被开方数不含未知数，不是无理方程，故错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了无理方程、高次方程、分式方程、二项方程的定义，解题的关键是熟悉这些方程的定义．
4. 如图，当取何值时，函数的图像在第三象限（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据一次函数图象得出答案即可．
【详解】解：根据函数图象可知：时，函数图像在第三象限．
故选：D．
5. 甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为20km．他们行进的路程与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示．根据图中信息，下列说法中，不正确的是（ ）
A. 甲的速度是5；B. 乙的速度是10
C. 乙比甲晚出发1hD. 从A到B，甲比乙多用了1h
【答案】D
【解析】
【分析】由图可得，该图象是路程与时间的关系，乙比甲晚出发一小时且乙的速度比甲的速度快．
【详解】解：从图象可知甲乙两人均行驶了20千米，用时分别为4小时和2小时，从而得到甲、乙的速度分别为5km/h和10km/h，故A、B正确，D错误；
从图象可知乙比甲晚出发1小时，故C正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了函数的图象，重点考查学生的读图获取信息的能力，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
6. 如图，形如的纸片的对角线与相交于点，将这张纸片对折后点与点重合，点落在点处，已知，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换的性质以及平行四边形的性质，解决问题的关键是掌握：翻折前后对应边相等、对应角相等，解题时注意：平行四边形的对角线互相平分．先画出图形，由折叠的性质得出，，求出，根据等腰三角形的性质得出．
【详解】解：如图所示：
由折叠的性质可得：，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7. 直线的截距是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，令，即可求解．
【详解】解：∵，当时，
∴直线的截距是直线的截距是，
故答案为：．
8. 将直线向下平移5个单位后，所得直线的表达式为________．
【答案】y=-x-3
【解析】
【分析】根据一次函数平移的特点即可求解．
【详解】将直线向下平移5个单位后，所得直线的表达式为-5=-x-3
故答案为：y=-x-3．
【点睛】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知一次函数平移的特点．
9. 方程的解是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解无理方程，先求的范围，再解此方程得或，舍去不符合题意的解即可．
【详解】解：由题意得，
解得，
原方程可化为：或，
解得不合题意，舍去或，
当时，原方程成立．
故方程的根是．
故答案为：．
10. 用换元法解方程组时，可设，那么原方程组可化为关于、的整式方程组为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了换元法解方程组，将代入原方程组即可得．
【详解】解：将代入方程组
得：，
故答案为：．
11. 如果一次函数的图像不经过第一象限，那么的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的图像的性质，根据一次函数图像的性质列出关于b的不等式组求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图像不经过第一象限，
∴，
故答案为：．
12. 若点A(7，)、点B(，)是直线（为常数）上的点，则大小关系是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据一次函数的解析式判断出一次函数的增减性，再根据7＞5即可得出结论．
【详解】∵一次函数（b为常数）中，，
∴y随x的增大而增大，
∵7＞5，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，明确一次函数表达式中k的意义是解题的关键．
13. 若关于的分式方程有增根，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了根据分式方程根的情况求参数，去分母解分式方程得，根据分式方程有增根，得到，计算即可．
【详解】解：
∴
去分母得：
∵分式方程有增根，
∴，
解得：，
故答案为：．
14. 若一个多边形的内角和与外角和之比是的5︰2，则这个多边形的边数是__________．
【答案】7
【解析】
【分析】设这个多边形的边数是n，则内角和为，然后根据外角和是360度，即可求得边数．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，则
∴
解得；
故答案为：7．
【点睛】本题考查了多边形的计算，理解多边形的外角和是360度，外角和不随边数的变化而变化是关键．
15. 已知平行四边形中，已知，则__________度．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形邻角互补的性质可求解．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
16. 在已知周长为，它的对角线相交于点，且的周长比的周长大，则____________________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，由“平行四边形的周长为”可得，由“的周长比的周长大”可得，解之即可．
【详解】解：如图，
四边形是平行四边形，
，，，
平行四边形的周长为，
，
的周长比的周长大，
，
解得，．
故答案为：，．
17. ▱ABCD的周长是32cm，∠ABC的平分线交AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则AB的长为_____．
【答案】6cm或12cm．
【解析】
【分析】证△ABE是等腰三角形，分“点E在线段AD上” 和“点E在AD的延长线上”两种情况，分别求得答案即可．
【详解】解：分两种情况：
①点E在线段AD上，如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∴AB+AD＝×32＝16（cm），∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD所在的直线于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AE：ED＝3：2，
∴AB：AD＝3：5，
∵平行四边形ABCD的周长为32cm．
∴AB的长为：16×＝6（cm）．
②点E在AD的延长线上，如图2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∴AB+AD＝×32＝16（cm），∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD所在的直线于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AE：ED＝3：2，
∴AB：AD＝3：1，
∵平行四边形ABCD的周长为32cm．
∴AB的长为：16×＝12（cm）；
故答案为：6cm或12cm．
【点睛】本题考查了平行四边形与角平分线线的综合应用，熟知以上知识点及应用是解题的关键．
18. 如图，平行四边形的顶点在轴上，点在（）上，且轴，的延长线交轴于点．若，则______．

【答案】10
【解析】
【分析】设与轴交于点，连接，由平行四边形的性质可得，，根据三角形的面积公式可得，，由，，可得，由的几何意义进行计算即可得到答案．
【详解】解：设与轴交于点，连接，如图所示，

四边形是平行四边形，
，，
，
轴，
轴，，
，，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，三角形的面积计算，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，添加适当的辅助线，是解题的关键．
三、解答题（本大题共9题，满分58分，第19~26题每题6分，第27题10分）
19. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
整理得：，
解得：，，
检验：把代入得：，
把代入得：，
∴是原方程解，是原方程的增根，
∴原方程的解为：．
20. 解方程：．
【答案】x=4
【解析】
【分析】将方程两边平方整理得到关于x的含有根号的无理方程，再次将方程两边平方得到一个一元一次方程，然后求解即可
【详解】
经检验是原方程的根，
所以原方程的根为．
【点睛】本题考查了无理方程，一元一次方程的解法，完全平方公式，二次根式的混合运算，转化无理方程为一元二次方程是解题的关键．
21. 解关于的方程：．
【答案】当时，，当时，原方程有无数个解
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，因式分解，分，，先移项，然后因式分解，进而化系数为1的步骤解方程，即可求解．
【详解】解：当时，即时，
，
∴，
∴，
解得：，
当时，原方程为，
原方程有无数个解．
22. 解方程组：．
【答案】或或或
【解析】
【分析】将每个方程因式分解，降次化为两个一次方程，解出重新组合的方程组即可得到答案．
【详解】解：x2-5xy-6y2=0可化为（x-6y）（x+y）=0，
∴x-6y=0或x+y=0，
x2-4xy+4y2=1可化为（x-2y+1）（x-2y-1）=0，
∴x-2y+1=0或x-2y-1=0，
原方程组相当于以下四个方程组：
，，，
解得①②③④分别得：，，，，
∴原方程组的解是：或或或
【点睛】本题考查解二元二次方程组，将每个二次方程因式分解，降次化为两个一次方程是解题的关键．
23. 如图，已知在中，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合平行四边形的性质，利用证明可证明结论；
【详解】证明：∵四边形为平行四边形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴，
∴；
24. 在2021“五五购物节”中，某商店的两种品牌的小电器参与促销活动．经统计后发现，每天的销售中，乙品牌小电器的销售数量y（件）与甲品牌小电器的销售量x（件）符合如图表示的函数关系．
（1）求y关于x的函数解析式（不必写出白变量x的取值范围）；
（2）在5月2日一天的销售中，甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，已知甲品牌的小电器单价比乙品牌的小电器单价多20元，求甲、乙两种品牌的小电器的单价．（其中小电器的单价大于100元）
【答案】（1）；（2）甲品牌的小电器单价为200元，乙品牌的小电器单价为180元
【解析】
【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）设甲品牌的小电器单价m元，则乙品牌的小电器单价为（m-20）元，根据甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，即可得出关于m的方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设关于的函数解析式为．
将，代入得：
，
解得：，
关于的函数解析式为；
（2）设甲品牌的小电器单价元，则乙品牌的小电器单价为元，
依题意得：，
解得：，．
小电器的单价大于100元，
，
（元），
答：甲品牌的小电器单价为200元，则乙品牌的小电器单价为180元．
【点睛】本题考查了方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出方程组．
25. 如图，▱ABCD中，，点P按方向运动，到达点B时运动停止，运动开始时以每秒2个长度单位匀速运动，到达D点后，改为每秒m个单位匀速运动，到达C后，改为每秒n个单位匀速运动，在整个运动过程中，的面积S与运动时间t的函数关系如图所示．
求：求AB、BC的长；
求m，n的值．
【答案】10当点P在线段CD上时；当点P在线段CD上时
【解析】
【分析】由图象可知，当点P在BC上运动时，3秒钟到C，有知道P的运动速度，所以可以求出BC的长；
有可知，，结合给出的函数图象即可求出a和b的值．
【详解】解：过点D作于点H，
从图象可知，当点P在AD上运动时，3秒钟到C，
所以，
，
，
，
，，
从图象可知，当时，面积不变为30，
，
即，
；
当点P在线段CD上时，，则；
当点P线段CD上时，，则．
【点睛】本题是一次函数的综合题，重点考查了动点问题的函数图象，考查了学生观察图象的能力和解决问题的能力．
26. 已知：一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为．
（1）求与的值；
（2）设一次函数的图像与轴交于点，为轴上一点，连接，若为等腰三角形，求的坐标．
【答案】（1），
（2）或或或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，等腰三角形的定义；
（1）将点代入反比例函数解析式可得，进而将代入得，得出；
（2）先求点的坐标，勾股定理求得的长度，进而分三种情况讨论，结合坐标系，即可求解．
【小问1详解】
解：∵在反比例数的图象上，
∴，
∴，
∴
将代入得，
解得：
【小问2详解】
解：由（1）可得
当时，，
∵一次函数的图像与轴交于点B，
∴，
∴，
如图所示，设，
当时，点的坐标为或
当时，
，
，
，
解得：；
当时，
，

综上所述满足条件的点C坐标为或或或．
27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点是线段的中点，点，点为轴上一动点．
（1）求直线的表达式，并直接写出点的坐标；
（2）连接，以为边作的顶点恰好落在轴上，求点的坐标；
（3）设点是直线上一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）直线的表达式为；点的坐标为
（2）
（3），， ．
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数表达式的确定以及一次函数和平行四边形的判定的综合运用．
（1）利用待定系数法求出直线的表达式．
（2）由于以为边的四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质，对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论；
（3）①为平行四边形的对角线也是这个平行四边形的对角线，平行四边形的对角线的交点是同一个点，把点E，M的坐标设出，利用中点坐标的确定方法，求出的中点和得中点，是同一个点，即可，②为以C、D、E、M为顶点的四边形为平行四边形的边，利用且，即可求出．
【小问1详解】
解：设直线的表达式为，
∵直线与x轴，y轴分别相交于点、点，
∴，
解得，，
即：直线的表达式为．
由中点坐标公式得，，即；
【小问2详解】
解：如图1，
∵，），
又以为边的平行四边形交x轴于E，交y轴于F，设，
∴，，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：第一种情况：为平行四边形的对角线，
∵，，
∴的中点坐标为，
∵点M在直线的图象上，
设，
∴中点坐标为，
∵为平行四边形的对角线，
∴，，
∴，，
即；
第二种情况：为平行四边形的边，则也为边，
即，，
∵，，
∴，
设直线的表达式为，
把，代入得，
解得，，
∴直线的表达式可设为为，
当时，，
∴，
设，
∴①，
又点M在直线的图象上，
∴②，
由①②有或，
∴ ，
故符合条件的点的坐标为， ．