2024年山东省聊城市莘县九年级下学期期中（一模）数学试题（原卷版+解析版）

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亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明：
1．试题由选择题与非选择题两部分组成，共6页，选择题30分，非选择题80分，共120分，考试时间120分钟．
2．将姓名、考场号、考号、座号填写在试题和答题卡指定的位置．
3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．考试结束，答题卡和试题一并交回．
4．不允许使用计算器．
愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷．
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求）．
1. 下列各数与的相反数相等的是（ ）
A B. C. D.
2. 如图，是某几何体的俯视图，则该几何体可能是（ ）
A. B. C. D.
3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为m，用科学记数法表示，则n为（ ）
A. B. C. 5D. 6
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 一副三角板按如图所示摆放，其中，，，点A在边上，点D在边上，与相交于点G，且，则度数是（ ）
A. 100°B. 105°C. 110°D. 125°
6. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如果，那么代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，是一个等腰直角三角形纸板，，在此三角形内部作一个正方形，使在边上，点，分别在，边上．将一个飞镖随机投掷到这个纸板上，则飞镖落在阴影区域概率为（ ）

A. B. C. D.
9. 如图，在菱形中，分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：①，②如果，那么，③，④；其中正确结论的个数是（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
10. 关于二次函数，有下列说法：
①它的图像与x轴有两个公共点；
②如果当时，y随x的增大而减小，则；
③如果将它图像向左平移3个单位后过原点，则；
④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．其中正确的说法有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）．
11. 已知函数，则x满足的条件是___________．
12. 菱形的两条对角线长分别为方程的两个根，则该菱形的周长为______．
13. 若关于x的分式方程，会产生增根，则m的值为______．
14. 如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和是___．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，将向右平移到的位置，点C、E、D依次与点A、O、B对应点，，若反比例函数的图象经过点C和点F，则k的值是______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧；是以点C为圆心，为半径的圆弧；是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心，按上述作法得到的曲线…称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是______．
三、解答题（本题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）．
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18. 如图，平行四边形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，求的度数．
19. 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表．
【数据的描述与分析】
（1）求扇形统计图中圆心角的度数，并补全频数直方图．

（2）根据频数分布表分别计算有关统计量：
直接写出表格中m、n的值，并求出．
【数据的应用与评价】
（3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价．
20. 2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）．
21. 了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进A，B两种纪念品，购进A种纪念品10件，B种纪念品4件，共需1200元；购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，共需900元．
（1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若购买两种纪念品共200件，并且购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍．A种纪念品每件获利30元，B种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进A，B两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？
22. 石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，由碾盘、碾砣、碾框、碾管芯、碾棍孔、碾棍等组成石碾分上下两部分，上面的叫碾砣，下面的叫碾盘，碾砣被固定在碾框上（碾齿深的那头在中间）而碾框是用硬木（一般是枣木）做成的架子，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，AC为的切线，点D是上的一点，连接并延长与的延长线交于点E，连接，已知．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径的长．
23. 若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求线段最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标．
24. 综合实践，
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．

（1）探究发现
旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用
如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长．
（3）延伸思考
如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值．投稿篇数（篇）
1
2
3
4
5
七年级频数（人）
7
10
15
12
6
八年级频数（人）
2
10
13
21
4
统计量
中位数
众数
平均数
方差
七年级
3
3
1.48
八年级
m
n
3.3
1.01
课题
母亲河驳岸的调研与计算
调查方式
资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
功能
驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
驳岸剖面图


相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，，
计算结果
交流展示