浙江省杭州市萧山区城区八校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(原卷版+解析版)
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1、试卷分试题卷和答题卷两部分.满分120分,考试时间为110分钟.
2、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上,务必注意试题序号和答题序号相对应.
3、考试结束后,只需上交答题卷.
一、选择题(每小题3分,共30分)
1. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算,利用二次根式的加减法则,乘法法则,除法法则以及二次根式的性质计算,并逐项判定即可.
【详解】解:A与不是同类二次根式,不可以合并,故原计算错误;
B.,故原计算错误;
C.,原计算正确;
D.,故原计算错误;
故选:C.
2. 下列图形中,属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念,解题的关键是要寻找对称中心,图形旋转后与原图重合.根据中心对称图形的概念进行求解即可.
【详解】解:A、不是中心对称图形,故此选项错误;
B、不是中心对称图形,故此选项错误;
C、是中心对称图形,故此选项正确;
D、不中心对称图形,故此选项错误.
故选:C.
3. 用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3=0,配方后得到的方程是( )
A. (x﹣1)2=4B. (x+1)2=4C. (x+2)2=1D. (x﹣2)2=1
【答案】B
【解析】
【分析】先将常数项移到方程右边,再将两边都加上一次项系数一半的平方,据此可得答案.
【详解】解:∵x2+2x-3=0,
∴x2+2x=3,
则x2+2x+1=3+1,即(x+1)2=4,
故选:B.
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
4. 王老师对甲、乙两人五次数学成绩进行统计,两人平均成绩均为90分,方差,,则下列说法正确的是( )
A. 甲、乙两位同学的成绩一样稳定B. 乙同学的成绩更稳定
C. 甲同学的成绩更稳定D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.根据方差的定义即可得出答案.
【详解】解:甲、乙两人五次数学成绩进行统计,两人平均成绩均为90分,,,
,
甲同学的成绩更稳定,
故选:C.
5. 在平面直角坐标系中,点P到原点的距离等于( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用勾股定理求点到原点的距离,利用勾股定理解题是关键.根据勾股定理求解即可.
【详解】解∶在平面直角坐标系中,点P到原点的距离,
故选:C.
6. 无论x取任何实数,代数式都有意义,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件.根据二次根式有意义的条件,即可求解.
【详解】解:∵,且无论x取任何实数,代数式都有意义,
∴,
∴.
故选:A
7. 流行性感冒传染迅速,若有一人感染,经过两轮传染后共有100人患病,设每轮传染中平均一人传染了x人,可列出的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用(传播问题),先设每轮传染中平均一人传染了x人,再根据“经过两轮传染后共有100人患病”,进行列式,即可作答.
【详解】解:∵设每轮传染中平均一人传染了x人,经过两轮传染后共有100人患病,
∴,
故选:A.
8. 已知:一组数据x1,x2,x3,x4,x5平均数是2,方差是,那么另一组数据3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,3x4﹣2,3x5﹣2的平均数和方差分别是( )
A. 2,B. 2,1C. 4,D. 4,3
【答案】D
【解析】
【分析】本题可将平均数和方差公式中的x换成3x-2,再化简进行计算.
【详解】解:∵x1,x2,…,x5的平均数是2,则x1+x2+…+x5=2×5=10.
∴数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数是:
[(3x1-2)+(3x2-2)+(3x3-2)+(3x4-2)+(3x5-2)]
= [3×(x1+x2+…+x5)-10]
=4,
S′2=×[(3x1-2-4)2+(3x2-2-4)2+…+(3x5-2-4)2],
=×[(3x1-6)2+…+(3x5-6)2]
=9× [(x1-2)2+(x2-2)2+…+(x5-2)2]
=3.
故选:D.
【点睛】本题考查的是方差和平均数的性质,熟练掌握方差的概念是解题的关键.
9. 对于一元二次方程,下列说法:
若,则;
若方程有两个不相等的实根,则方程必有两个不相等的实根;
若是方程的一个根,则一定有成立;
其中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根的判别式,熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键.①根据,可用,表示,进而得出的正负,②利用根的判别式即可解决问题,③将代入讨论即可.
【详解】解:,
,
,
,故①正确.
方程有两个不相等的实根,
,即.
又,且,
,则方程有两个不相等的实根.故②正确.
是方程的一个根,
,即,
或.故③错误.
故选:C.
10. 如图,四边形是平行四边形,连接,过点A作于点M,交于点E,连接,若,点M为的中点,,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接,交于点O,先证明,再由全等三角形的性质和平行四边形的性质证明,继而得出平行四边形是菱形,是等边三角形,即可得出,根据直角三角形的性质设,则,根据勾股定理计算即可求解.
【详解】连接,交于点O,
∵,
∴,
∵点M为的中点,
∴,
在和中,
∵
∴,
∴,
∵四边形是平行四边形,,
∴,
在和中,
∵
∴,
∴,即,
∴平行四边形是菱形,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
设,则,
由勾股定理得,即,
解得,
∴,
故选:B.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,平行四边形的性质,菱形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,熟练掌握知识点是解题的关键.
二、填空题(每小题4分,共24分)
11. 若二次根式有意义,则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数即可求解.
【详解】,
∴.
故答案为
【点睛】本题考查二次根式的意义:熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键.
12. 八边形的内角和是_________度,外角和是__________度.
【答案】 ①. 1080 ②. 360
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的性质即可求解.
【详解】八边形的内角和是(8-2)×180°=1080°,外角和是360°
故答案为:1080;360.
【点睛】此题主要考查多边形的内角和与外角和,解题的关键是熟知多边形的内角和公式.
13. 某学生数学课堂表现为90分,平时作业为92分,期末考试为85分,若这三项成绩分别按30%,30%,40%的比例记入总评成绩,则该生数学总评成绩是____分.
【答案】88.6
【解析】
【详解】解:该生数学科总评成绩是分.
14. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2,则另一个根是_____.
【答案】6
【解析】
【分析】把代入,转化为a的方程,结合根与系数关系定理,求解即可.本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值,转化求解是解题的关键.
【详解】把代入,
得,
解得,
∴,
设另一个根为,
根据题意,得
解得,
故答案为:6.
15. 设实数的整数部分为,小数部分为,则______.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了无理数的整数部分,平方差公式的应用以及相关运算,先根据,得出,的值,再整理,把,的值代入,即可作答.
【详解】解:∵,
∴,
∵实数的整数部分为,小数部分为,
∴,
则.
故答案为:
16. 已知点D与点,,是平行四边形的四个顶点,则长的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】讨论两种情形:①是对角线,②是边.是对角线时直线时,最小.是边时,,通过比较即可得出结论.
【详解】解:有两种情况:当为对角线时,记交于点F,
∵,设直线表达式为:,
则代入点C得:,
∴,
点C在直线上,
延长交x轴于点G,取中点H,连接,
∵点F是平行四边形对角线交点,
∴F为中点,,∴为的中位线,
∴,,
∴,
当时,最短,
由可知点C与点O的水平距离和铅锤距离均是,
∴,∴当时,
∴为等腰直角三角形,
∴,则,
设直线表达式为:,代入
得,∴,
∴直线表达式为:,
联立得:,解得,
∴,
∴,
∴最小值为;
当为平行四边形边时,则,
综上,最小值为.
故答案为:.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、垂线段最短,勾股定理等知识,学会分类讨论是解题的关键,灵活运用垂线段最短解决实际问题,属于中考常考题型.
三、解答题(共66分)
17. 计算
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质,二次根式的混合运算,解题的关键是:
(1)先利用绝对值的意义,二次根式的性质化简,然后合并同类二次根式即可;
(2)先利用二次根式的性质化简,同时计算除法,再用二次根式的性质化简即可.
【小问1详解】
解∶
;
【小问2详解】
解∶
.
18. 解方程
(1)
(2)
【答案】(1),
(2),
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程,解题的关键是∶
(1)利用配方法求解即可;
(2)利用因式分解法求解即可.
【小问1详解】
解∶
∴ , ;
【小问2详解】
解∶
或
解得, .
19. 如图所示,有一张边长为的正方形纸板,现将该纸板的四个角剪掉,制作成一个有底无盖的长方体盒子,剪掉的四个角是面积相等的小正方形,此小正方形的边长为,求:
(1)长方体盒子的底面积;
(2)长方体盒子的体积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的应用,关键是结合图形和根据二次根式的乘法法则求解.
(1)结合题意可知长方体盒子的底面是边长为的正方形,即可得答案;
(2)根据长方体盒子的体积等于底面积×高,即可得到答案.
【小问1详解】
解∶ 长方体盒子的底面积
;
【小问2详解】
解∶长方体盒子的体积
.
20. 甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下:
甲:8,8,7,8,9
乙:5,9,7,10,9
(1)请求出下表中a,b,c的值
(2)如果乙再射击1次,命中8环,那么乙的射击成绩的方差 .(填“变大”、“变小”或“不变”)
【答案】(1)8,8,9
(2)变小
【解析】
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义,熟练掌握方差的计算方法是解答本题的关键.
(1)根据众数、中位数和方差的定义求解;
(2)根据方差公式求出新的方差即可解答.
【小问1详解】
解∶ ∵甲8环出现的次数最多,
∴甲的众数.
∵乙的成绩从小到大排列为:5,7,9,9,10,
∴乙的平均数
乙的中位数,
故答案为:8,8,9;
【小问2详解】
解∶ 乙的新平均数为,
乙的新方差为,
,
∴如果乙再射击1次,命中8环,那么乙的射击成绩的方差变小.
故答案为:变小.
21. 如图,在□ABCD中,点O是对角线AC、BD的交点,EF过点O且垂直于AD.
(1)求证:OE=OF;
(2)若S▱ABCD=63,OE=3.5,求AD的长.
【答案】(1)证明见解析 (2)9
【解析】
【分析】(1)先由平行四边形的性质得到AO=CO,AD∥BC,则∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC,即可证明△AOE≌△COF得到OE=OF;
(2)由(1)得OE=OF=3.5,得到EF=7,再由AD∥BC,EF⊥AD,得到EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高,即可利用平行四边形面积公式求解.
【小问1详解】
解:∵四边形ABCD是平行四边形,O是AC与BD的交点,
∴AO=CO,AD∥BC,
∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴OE=OF;
【小问2详解】
解:由(1)得OE=OF=3.5,
∴EF=7,
∵AD∥BC,EF⊥AD,
∴EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高,
∵四边形ABCD的面积为63,
∴,
∴AD=9.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质,全等三角形的性质与判定,熟知相关知识是解题的关键.
22. 已知关于的方程
(1)求证:无论取任何实数,该方程总有实数根;
(2)若等腰三角形的三边长分别为,其中,并且恰好是此方程的两个实数根,求此三角形的周长.
【答案】(1)见解析 (2)7
【解析】
【分析】此题考查了根与系数的关系,根的判别式,三角形三边关系,以及等腰三角形的性质,熟练掌握各自的性质是解本题的关键.
(1)表示出方程根的判别式,判断其值大于等于0即可得证;
(2)分两种情况考虑:当时,求出方程的解,进而得到三角形周长;当或时,把代入方程求出k的值,进而求出周长即可.
【小问1详解】
证明:∵,
无论取任何实数,方程总有实数根;
【小问2详解】
解:当时,,方程为,
解得:,
此时三边长为,周长为;
当或时,把代入方程得:,
解得:,此时方程为:,
解得:,
此时三边长为不能组成三角形,
综上所述,的周长为
23. 某商场以每件元的价格购进一批商品,当每件商品售价为元时,每月可售出件.为了扩大销售,商场决定采取适当降价的方式促销,经调查发现,如果每件商品降价元,那么商场每月就可以多售出件.
(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元?
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价多少元?
(3)该商场月份销售量为件,月和月的月平均增长率为,若前三个月的总销量为件,求该季度的总利润.
【答案】(1)元
(2)元
(3)元
【解析】
【分析】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用,列一元二次方程解实际问题的运用,解答时根据销售问题的数量关系建列方程是关键.
(1)先求出每件的利润,再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润;
(2)设要使商场每月销售这种商品的利润达到元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价元,由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可.
(3)列出方程判断其根的判别式即可得到其利润能否达到元.
【小问1详解】
解:由题意,得
元.
答:降价前商场每月销售该商品的利润是元;
【小问2详解】
解:设每件商品应降价元,由题意,得,
化简为
解得,
∵要更有利于减少库存,
∴
答:要使商场每月销售这种商品的利润达到元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价元
【小问3详解】
解:由题意,得
化简为
解得(舍)
∴月件,每件利润元;月件,每件利润元;月件,每件利润元
∴总利润为元.
24. 如图,平行四边形ABCD中∠A=60°,AB=6cm,AD=3cm,点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动,同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动,当一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设运动的时间为t(s).
(1)求平行四边形ABCD的面积;
(2)求当t=2s时,求△AEF的面积;
(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时,求t的值.
【答案】(1)9cm²;
(2)cm²;
(3)t的值为4或
【解析】
【分析】(1)过点B作BG⊥CD于点G,由直角三角形的性质得出平行四边形的高,再按底乘以高,即可得解;
(2)过点F作FH⊥AE于点H,分别计算出t=2s时,AE,AF和FH的长,则按三角形面积公式计算即可;
(3)分点E在线段AB上,点F在线段AD上和点E在线段BC上,点F在线段CD上,两种情况计算即可.
【小问1详解】
平行四边形ABCD中,
∵∠A=60°,AB=6cm,AD=3cm,
∴CD=AB=6cm,BC=AD=3cm,
如图,过点B作BG⊥CD于点G,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠A=∠C=60°,
∴∠CBG=30°,
∴CG=BC=cm,
∴BG==(cm),
∴平行四边形ABCD的面积为:CD×BG=6×=9(cm2).
答:平行四边形ABCD的面积为9cm2;
【小问2详解】
当t=2s时,
AE=2×1=2cm,AF=2×1=2cm,
∵∠A=60°,
∴△AEF是等边三角形,
如图,过点F作FH⊥AE于点H,
∴FH=AF=(cm),
∴△AEF的面积为:×AE×FH=×2×=(cm2),
答:当t=2s时,△AEF的面积为cm2;
【小问3详解】
∵由(1)知平行四边形ABCD的面积为9cm2.
∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的时,
△AEF面积为:9×=3(cm2),
当点E在线段AB上运动t秒时,点F在AD上运动t秒,AE=tcm,AF=tcm,高为AF=t(cm),
∴ ×t×t=3,
∴t=﹣2(舍)或t=2,
∴t=2>3,不符合题意;
当点E线段AB.上运动秒时,点F在CD上运动t秒,( 3
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