重庆市第七中学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 轴上B. 轴上C. 第二象限D. 第三象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特征，根据在x轴上的点的纵坐标为0解答即可．
【详解】解：∵点的横坐标不等于0，纵坐标为0，
∴点x轴上．
故选：A．
2. 在中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本师考查平行四边形性质，根据平行四边形性质对角相等，求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
故选：A．
3. 如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，矩形的四个角都是直角，对边平行且相等，对角线互相平分且相等，根据矩形的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴A、B、C说法正确，不符合题意，
根据现有条件无法证明，
∴D说法错误，
故选D．
4. 关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质；由一次函数性质得，，，求解即可．
【详解】解：∵y随x的增大而增大，
∴．
∴．
∵图象与y轴的交点在原点下方，
∴．
∴．
∴．
故选：C．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 平行四边形是轴对称图形
B. 平行四边形的对角线互相垂直平分
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形的性质与判定，根据平行四边形的性质可判断A，B，根据平行四边形的判定可判断C，D，从而可得答案．
【详解】解：平行四边形是中心对称图形，原描述错误，故A不符合题意；
平行四边形的对角线互相平分，原描述错误，故B不符合题意；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，原描述错误，故C不符合题意；
有两组对角相等的四边形是平行四边形，描述正确，故D符合题意；
故选D．
6. 按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是，若输入的值是6，则输出的值是（ ）
A. 16B. 17C. 18D. 19
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查代数式求值与程序流程图，先代入，求得b的值，再输入计算即可．
【详解】解：若输入的值是，则输出的值是，
∵
∴，
解得：，
若输入的值是6，
∵，
∴，
故选：B．
7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
根据，可得反比例函数图象和增减性，即可进行比较．
【详解】解：∵，
∴反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，y随着x增大而减小，
根据A，B，C点横坐标，可知点A在第三象限，B，C在第一象限，
∵
∴
故选：D．
8. 如图，在菱形中，M，N分别在，且，与
交于点O，，则∠OBC的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
9. ，两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：km）与时间（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（ ）
A. 乙比甲提前出发1hB. 甲行驶的速度为40km/h
C. 3h时，甲、乙两人相距80kmD. 0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：A、根据图象可得乙比甲提前出发1h，故选项A说法正确，不符合题意；
B、甲行驶的速度为20÷（1.5-1）=40km/h，故选项B说法正确，不符合题意；
C、乙行驶的速度为
∴3h时，甲、乙两人相距，故选项C说法错误，符合题意；
D、；

∴0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km，
∴选项D说法正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答
10. 若关于x的函数y，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”，则下列结论：
①对于函数，当时，函数y的“共同体函数”h的值为；
②函数，b为常数）的“共同体函数”h的解析式为；
③函数的“共同体函数”h的最大值为．其中结论正确的个数有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】根据定义分别求解并判断即可得到答案．
【详解】解：①当时，，
∴函数的最大值为，最小值为，
∴，故该项正确；
②当时，函数，
有最大值，有最小值，
∴；
当时，函数在范围内，
有最大值，有最小值，
∴，
∴，故②正确；
③∵，
∴在范围内，y随x的增大而减小，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴函数y的“共同体函数”h的最大值为，故该项正确，
故选D．
【点睛】此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，根据定义结合所学的一次函数，反比例函数，二次函数的图象及性质综合解题，分类讨论是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11. 在函数中，自变量x的取值范围是 ____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查自变量得取值范围的知识点，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式，解得答案．
【详解】根据题意得，
解得：；
故答案为：．
12. 将直线向上平移3个单位长度后得到的直线解析式为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】直接根据平移的规律求解即可．
【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，所得到的直线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象的平移规律是：①左右平移时，自变量x左加右减；②上下平移时，b的值上加下减．
13. 点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为 _____．
【答案】（-3，-5）
【解析】
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案．
【详解】解：点P（3，-5）关于y轴对称的点的坐标为（-3，-5），
故答案为：（-3，-5）．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
14. 如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，若的面积为，则的值为__．

【答案】
【解析】
【分析】根据的几何意义，结合函数图象即可求解．
【详解】解：∵PA⊥x轴于点A，的面积为，
∴
又∵点在第二象限，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
15. 如图，在平行四边形中，平分交于点，平分交于点，若，，则_____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定．根据平行线的性质和角平分线的定义证明，，说明，根据，,求出，最后求出结果即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵平分交于点E，平分交于点F，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵，,
∴，
解得：，
∴，
故答案为：3．
16. 甲、乙两车分别从两地同时相向匀速行驶，当乙车到达地后，继续保持原速向远离地的方向行驶，而甲车到达地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达地，设两车行驶的时间为，两车之间的距离为，与之间的函数关系如图所示，则两地相距________千米．
【答案】300
【解析】
【分析】当x=0时，y=300，故此可得到AB两地的距离为300，3小时后两车相遇，从而可求得两车的速度之和，然后依据5小时后两车的距离最大，可知甲车到达B地用5小时，从而可乙车的速度，设甲、乙两车出发后经过t小时同时到达C地，根据甲乙两车的路程相差300千米，列方程可求得t的值，最后根据乙的路程得到B、C之间的距离，则可得出A、C之间的距离．
【详解】解：由图象可得：当x=0时，y=300，
∴AB=300千米．
∴甲车的速度=300÷5=60千米/小时，
又∵300÷3=100千米/小时，
∴乙车的速度=100-60=40千米/小时，
设甲、乙两车出发后经过t小时同时到达C地，依题意可得
60t-40t=300，
解得t=15，
∴B，C两地的距离=40×15=600千米，
∴A，C两地的距离=600-300=300千米．
故答案为：300．
【点睛】本题以行程问题为背景，主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是根据函数图象理解题意，求得两车的速度，并根据两车行驶路程的数量关系列出方程．
17. 如图，把一张矩形纸片折叠，点与点重合，折痕为，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若厘米，则的长为______厘米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，，，，，由平角的定义可得，可证是等边三角形，可求解
【详解】解：四边形是矩形
，，
把一张矩形纸片折叠，点与点重合，
，
将沿折叠，点恰好落在上的点处，
，，，
，且
，
，
，
，
，
，，
，且
是等边三角形
．
故答案为：．
18. 若一个四位数的千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称这个四位数是“惊蛰数”，若其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是“谷雨数”．如3220是“惊蛰数”，6495是“谷雨数”，最小的“谷雨数”是______：若、分别是“惊蛰数”、“谷雨数”，且它们的个位数字均为2，、各数位上的数字之和分别记为和，若能被10整除．则当取得最大值时，的值是_____．
【答案】 ①. 2040 ②. 4342
【解析】
【分析】本题考查了对题干“谷雨数”与“惊蛰数”概念的理解，以及用代数式表示数字，根据未知数的范围推算最小值，根据题意即可得出最小的“谷雨数”；设“惊蛰数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，4，2；“谷雨数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，6，2，再结合a，b取值范围和能被10整除，即可得出a，b取值情况，分别计算不同情况下的值，再进行比较，即可解题．
【详解】解：根据题意，最小的“谷雨数”，若千位数字最小，则应为2，百位数字为0，此时十位数字最小为4，个位数字最小为0，则最小的“谷雨数”是2040；
设“惊蛰数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，4，2；
“谷雨数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，6，2，
则，
；
，
；
则，
，
，
，
能被10整除，
为整数，
即是的因数，
由题意可知，，（千位上最大的数字是9），
当取得最大值时，也就是说最大，
，
当时，；
当时，；
即当时，，，
时，最大值为；
当时，，，时，最大值为1.1；
故当时，有最大值，此时的值为：4342．
故答案为：2040，4342．
三、解答题（本大题1个小题，共8分）
19. 一个正比例函数的图象经过点．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，已知函数值求自变量．
（1）将点代入正比例函数，求出，即可得到正比例函数的解析式；
（2）将代入正比例函数，即可求出x的值．
【小问1详解】
解：正比例函数的图象经过点，
，
，
即正比例函数的解析式；
【小问2详解】
解：当时，，
∴．
四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）
20. 等腰三角形的周长为30cm.
(1)若底边长为xcm，腰长为ycm，写出y与x的关系式，并注明自变量的取值范围.
（2）若腰长为xcm，底边长为ycm，写出y与x的关系式. 并注明自变量的取值范围
【答案】（1）(0＜x＜15）;(2)y=30-2x(7.5＜x＜15）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）直接利用三角形周长公式求出y与x函数关系，进而利用三角形三边关系得出自变量的取值范围；
（2）直接利用三角形周长公式求出y与x的函数关系，进而利用三角形三边关系得出自变量的取值范围．
试题解析：
（1）∵等腰三角形的周长为30cm，底边长为xcm，腰长为ycm，
∴y与x的关系式为：x+2y=30，即y=-x+15，自变量的取值范围是：0＜x＜15；
（2）∵等腰三角形的周长为30cm，腰长为xcm，底边长为ycm，
∴y与x的关系式为：y=-2x+30，自变量的取值范围是：7.5＜x＜15．
21. 2023年前10月，陕西省新能源汽车产量已达82.9万辆，同比增长，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量（千瓦时）关于已行驶路程（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题：
（1）当时，求汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程；
（2）求当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．
【答案】（1）汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶路程为5千米
（2）当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量为30千瓦时
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用：
（1）根据图象信息蓄电池剩余电量为35千瓦时，汽车已行驶了150千米，据此计算即可；
（2）根据待定系数法求出一次函数解析式，将代入解析式计算出y值即可．
【小问1详解】
解：由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时，汽车已行驶了150千米，
1千瓦时用电量能行驶的路程为（千米）．
答：汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程为5千米．
【小问2详解】
解：设，把点，代入得：
，
解得，
∴，
当时，．
答：当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量为30千瓦时．
22. 如图，已知四边形为平行四边形，，分别平分和，交于点，，连接，．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质．
（1）根据平行四边形的性质即可求解；
（2）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明，即可得证．
【小问1详解】
解：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
∴．
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴相交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）过点作轴，求的面积．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求一次、反比函数解析式的步骤是解题关键．
（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求出点B坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）利用三角形的面积公式即可求得结论．
【小问1详解】
解：∵点双曲线上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∵在双曲线上，
∴，
则点B的坐标为，
把，代入得：
，解得；
∴一次函数解析式为：；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∴的面积为．
24. 在中，，，，动点从点出发沿着折线运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是秒，的长度是，请解答下列问题：
（1）请直接写出与的函数关系式及的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质；
（3）根据图象直接写出当时，自变量的取值范围．
【答案】（1）
（2）作图见解析，当时，y随x的增大而减小；
（3）或
【解析】
【分析】本题考查一次函数的几何应用，作函数图象，根据函数图象求自变量的取值范围等．
（1）运动路程为，结合图形即可求解；
（2）先作出函数图象，根据图象即可解答；
（3）先求出时x的值，结合图象即可作答．
【小问1详解】
解：由题意可得：当时，，
当时，，
∴；
【小问2详解】
如图所示，
当时，y随x的增大而减小；
【小问3详解】
解，令，则或，
∴当时，自变量的取值范围为：或．
25. 如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点．且经过定点，直线与交于点．
（1）求的面积；
（2）在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由：
（3）平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标（并请写出求出其中一个点的过程）．
【答案】（1）6 （2）存在，点E的坐标为
（3）存在，点Q的坐标为或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求得两直线的解析式，再求得点A和点D的坐标，根据三角形面积公式即可求解；
（2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短，先求得直线的函数解析式，即可求得点E的坐标；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等，分为平行四边形的边和平行四边形的对角线两种情况讨论，结合点坐标的平移即可求解．
【小问1详解】
∵直线与x轴交于点A，且经过定点，
∴，
解得：，
∴直线．
∵直线经过点，
∴，
∴，
把代入，得到．
∴，
对于直线，令，得到，
∴，
∴．
对于直线，令，得到，
∴，
∴．
∵，
∴；
【小问2详解】
解：在x轴上存在一点E，使的周长最短．
如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短．
根据轴对称图形的性质可知的坐标为．
设直线的函数解析式为．
将代入，得
，
解得，
∴直线的函数解析式为．
令，得到，
解得，，
∴点E的坐标为．
【小问3详解】
解：，，，
，
当为平行四边形的边时，，
∴
∴点的横坐标为：或，
点Q的坐标为或，
当为平行四边形的对角线时，，
点C向右平移2个单位，向下平移2个单位到点A，
则点D向右平移2个单位，向下平移2个单位到点Q，
∴点Q的坐标为，即；
综上，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题考查的是一次函数的交点问题，轴对称图形的性质，坐标与图形面积，平行四边形的性质等知识，第二问利用轴对称的性质找到点E的位置是解题的关键，第三问利用平行四边形的性质和点坐标的平移是解题的关键．
26. 菱形的对角线交于点．
（1）如图1，过菱形的顶点作于点，交于点，若，求四边形的面积；
（2）如图2，过菱形的顶点作，且，线段交于点，交于点．若、、三点共线，求证：；
（3）如图3，菱形中，，，点为射线上一动点，连接．将绕点逆时针旋转到，连接，直接写出线段的最小值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先证明是等边三角形，再求出、 、 、的长，利用即可求得答案；
（2）先证明和是等腰直角三角形，再证明，得到，连接，设，利用勾股定理进行证明即可；
（3）以为边向下做等边，连接，在上取一点T，使得，再证明，可得，然后根据垂线段最短可知，当时，的值最小，最后解直角三角形求出即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是菱形，
∴ ， 与互相垂直平分，
∵，
∴是等边三角形，
∴ ，，
∴ ，，
在中，由勾股定理得
∵
∴
设，则，
在中，由勾股定理得 ，
即，
解得 ，
∴，
∴，
，
，
∴四边形的面积是；
【小问2详解】
证明：∵，
∴
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，垂直平分，，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
如图4，连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，
在中，
由勾股定理得 ，
在中，
，
∵ ，
∴，则，
∴，
，
在中，
∵
∴，即；
【小问3详解】
解：如图5，以为边向下做等边，连接，在上取一点T，使得，
∴
∴
∵，，
∴
∴ ，
当时，线段有最小值，此时有最小值，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
由勾股定理得 ，
在中，，+
由勾股定理得
∴
解得，
∴ 的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形、勾股定理、等边三角形、图形的旋转、全等三角形、菱形等知识点，难度较大，解题的关键在于作出正确的辅助线．