人教A版（2019）高中数学必修一讲义02常用逻辑用语

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常用逻辑用语”命题”这个词在新闻报道中经常可以见到．例如：“从最直接的生态保护方式之一植树造林，到多种更具创新性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保‘新命题’．”（2017年12月21日《中国青年报》）我们在数学中也经常接触到”命题“这两个字，你知道新闻报道中的”命题”与数学中的”命题”有什么区别吗?新闻报道中的”命题”往往是”命制的题目”的简写，常常指的是待研究的问题或需要完成的任务等．需要注意的是，一般来说，数学中的”命题”与新闻报道中的”命题”不一样．我们在初中的时候就已经学习过数学中的命题，知道类似”对顶角相等”这样的可供真假判断的陈述语句就是命题，而且，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．数学中的命题，还经常借助符号和式子来表达．例如，命题“9的算术平方根是3”可表示为 ．1. 命题一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题．其中判断为真的语句称为 ，判断为假的语句称为 ．中学数学中的许多命题可以写成“若 ，则 ”（或“如果 ，那么 ”）的形式．其中 称为命题的条件， 称为命题的结论．后面我们主要讨论这种形式的命题．经典例题1. 判断下列语句是否是命题；如果是命题，写出其真假．（ 1 ）实数是有理数．（ 2 ）如果一个数是有理数，则这个数的平方也是有理数．（ 3 ）苏必利尔湖位于美国和加拿大交界处，是世界上海拔最高的淡水湖．（ 4 ）过直线外一点作直线的平行线．（ 5 ）三国演义中的张松很帅气.2. 下列命题是真命题的为（ ）．A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则巩固练习3. 下列语句不是命题的有（ ）．① ；②与一条直线相交的两直线平行吗？③ ；④ ．A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④4. 能够说明“设 是任意实数．若 ，则 ”是假命题的一组整数 的值依次为 ．2. 充分条件与必要条件下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若 ，则 ；（4）若平面内两条直线 和 均垂直于直线 ，则 ．一般地，“若 ，则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得出 ．这时我们就说，由 可以推出 ，记作 ，此时称 是 的 ， 是 的 ．如果“若 ，则 ”为假命题，那么由条件 不能推出结论 ，此时称 不是 的充分条件， 不是 的必要条件．将命题"若 ，则 "中的条件 和结论 互换，就得到一个新的命题“若 ，则 ”，称这个命题为原命题的逆命题．如果“若 ，则 ”和它的逆命题“若 ，则 ”均为真命题，即既有 ，又有 ，则记作，此时 既是 的充分条件，也是 的必要条件，我们说 是 的 ，简称为．显然，如果 是 的充要条件，那么 也是 的充要条件．概括地说，如果 ．那么 与 互为充要条件．类似的，如果 是 的充分不必要（必要不充分）条件，那么 就是 的必要不充分（充分不必要）条件．注意：对于某一命题，要首先明确谁是条件、谁是结论，对于条件才能判断其充分、必要性！用集合间的关系描述充分性和必要性设 { 满足条件 }， { 满足条件 }．若 ，则 是 的 ；若 ，则 是 的 ；若 ，则称 是 的 ．若 ，则称 是 的 ．若 且 ，则称 是 的 ．若 ，则称 是 的 ．经典例题5. 已知集合 ，则“ ”是“ ”的（ ）．A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）．A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 有限集合 中元素的个数记作 ，设 ， 都为有限集合，给出下列命题：① 的充要条件是 ；② 的必要条件是 ；③ 的充分条件是 ；④ 的充要条件是 ；其中真命题的序号是（ ） ．A. ③④ B. ①② C. ①④ D. ②③8. 已知集合 ， ，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．巩固练习9. 王昌龄的《从军行》中有两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）．A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件10. 关于 的方程 至少有一个负实根的充要条件是（ ）．A. B.C. D. 或11. 三个逻辑学家走进酒吧，侍者问：“每个人都要来一杯啤酒吗？”第一个逻辑学家说：“我不知道．”第二个说：“我也不知道．”第三个说：“是的！”请问第三个人为什么知道每个人都要一杯啤酒?12. 已知 ，求证： 成立的充要条件是 ．3. 量词我们知道，命题是可以判断真假的陈述句．在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们称为一个命题，我们把这样的短语称为量词．下面我们将介绍全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定．1. 全称量词（ ）概念：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．（ ）全称量词命题的符号记法：将含有 变量的语句用 ， ， ， 表示，变量 的取值范围用 表示．那么，全称量词命题“对 中任意一个 ，有 成立．”可用符号简记为： ， ，读作“对任意 属于 ， 成立”．2. 存在量词（ ）概念：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．（ ）存在量词命题的符号记法：“存在 中的一个 ，使 成立”可用符号简记为 ， ，读作“存在一个 属于 ，使 成立”．3. 命题的否定你能说出命题 ：” 的相反数是 “和命题 ：” 的相反数不是 ”这两个命题之间的关系吗?它们的真假性如何?可以发现，命题 是对命 的否定，命题 也是对命题 的否定．而且， 是真命题， 是假命题．一般地，对命题ρ加以否定，就得到一个新的命题，记作” ”，读作”非 ”或” 的否定”．如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然．4. 全称量词命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题： ， ，它的否定： ， ．全称量词命题的否定是存在量词命题．5. 存在量词命题的否定一般地，对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题： ， ，它的否定： ， ．存在量词命题的否定是全称量词命题．经典例题13. 用量词符号“ ， ”表示下列命题，并判断下列命题的真假．（ 1 ）存在一对实数 ， ，使（ 2 ）有理数 的平方仍为有理数．成立．14. 命题“ ， ”的否定是（ ）．A. B. C. D.，，，，15. 命题“ ， ”的否定是 ．16. 已知命题 ， ．若命题 是假命题，则实数 的取值范围是（ ）．A. B.C. D.17. 已知 ， ， ， ，若命题 是真命题，且命题是真命题，则实数 的取值范围是（ ）．A. B. C. D.巩固练习18. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．（ 1 ） 是无理数 ， 是无理数．（ 2 ）对任意实数 ，有 成立．（ 3 ）有一个实数乘以任意一个实数都等于 ．19. 写出下列命题的否定，并判断其真假.（ ） ： ， 不是 的根；（ ） ：有些质数是奇数；（ ） ： ， ；20. 已知命题 ：A. ，使得B. ，都有C. ，都有，都有，则 为（ ）．D. ，使得21. 已知 ： ， ， ： ， ，若 都为假命题，则实数 的取值范围为（ ）．A. B.C. 或 D.22. 已知 ，命题 ： ， ，命题 ： ， ．（ 1 ）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；（ 2 ）若命题“ ”命题“ ”一真一假，求实数 的取值范围．23. 命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）．A. B. C. D.导图总结你学会了吗？快用思维导图来总结本节课所学吧！24. 已知命题 ：对任意实数 都有恒成立；命题 ：关于 的方程有实数根；如果 与 中有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围．25. 已知命题 ， ，则（ ）．A. B. C. D.命题命题命题命题，，，，，为假命题，为真命题，为假命题，为真命题26. 含一个量词的命题“A. ，使得B. ，使得C. ，D. ，，使得”的否定是（ ）．67