2024年中考数学二轮复习压轴题培优练习专题33圆与新定义综合问题（2份打包，原卷版+教师版）

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【例1】（2022•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．
（1）已知点A（1，2），求点A的“关联三角形”的面积；
（2）如图，已知点B（m，m），⊙T的圆心为T（2，2），半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为r，OP＝2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．
【例2】2022•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB＝1，且A，B两点中至少有一点在⊙O外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段A′B′（A′，B′分别为点A，B的对应点），若线段A′B′上所有的点都在⊙O的内部或⊙O上，则线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图1，点A1，B1的坐标分别为（﹣3，0），（﹣2，0），线段A1B1到⊙O的“平移距离”为 ，点A2，B2的坐标分别为（﹣，），（，），线段A2B2到⊙O的“平移距离”为 ；
（2）若点A，B都在直线y＝x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；
（3）如图2，若点A坐标为（1，），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．
【例3】（2022•开福区校级一模）我们不妨定义：有两边之比为1：的三角形叫敬“勤业三角形”．
（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是 ；（填序号）
①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．
（2）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AC为直径，D为AB上一点，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交线段OA于点F，交⊙O于点E，连接BE交AC于点G．试判断△AED和△ABE是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出的值；如果不是，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，当AF：FG＝2：3时，求∠BED的余弦值．
【例4】（2022•清苑区二模）【问题提出】
如图1，⊙O与直线a相离，过圆心O作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙O于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙O关于直线a的“远点”，把PQ•PH的值称为⊙O关于直线a的“远望数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），过点E画垂直于y轴的直线m，则半径为1的⊙O关于直线m的“远点”坐标是 ，直线m向下平移 个单位长度后与⊙O相切．
（2）在（1）的条件下求⊙O关于直线m的“远望数”．
【拓展应用】
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（6，0），与y轴交于点N，点F坐标为（1，2），以F为圆心，OF为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，O是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“远望数”是12，求直线l的函数表达式．
一．解答题（共20题）
1．（2022•长沙县校级三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如：如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，△ABD与△ABC相似，那么称△ABC为关于边BC的“优美三角形”．
（1）如图2，在△ABC中，BC＝AB，求证：△ABC为关于边BC的“优美三角形”；
（2）如图3，已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，点D是△ABC边BC的中点，以BD为直径的⊙O恰好经过点A．
①求证：直线CA与⊙O相切；
②若⊙O的直径为2，求线段AB的长；
（3）已知三角形ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面积．
2．（2022•西城区校级模拟）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x1≠x2．若存在一个正数k，使点P，Q的坐标满足|y1﹣y2|＝k|x1﹣x2|，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，记作k（P，Q）．由定义可知，k（P，Q）＝k（Q，P）．
例：若P（1，0），Q（3，），有|0﹣|＝|1﹣3|，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”为．
已知点A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2，）．
（1）在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”： ，它们的“限斜系数”为 ；
（2）若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E的坐标；
（3）⊙O半径为3，点M为⊙O上一点，满足MT＝1的所有点T，都与点C是一对“限斜点”，且都满足k（T，C）≥1，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
3．（2022•常州一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“图距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．
（1）d（点O，△ABC）；
（2）线段L是直线y＝x（﹣2≤x≤2）上的一部分，若d（L，△ABC）＝1，且L的长度最长时，求线段L两个端点的横坐标；
（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围．
4．（2022•秦淮区二模）【概念认识】
与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．
【初步理解】
（1）如图①～③，四边形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都与边AD相切，⊙O2与边AB相切，⊙O1和⊙O3都经过点B，⊙O3经过点D，3个圆都经过点C．在这3个圆中，是矩形ABCD的第Ⅰ类圆的是 ，是矩形ABCD的第Ⅱ类圆的是 ．
【计算求解】
（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．
【深入研究】
（3）如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）
①作它的1个第Ⅰ类圆；
②作它的1个第Ⅱ类圆．
5．（2022•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B为⊙O上任意一点．给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p＝0），最大值为q，那么把的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，⊙O）．
（1）如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数．
①d（D，⊙O）＝ ；
②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；
（2）若点N在直线y＝上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；
（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为，直接写出m的最小值和最大值．
6．（2022•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，已知点A，过点A作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与⊙O有两个交点时，则称MN是⊙O的“双关联直线”，与⊙O有一个交点P时，则称MN是⊙O的“单关联直线”，AP是⊙O的“单关联线段”．
（1）如图1，A（0，4），当MN与y轴重合时，设MN与⊙O交于C，D两点．则MN是⊙O的“ 关联直线”（填“双”或“单”）；的值为 ；
（2）如图2，点A为直线y＝﹣3x+4上一动点，AP是⊙O的“单关联线段”．
①求OA的最小值；
②直接写出△APO面积的最小值．
7．（2022•宁波模拟）定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边．
（1）如图1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，点O在AC边上，以OC为半径的⊙O恰好经过点B，求证：⊙O是△ABC的切圆．
（2）如图2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圆，且另外两条边都是⊙O的切边，求⊙O的半径．
（3）如图3，△ABC中，以AB为直径的⊙O恰好是△ABC的切圆，AC是⊙O的切边，⊙O与BC交于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的长．
8．（2022•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．
（1）如图1，⊙O的半径为1，当k＝1，b＝1时，直接写出直线l关于⊙O的“圆截距”；
（2）点M的坐标为（1，0），
①如图2，若⊙M的半径为1，当b＝1时，直线l关于⊙M的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值2，直接写出b的值．
9．（2022•鄞州区校级一模）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．
（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是 （填序号）；
①矩形 ②菱形 ③正方形
（2）如图，四边形ABCD内接于圆，P为圆内一点，∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，求证：四边形ABCD为“婆氏四边形”；
（3）在（2）的条件下，BD＝4，且AB＝DC．
①当DC＝2时，求AC的长度；
②当DC的长度最小时，请直接写出tan∠ADP的值．
10．（2022•城关区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段AB的“完美点”．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是 ，⊙C的半径是 ；
②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；
（2）若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为 ．
11．（2021•常州一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是，A，B为⊙O外两点，AB＝2．给出如下定义：平移线段AB，使平移后的线段A′B′成为⊙O的弦（点A′，B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值成为线段AB到⊙O的“优距离”．
（1）如图1，⊙O中的弦P1P2、P3P4是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系是 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 的线段长度等于线段AB到⊙O的“优距离”；
（2）若点A（0，7），B（2，5），线段AA′的长度是线段AB到⊙O的“优距离”，则点A′的坐标为 ；
（3）如图2，若A，B是直线y＝﹣x+6上两个动点，记线段AB到⊙O的“优距离”为d，则d的最小值是 ；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字母．
12．（2022秋•姜堰区期中）如图1，在平面内，过⊙T外一点P画它的两条切线，切点分别为M、N，若∠MPN≥90°，则称点P为⊙T的“限角点”．
（1）在平面直角坐标系xOy中，当⊙O半径为1时，在①P1（1，0），②，③P3（﹣1，﹣1），④P4（2，﹣1）中，⊙O的“限角点”是 ；（填写序号）
（2）如图2，⊙A的半径为，圆心为（0，2），直线l：y＝﹣x+b交坐标轴于点B、C，若直线l上有且只有一个⊙O的“限角点”，求b的值．
（3）如图3，E（2，3）、F（1，2）、G（3，2），⊙D的半径为，圆心D从原点O出发，以个单位/s的速度沿直线l：y＝x向上运动，若△EFG三边上存在⊙D的“限角点”，请直接写出运动的时间t（s）的取值范围．
13．（2022秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转90°，得到点P'，点P'关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图1，若点M在坐标原点，点N（1，1），①点P（﹣2，0）的“对应点”Q的坐标为 ；②若点P的“对应点”Q的坐标为（﹣1，3），则点P的坐标为 ；
（2）如图2，已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N（0，2），若P（m，0）（m＞1）为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．①当点M（a，b）在第一象限时，求点Q的坐标（用含a，b，m的式子表示）；②当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积为 .（用含m的式子表示）
14．（2022秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为2，对于点P，直线l和⊙O，给出如下定义：
若点P关于直线l对称的点在⊙O上或⊙O的内部，则称点P为⊙O关于l的反射点．
（1）已知直线l为x＝3，
①在点P1（4，0），P2（4，1），P3（5，1）中，是⊙O关于l的反射点有 ；
②若点P为x轴上的动点，且点P为⊙O关于l的反射点，则点P的横坐标的最大值为 ．
（2）已知直线l的解析式为y＝kx+2（k≠0），
①当k＝﹣1时，若点P为直线x＝上的动点，且点P为⊙O关于l的反射点，则点P的纵坐标t的取值范围是 ；
②点B（2，2），C（，1），若线段BC的任意一点都为⊙O关于l的反射点，则k的取值范围是 ．
15．（2022•钟楼区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间
的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．
已知点E（3，0）．
①直接写出d（点E）的值；
②过点E画直线y＝kx﹣3k与y轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；
③设T是直线y＝﹣x+3上的一点，以T为圆心，长为半径作⊙T．若d（⊙T）满足d（⊙T）＞+，直接写出圆心T的横坐标x的取值范围．
16．（2021秋•慈溪市期中）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中的“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪．
（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC．①证明：圆中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求证：AD+CD＝BD．
（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果．
17．（2021秋•润州区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′＝2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．
（1）当⊙O的半径为1时，
①分别判断点M（3，1），N（，0），T（﹣1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，直接求其坐标；
②将⊙O沿x轴水平向右平移1个单位为⊙O′，点P在直线y＝﹣x+1上，若点P关于⊙O′的反称点P′存在，且点P′不在坐标轴上，则点P的横坐标的取值范围 ；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y＝﹣x+12与x轴，y轴分别交于点A、B，点E与点D分别在点A与点B的右侧2个单位，线段AE、线段BD都是水平的，若四边形ABDE四边上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
18．（2021•建邺区二模）【概念学习】
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，若⊙O平移d个单位后，使某图形上所有点在⊙O内或⊙O上，则称d的最小值为⊙O对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，A（3，0），B（4，0），则⊙O对线段AB的“最近覆盖距离”为3．
【概念理解】
（1）⊙O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为 ．
（2）如图②，点P是函数y＝2x+4图象上一点，且⊙O对点P的“最近覆盖距离”为3，则点P的坐标为 ．
【拓展应用】
（3）如图③，若一次函数y＝kx+4的图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，求k的取值范围．
（4）D（3，m）、E（4，m+1），且﹣4＜m＜2，将⊙O对线段DE的“最近覆盖距离”记为d，则d的取值范围是 ．
19．（2022•东城区校级开学）对于⊙C和⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且1≤≤2，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．
已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（﹣1，0）．
（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标 ；
（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足∠BAO＝30°，求点B的纵坐标t的取值范围；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是 ．
20．（2022•东城区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）＝0，如图，点A（﹣2，0），B（0，2）．
（1）如果⊙O的半径为2，那么d（A，⊙O）＝ ，d（B，⊙O）＝ ；
（2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）＞0，求r的取值范围；
（3）如果C（0，m）是y轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）＜1，直接写出m的取值范围为 ．