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高中人教版 (2019)2 万有引力定律学案设计
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这是一份高中人教版 (2019)2 万有引力定律学案设计，共22页。
2．通过月—地检验等将太阳与行星间的引力推广为万有引力定律，理解万有引力定律的内容、含义及适用条件。
3．认识引力常量测量的重要意义，能应用万有引力定律解决实际问题。
行星与太阳间的引力 月—地检验
1．行星与太阳间的引力
(1)模型简化：行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动，受到一个指向圆心(太阳)的引力，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。
(2)太阳对行星的引力：F＝mv2r＝m2πrT2·1r＝4π2mrT2，结合开普勒第三定律得F＝4π2kmr2∝mr2。
(3)行星对太阳的引力：根据牛顿第三定律，力的作用是相互的，行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结果，即F′∝m太r2。
(4)太阳与行星间的引力：由于F∝mr2、F′∝m太r2，且F＝F′，则有F∝m太mr2，写成等式F＝Gm太mr2，式中G为比例系数，与太阳、行星都没有关系。
(5)太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。
2．月—地检验
(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，表达式应该满足F＝Gm月m地r2。月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝Fm月＝Gm地r2(式中m地为地球质量，r为地球中心与月球中心的距离)。
(2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，苹果的自由落体加速度a苹＝Fm苹＝Gm地R2(式中m地为地球质量，R是地球中心与苹果间的距离)。
(3)分析：由以上两式可得a月a苹＝R2r2。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以a月a苹＝1602。
(4)结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。
如图所示，是行星绕太阳所做的匀速圆周运动与我们平常生活中见到的匀速圆周运动
【问题】
(1)行星的圆周运动和一般物体的圆周运动是否符合同样的动力学规律？
(2)行星做匀速圆周运动向心力由谁提供？
(3)行星的质量远小于太阳的质量，行星对太阳的作用力远小于太阳对行星的作用力吗？
提示：(1)行星所做的匀速圆周运动与平常我们见到的一般物体的匀速圆周运动符合同样的动力学规律。
(2)行星受到太阳的吸引力，此力提供行星绕太阳运转的向心力。
(3)不是。二者是作用力与反作用力，大小相等。
1．两个理想化模型
(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。
(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。
2．推导过程
(1)太阳对行星的引力
(2)太阳与行星间的引力
【典例1】 1665年，牛顿研究“是什么力量使得行星围绕太阳运转”的问题。若把质量为m的行星围绕太阳的运动近似看作匀速圆周运动，运用开普勒第三定律T2＝r3k，则可推得( )
A．行星受太阳的引力为F＝kmr2
B．行星受太阳的引力都相同
C．行星受太阳的引力F＝4π2kmr2
D．质量越大的行星受太阳的引力一定越大
C [行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供向心力，可得F＝4π2T2mr，结合开普勒第三定律T2＝r3k，可得F＝4π2kmr2，故A错误，C正确；由F＝4π2kmr2可知引力F与距离r、行星的质量m都有关，行星受太阳的引力不都相同，则质量越大的行星受太阳的引力不一定越大，故B、D错误。]
太阳与行星间的引力的两点注意
(1)太阳与行星间的引力大小与三个因素有关：太阳质量、行星质量、太阳与行星间的距离。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。
(2)太阳与行星间的引力是相互的，遵守牛顿第三定律。
[跟进训练]
1．(多选)在书中我们了解了牛顿发现万有引力定律的伟大过程。过程1：牛顿首先证明了行星受到的引力F∝mr2、太阳受到的引力F∝Mr2，然后得到了F＝GMmr2，其中M为太阳质量，m为行星质量，r为行星与太阳的距离；过程2：牛顿通过苹果和月球的加速度比例关系，证明了地球对苹果、地球对月球的引力具有相同性质，从而得到了F＝GMmr2的普适性。那么( )
A．过程1中证明F∝mr2，需要用到圆周运动规律F＝mv2r或F＝m4π2T2r
B．过程1中证明F∝mr2，需要用到开普勒第三定律r3T2＝k
C．过程2中牛顿的推证过程需要用到“月球自转周期”这个物理量
D．过程2中牛顿的推证过程需要用到“地球半径”这个物理量
ABD [行星绕太阳做圆周运动，可知太阳对行星的引力提供了向心力，即F＝mv2r，又有v＝2πrT，可得F＝4π2mrT2，由开普勒第三定律r3T2＝k，变形可得T2＝r3k，代入可得F＝4π2kmr2，从而证明F∝mr2，故A、B正确；假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝Gm地m月r2，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝Fm月＝Gm地r2(式中m地是地球的质量，r是地球中心与月球中心的距离)，假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝Fm苹＝Gm地R2(式中m地是地球质量，R是地球中心与苹果间距离)，由以上两式可得a月a苹＝R2r2，由于月球中心与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以a月a地＝1602，从而得到F＝GMmr2的普适性，在推理中无须用到“月球自转周期”这个物理量，故C错误，D正确。]
万有引力定律 引力常量
1．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
(2)表达式：F＝Gm1m2r2。
2．引力常量
(1)测量者：卡文迪什。
(2)数值：G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
如图所示，太阳系中的行星围绕太阳做匀速圆周运动，万有引力F＝Gm1m2r2提供向心力。
【问题】
(1)公式F＝Gm1m2r2中r的含义是什么？
(2)任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F＝Gm1m2r2计算出来吗？为什么？
(3)万有引力定律指出，任何物体间都存在引力，为什么我们身边的人或物没有吸引在一起呢？
提示：(1)r指的是两个质点间的距离。
(2)不能。万有引力定律的表达式F＝Gm1m2r2只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之间或者质点和质量分布均匀的球体之间万有引力的计算，对于形状不规则、质量分布不均匀的物体，r不易确定。
(3)任何物体间都存在引力，只是我们身边的人或物的质量比起天体的质量小得多，所以我们身边的人或物之间的万有引力相较于自身受到的摩擦力小得多，故不可能吸在一起。
1．对万有引力定律表达式F＝Gm1m2r2的说明
(1)引力常量G：G＝6.67×10-11 N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg 的质点相距1 m时的相互吸引力。
(2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。
2．F＝Gm1m2r2的适用条件
(1)万有引力定律公式适用于计算质点间的相互作用力，当两个物体间的距离比物体本身的尺度大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。
3．万有引力的四个特性
对万有引力定律的理解
【典例2】 (多选)下列说法正确的是( )
A．万有引力定律F＝Gm1m2r2适用于两质点间的作用力计算
B．根据F＝Gm1m2r2，当r→0时，物体m1、m2间引力F趋于无穷大
C．把质量为m的小球放在质量为M、半径为R的大球球心处，则大球与小球间万有引力F＝GMmR2
D．两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F＝Gm1m2r2计算，r是两球体球心间的距离
AD [万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量分布在球心，然后计算他们间的万有引力，故A、D正确；当r→0时，两物体不能视为质点，万有引力公式不再适用，B错误；若大小球质量分布均匀，则大球M对处于球心的小球m引力的合力为零，故C错误。]
万有引力的计算【典例3】 如图所示，两质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为(引力常量为G)( )
A．Gm1m2R12 B．Gm1m2R1+R2+R2
C．Gm1m2R1+R22 D．Gm1m2R22
B [对于质量分布均匀的两小球来说，计算二者间的万有引力时，r取两球心间的距离，两球间的万有引力大小F＝Gm1m2R1+R2+R2，故B正确。]
[跟进训练]
2．(多选)下列关于万有引力定律的说法正确的有( )
A．万有引力定律是开普勒发现的
B．万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用
C．F＝Gm1m2r2中的G是由卡文迪什测定的一个比例常数，没有单位
D．F＝Gm1m2r2中的r可以是两个质量分布均匀的球体球心间的距离
BD [万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，故A错误；万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用，故B正确；F＝Gm1m2r2中的G是一个比例常数，单位为N·m2/kg2，故C错误；F＝Gm1m2r2中的r可以是两个质量分布均匀的球体球心间的距离，故D正确。]
3．2022年8月4日，我国成功发射首颗陆地生态系统碳监测卫星句芒号。在卫星从发射到进入预定轨道的过程中，卫星所受地球引力大小F随它距地面的高度h变化的关系图像可能正确的是( )
A B C D
B [设地球的质量为M、半径为R，卫星的质量为m，则卫星所受万有引力大小F＝GMmh+R2，h增大，F减小，但不是线性减小，故B正确。]
万有引力与重力的关系
假如某个人做环球旅行，可能到达地球的任何地点，如果将地球看成标准的球体，那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点等不同地点。
【问题】
(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系？
(2)该人在各地点所受的重力有什么关系？
(3)重力就是地球对物体的万有引力吗？
(4)在什么情况下，可以认为重力的大小等于万有引力？
提示：(1)在各地点所受的万有引力大小相等，方向沿对应点的地球半径指向地心。
(2)由于地球自转的影响，该人在各地点所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心。
(3)不是。重力是地球对物体万有引力的一个分力。
(4)在地球表面附近，不考虑物体随地球自转，可以认为重力的大小等于万有引力。
1．万有引力是合力：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，则由万有引力公式得F＝GMmR2。
2．万有引力产生两个分力：除南北极外，万有引力产生两个分力，一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴；另一个分力F2是重力，产生使物体挤压地面的效果。
3．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即GMmR2＝mRω2＋mg，所以mg＝GMmR2－mRω2。
(2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝GMmR2。
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜GMmR2，重力的方向偏离地心。
4．重力、重力加速度与高度的关系
(1)地球表面物体的重力约等于物体所受到的万有引力，即mg＝GMmR2，所以地球表面的重力加速度g＝GMR2。
(2)地球上空h高度处，万有引力等于重力，即mg′＝GMmR+h2，所以h高度处的重力加速度g′＝GMR+h2。
【典例4】 假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为( )
A．2πRg-g0 B．2πRg0-g
C．2πg-g0RD．2πg0-gR
B [质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力，有mg0＝GMmR2，在赤道，引力为重力和向心力的合力，有mg＋m4π2T2R＝GMmR2，联立解得T＝2πRg0-g，B正确。]
处理万有引力与重力关系的思路
(1)若题目中不考虑地球自转的影响，不考虑重力随纬度的变化，可认为重力等于万有引力，即mg＝GMmR2。
(2)若题目中需要考虑地球自转的影响，需要考虑重力随纬度的变化，就要注意重力与万有引力的差别：两极处，mg0＝GMmR2；赤道处，mg＋Fn＝GMmR2。
[跟进训练]
4．航天员在天宫一号目标飞行器内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B．GMR+h2
C．GMmR+h2 D．GMh2
B [天宫一号飞船绕地球飞行时与地球之间的万有引力F引＝GMmR+h2，由于天宫一号飞船绕地球飞行时重力与万有引力相等，即mg＝GMmR+h2，故飞船所在处的重力加速度g＝GMR+h2，故B正确，A、C、D错误。]
5．某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为( )
A．GM10R3 B．GM11R3
C．1.1GMR3 D．GMR3
B [由万有引力定律得，物体在“赤道”处有GMmR2－mg＝mω2R，在“两极”处有GMmR2＝1.1mg，联立以上两式解得，该行星自转的角速度为ω＝GM11R3，B正确，A、C、D错误。]
1．(多选)物理学中的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量就是其中之一。1798年，卡文迪什首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。关于这段历史，下列说法正确的是( )
A．卡文迪什被称为“首个测量地球质量的人”
B．万有引力定律是牛顿和卡文迪什共同发现的
C．这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D．引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
ACD [已知地球半径R，地球表面重力加速度g，利用GMmR2＝mg得M＝gR2G，从而能称出地球的质量，卡文迪什测出了关键的引力常量G，故被称为“首个测量地球质量的人”，故A正确；万有引力定律是1687年牛顿发现的，故B错误；地面上普通物体间的引力太微小，引力常量不易测量，该实验装置通过光的反射，利用放大原理，提高了测量精度，故C、D正确。]
2．下列关于万有引力定律的说法正确的是( )
A．只有天体间才有万有引力
B．任意两个物体之间都存在万有引力
C．两质点间万有引力为F，当它们间的距离增加到2倍时，它们之间的万有引力变为2F
D．两质点间万有引力为F，当它们间的距离增加到2倍时，它们之间的万有引力变为12F
B [任意两个物体之间都存在万有引力，A错误，B正确；两质点间万有引力为F，当它们间的距离增加到2倍时，根据万有引力定律F＝Gm1m2r2，可知它们之间的万有引力变为14F，故C、D错误。]
3．在离地面高度等于地球半径的地方，重力加速度的大小是地球表面处的( )
A．4倍 B．2倍
C．12D．14
D [由mg＝GmMr2知，g＝GMr2，g0＝GMR+h2，当h＝R时，g0＝14g，D正确。]
4．用传感器测量一物体的重力时，发现在赤道测得的读数与其在北极的读数相差大约3‰。如图所示，如果认为地球是一个质量分布均匀的标准球体，下列说法正确的是( )
A．在北极处物体的向心力为万有引力的3‰
B．在北极处物体的重力为万有引力的3‰
C．在赤道处物体的向心力为万有引力的3‰
D．在赤道处物体的重力为万有引力的3‰
C [在北极处，没有向心力，重力等于万有引力，即F引＝G，A、B错误；在赤道处，F引－G′＝Fn，再结合题意知G-G'G＝3‰，在赤道处FnF引＝F引-G'F引＝G-G'G＝3‰，C正确；赤道处G'F引＝G'G＝1－G-G'G＝997‰，D错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．万有引力定律的内容是什么？
提示：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间的距离r的二次方成反比。
2．万有引力的公式是什么？其适用条件是什么？
提示：F＝Gm1m2r2。适用于质点间或均质球体间的计算。
3．引力常量是牛顿测出来的吗？
提示：不是，是卡文迪什测出的。
课时分层作业(九)
题组一 太阳与行星间引力
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝mv2r，这个关系式实际上是牛顿第二定律；是可以在实验室中得到验证的
B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝2πrT，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得来的
C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式r3T2＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到证明的
D．在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式，都是可以在实验室中得到证明的
AB [开普勒的三大定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，每一条都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，故开普勒的三大定律都是在实验室中无法验证的定律，故A、B正确。]
2．(多选)下面有关万有引力的说法正确的是( )
A．F＝Gm1m2r2中的G是引力常量，其值是牛顿通过扭秤实验测得的
B．地面附近自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的都是地球引力
C．苹果落到地面上，说明地球对苹果有引力，苹果对地球也有引力
D．万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的
BCD [G是引力常量，其值是卡文迪什通过扭秤实验测得的，故A错误；由万有引力定律可知，地面附近自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的都是地球引力，故B正确；地球吸引苹果的力与苹果吸引地球的力是相互作用力，因此地球对苹果有引力，苹果对地球也有引力，故C正确；万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，故D正确。]
3．(多选)关于太阳与行星间的引力，下列说法正确的是( )
A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大
B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在从近日点向远日点运动时所受引力变小
C．由F＝GMmr2可知G＝Fr2Mm，由此可见G与F和r2的乘积成正比，与M和m的乘积成反比
D．行星绕太阳椭圆轨道的运动可近似看成圆形轨道的运动，其向心力来源于太阳对行星的引力
BD [由F＝GMmr2，太阳对行星的引力大小与m、r有关，对同一行星，r越大，F越小，B正确；对不同行星，r越小，F不一定越大，还要由行星的质量决定，A错误；公式中G为比例系数，是一常量，与F、r、M、m均无关，C错误；通常的研究中，行星绕太阳椭圆轨道的运动可近似看成圆形轨道的运动，向心力由太阳对行星的引力提供，D正确。]
题组二 万有引力定律
4．根据万有引力定律，两个质量分别是m1和m2的物体，他们之间的距离为r时，它们之间的吸引力大小为F＝Gm1m2r2，式中G是引力常量，若用国际单位制的基本单位表示G的单位应为( )
A．kg·m·s-2 B．N·kg2·m-2
C．m3·s-2·kg-1D．m2·s-2·kg-2
C [国际单位制中质量m、距离r、力F的基本单位分别是：kg、m、kg·m·s-2，根据万有引力定律F＝Gm1m2r2，得到用国际单位制的基本单位表示G的单位为m3·s-2·kg-1，C正确。]
5．(多选)关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝Gm1m2r2计算
C．由F＝Gm1m2r2知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．引力常量G的测出，证明了万有引力定律的正确性
CD [任何有质量的物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错误；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F＝Gm1m2r2来计算，B错误；物体间的万有引力与它们之间的距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C正确；引力常量的测出，证明了万有引力定律的正确性，D正确。]
6．要使两物体间的万有引力减小到原来的14，下列办法不正确的是( )
A．使两物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的14，距离不变
C．使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变
D．使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的14
D [根据万有引力定律F＝GMmr2可知，使两物体的质量各减小一半，距离不变，则万有引力变为原来的14，A正确；使其中一个物体的质量减小到原来的14，距离不变，则万有引力变为原来的14，B正确；使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变，则万有引力变为原来的14，C正确；使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的14，则万有引力大小不变，D错误。]
题组三 万有引力和重力的关系
7．地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
A．物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B．赤道处的角速度比南纬30°的角速度大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
A [由F＝GMmR2可知，若地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，除两极外，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力，在赤道上，向心力最大，重力最小，A正确；地球各处的(除两极外)角速度均等于地球自转的角速度，B错误；地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错误；地面上物体随地球自转所需的向心力是由物体所受万有引力与地面支持力的合力提供的，D错误。]
8．(2022·重庆永川北山中学高二开学考试)2021年5月15日，我国科研团队根据祝融号火星车发回的遥感信号确认，天问一号着陆巡视器成功着陆预定区域，我国首次火星探测任务取得圆满成功。已知火星的质量和半径分别约为地球的110和12，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为( )
A．5g B．2.5g
C．0.4gD．0.2g
C [在地球表面重力等于万有引力mg＝GM地mR地2，在火星表面重力等于万有引力m′g火＝GM火m'R火2，结合题意联立可得g火＝0.4g，故C正确，A、B、D错误。]
9．月—地检验为万有引力定律的发现提供了事实依据。已知地球半径为R，地球中心与月球中心的距离r＝60R，下列说法正确的是( )
A．卡文迪什为了检验万有引力定律的正确性首次进行了月—地检验
B．月—地检验表明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是不同性质的力
C．月球由于受到地球对它的万有引力而产生的加速度与月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度相等
D．由万有引力定律可知，月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度是地面重力加速度的160
C [牛顿为了检验万有引力定律的正确性，首次进行了月—地检验，故A错误；月—地检验表明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同种性质的力，故B错误；月球由于受到地球对它的万有引力而产生的加速度与月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度相等，所以证明了万有引力的正确性，故C正确；物体在地球表面所受的重力等于其引力，则有mg＝GMmR2，月球绕地球在引力提供向心力作用下做匀速圆周运动，则有GMm60R2＝man，联立以上两式可得an∶g＝1∶3 600，故D错误。]
10．如图所示，质量分布均匀的实心球体，其质量为M，半径为R。现在将它的左侧挖去一个半径为r＝R2的球体，则挖去后它对离球体表面距离R处的质量为m的质点的引力与挖去前对质点的引力之比为( )
A．225 B．2325 C．23100 D．77100
B [根据M＝ρV＝ρ·43πR3知，挖去部分的半径是球体半径的一半，则质量是球体质量的18，所以挖去部分的质量M′＝18M，没挖之前，球体对质点m的万有引力F1＝GMm4R2，挖去的部分对m的万有引力F2＝GM'm5R22＝GMm50R2，则剩余部分对质点的引力大小F＝F1－F2＝23GMm100R2，则FF1＝2325，故B正确。]
11．火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的19。一位航天员连同航天服在地球上的质量为50 kg。(地球表面的重力加速度g取 10 m/s2)
(1)在火星上航天员所受的重力为多少？
(2)航天员在地球上可跳1.5 m高，他以相同初速度在火星上可跳多高？
[解析] (1)由mg＝GMmR2，得g＝GMR2
在地球上有g＝GMR2，在火星上有g′＝G·19M12R2
所以g′＝49g＝409 m/s2
那么航天员在火星上所受的重力
mg′＝50×409 N≈222 N。
(2)在地球上，航天员跳起的高度为h＝v022g
在火星上，航天员跳起的高度为h′＝v022g'
联立以上两式得h′＝3.375 m。
[答案] (1)222 N (2)3.375 m
12．用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，测量结果随称量位置的变化可能会有所不同。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气阻力的影响。设在地球北极称量时，弹簧测力计的读数是F0。
(1)若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值F1F0的表达式，并就h＝0.5%R的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)。
(2)若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值F2F0的表达式。
[解析] (1)在地球北极所称量物体的重力等于万有引力，有F0＝GMmR2，在北极上空高出地面h处称量，有F1＝GMmR+h2，联立解得F1F0＝RR+h2，当h＝0.5%R时，F1F0≈0.99。
(2)在赤道表面称量，有F2＝GMmR2－m4π2T2R，联立解得F2F0＝1－4π2R3GMT2。
[答案] (1)RR+h2 0.99 (2)1－4π2R3GMT2
13．如图所示，三个质量均为M的球分别位于34圆环、半圆环和完整圆环的圆心，34圆环、半圆环分别是由与丙图中相同的完整圆环截去14和一半所得，环的粗细忽略不计，若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图、丙图中环对球的万有引力大小分别为( )
A．2F，22F B．2F，0
C．32F，22FD．23F，43F
B [将甲图34圆环看成是三个14圆环的组合，关于圆心对称的两个14圆环对球的万有引力的合力为零，由题知34圆环对球的万有引力大小为F，所以14圆环对球的万有引力大小为F；将乙图半圆环看成是两个14圆环的组合，根据平行四边形定则，乙图半圆环对球的万有引力大小为2F，方向向上；将丙图完整圆环看成是4个14圆环的组合，关于圆心对称的两个14圆环对球的万有引力的合力为零，因此丙图整个圆环对球的万有引力为0，故B正确。]普遍性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性
两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
2．通过月—地检验等将太阳与行星间的引力推广为万有引力定律，理解万有引力定律的内容、含义及适用条件。
3．认识引力常量测量的重要意义，能应用万有引力定律解决实际问题。
行星与太阳间的引力 月—地检验
1．行星与太阳间的引力
(1)模型简化：行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动，受到一个指向圆心(太阳)的引力，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。
(2)太阳对行星的引力：F＝mv2r＝m2πrT2·1r＝4π2mrT2，结合开普勒第三定律得F＝4π2kmr2∝mr2。
(3)行星对太阳的引力：根据牛顿第三定律，力的作用是相互的，行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结果，即F′∝m太r2。
(4)太阳与行星间的引力：由于F∝mr2、F′∝m太r2，且F＝F′，则有F∝m太mr2，写成等式F＝Gm太mr2，式中G为比例系数，与太阳、行星都没有关系。
(5)太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。
2．月—地检验
(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，表达式应该满足F＝Gm月m地r2。月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝Fm月＝Gm地r2(式中m地为地球质量，r为地球中心与月球中心的距离)。
(2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，苹果的自由落体加速度a苹＝Fm苹＝Gm地R2(式中m地为地球质量，R是地球中心与苹果间的距离)。
(3)分析：由以上两式可得a月a苹＝R2r2。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以a月a苹＝1602。
(4)结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。
如图所示，是行星绕太阳所做的匀速圆周运动与我们平常生活中见到的匀速圆周运动
【问题】
(1)行星的圆周运动和一般物体的圆周运动是否符合同样的动力学规律？
(2)行星做匀速圆周运动向心力由谁提供？
(3)行星的质量远小于太阳的质量，行星对太阳的作用力远小于太阳对行星的作用力吗？
提示：(1)行星所做的匀速圆周运动与平常我们见到的一般物体的匀速圆周运动符合同样的动力学规律。
(2)行星受到太阳的吸引力，此力提供行星绕太阳运转的向心力。
(3)不是。二者是作用力与反作用力，大小相等。
1．两个理想化模型
(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。
(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。
2．推导过程
(1)太阳对行星的引力
(2)太阳与行星间的引力
【典例1】 1665年，牛顿研究“是什么力量使得行星围绕太阳运转”的问题。若把质量为m的行星围绕太阳的运动近似看作匀速圆周运动，运用开普勒第三定律T2＝r3k，则可推得( )
A．行星受太阳的引力为F＝kmr2
B．行星受太阳的引力都相同
C．行星受太阳的引力F＝4π2kmr2
D．质量越大的行星受太阳的引力一定越大
C [行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供向心力，可得F＝4π2T2mr，结合开普勒第三定律T2＝r3k，可得F＝4π2kmr2，故A错误，C正确；由F＝4π2kmr2可知引力F与距离r、行星的质量m都有关，行星受太阳的引力不都相同，则质量越大的行星受太阳的引力不一定越大，故B、D错误。]
太阳与行星间的引力的两点注意
(1)太阳与行星间的引力大小与三个因素有关：太阳质量、行星质量、太阳与行星间的距离。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。
(2)太阳与行星间的引力是相互的，遵守牛顿第三定律。
[跟进训练]
1．(多选)在书中我们了解了牛顿发现万有引力定律的伟大过程。过程1：牛顿首先证明了行星受到的引力F∝mr2、太阳受到的引力F∝Mr2，然后得到了F＝GMmr2，其中M为太阳质量，m为行星质量，r为行星与太阳的距离；过程2：牛顿通过苹果和月球的加速度比例关系，证明了地球对苹果、地球对月球的引力具有相同性质，从而得到了F＝GMmr2的普适性。那么( )
A．过程1中证明F∝mr2，需要用到圆周运动规律F＝mv2r或F＝m4π2T2r
B．过程1中证明F∝mr2，需要用到开普勒第三定律r3T2＝k
C．过程2中牛顿的推证过程需要用到“月球自转周期”这个物理量
D．过程2中牛顿的推证过程需要用到“地球半径”这个物理量
ABD [行星绕太阳做圆周运动，可知太阳对行星的引力提供了向心力，即F＝mv2r，又有v＝2πrT，可得F＝4π2mrT2，由开普勒第三定律r3T2＝k，变形可得T2＝r3k，代入可得F＝4π2kmr2，从而证明F∝mr2，故A、B正确；假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝Gm地m月r2，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝Fm月＝Gm地r2(式中m地是地球的质量，r是地球中心与月球中心的距离)，假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝Fm苹＝Gm地R2(式中m地是地球质量，R是地球中心与苹果间距离)，由以上两式可得a月a苹＝R2r2，由于月球中心与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以a月a地＝1602，从而得到F＝GMmr2的普适性，在推理中无须用到“月球自转周期”这个物理量，故C错误，D正确。]
万有引力定律 引力常量
1．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
(2)表达式：F＝Gm1m2r2。
2．引力常量
(1)测量者：卡文迪什。
(2)数值：G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
如图所示，太阳系中的行星围绕太阳做匀速圆周运动，万有引力F＝Gm1m2r2提供向心力。
【问题】
(1)公式F＝Gm1m2r2中r的含义是什么？
(2)任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F＝Gm1m2r2计算出来吗？为什么？
(3)万有引力定律指出，任何物体间都存在引力，为什么我们身边的人或物没有吸引在一起呢？
提示：(1)r指的是两个质点间的距离。
(2)不能。万有引力定律的表达式F＝Gm1m2r2只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之间或者质点和质量分布均匀的球体之间万有引力的计算，对于形状不规则、质量分布不均匀的物体，r不易确定。
(3)任何物体间都存在引力，只是我们身边的人或物的质量比起天体的质量小得多，所以我们身边的人或物之间的万有引力相较于自身受到的摩擦力小得多，故不可能吸在一起。
1．对万有引力定律表达式F＝Gm1m2r2的说明
(1)引力常量G：G＝6.67×10-11 N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg 的质点相距1 m时的相互吸引力。
(2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。
2．F＝Gm1m2r2的适用条件
(1)万有引力定律公式适用于计算质点间的相互作用力，当两个物体间的距离比物体本身的尺度大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。
3．万有引力的四个特性
对万有引力定律的理解
【典例2】 (多选)下列说法正确的是( )
A．万有引力定律F＝Gm1m2r2适用于两质点间的作用力计算
B．根据F＝Gm1m2r2，当r→0时，物体m1、m2间引力F趋于无穷大
C．把质量为m的小球放在质量为M、半径为R的大球球心处，则大球与小球间万有引力F＝GMmR2
D．两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F＝Gm1m2r2计算，r是两球体球心间的距离
AD [万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量分布在球心，然后计算他们间的万有引力，故A、D正确；当r→0时，两物体不能视为质点，万有引力公式不再适用，B错误；若大小球质量分布均匀，则大球M对处于球心的小球m引力的合力为零，故C错误。]
万有引力的计算【典例3】 如图所示，两质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为(引力常量为G)( )
A．Gm1m2R12 B．Gm1m2R1+R2+R2
C．Gm1m2R1+R22 D．Gm1m2R22
B [对于质量分布均匀的两小球来说，计算二者间的万有引力时，r取两球心间的距离，两球间的万有引力大小F＝Gm1m2R1+R2+R2，故B正确。]
[跟进训练]
2．(多选)下列关于万有引力定律的说法正确的有( )
A．万有引力定律是开普勒发现的
B．万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用
C．F＝Gm1m2r2中的G是由卡文迪什测定的一个比例常数，没有单位
D．F＝Gm1m2r2中的r可以是两个质量分布均匀的球体球心间的距离
BD [万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，故A错误；万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用，故B正确；F＝Gm1m2r2中的G是一个比例常数，单位为N·m2/kg2，故C错误；F＝Gm1m2r2中的r可以是两个质量分布均匀的球体球心间的距离，故D正确。]
3．2022年8月4日，我国成功发射首颗陆地生态系统碳监测卫星句芒号。在卫星从发射到进入预定轨道的过程中，卫星所受地球引力大小F随它距地面的高度h变化的关系图像可能正确的是( )
A B C D
B [设地球的质量为M、半径为R，卫星的质量为m，则卫星所受万有引力大小F＝GMmh+R2，h增大，F减小，但不是线性减小，故B正确。]
万有引力与重力的关系
假如某个人做环球旅行，可能到达地球的任何地点，如果将地球看成标准的球体，那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点等不同地点。
【问题】
(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系？
(2)该人在各地点所受的重力有什么关系？
(3)重力就是地球对物体的万有引力吗？
(4)在什么情况下，可以认为重力的大小等于万有引力？
提示：(1)在各地点所受的万有引力大小相等，方向沿对应点的地球半径指向地心。
(2)由于地球自转的影响，该人在各地点所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心。
(3)不是。重力是地球对物体万有引力的一个分力。
(4)在地球表面附近，不考虑物体随地球自转，可以认为重力的大小等于万有引力。
1．万有引力是合力：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，则由万有引力公式得F＝GMmR2。
2．万有引力产生两个分力：除南北极外，万有引力产生两个分力，一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴；另一个分力F2是重力，产生使物体挤压地面的效果。
3．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即GMmR2＝mRω2＋mg，所以mg＝GMmR2－mRω2。
(2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝GMmR2。
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜GMmR2，重力的方向偏离地心。
4．重力、重力加速度与高度的关系
(1)地球表面物体的重力约等于物体所受到的万有引力，即mg＝GMmR2，所以地球表面的重力加速度g＝GMR2。
(2)地球上空h高度处，万有引力等于重力，即mg′＝GMmR+h2，所以h高度处的重力加速度g′＝GMR+h2。
【典例4】 假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为( )
A．2πRg-g0 B．2πRg0-g
C．2πg-g0RD．2πg0-gR
B [质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力，有mg0＝GMmR2，在赤道，引力为重力和向心力的合力，有mg＋m4π2T2R＝GMmR2，联立解得T＝2πRg0-g，B正确。]
处理万有引力与重力关系的思路
(1)若题目中不考虑地球自转的影响，不考虑重力随纬度的变化，可认为重力等于万有引力，即mg＝GMmR2。
(2)若题目中需要考虑地球自转的影响，需要考虑重力随纬度的变化，就要注意重力与万有引力的差别：两极处，mg0＝GMmR2；赤道处，mg＋Fn＝GMmR2。
[跟进训练]
4．航天员在天宫一号目标飞行器内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B．GMR+h2
C．GMmR+h2 D．GMh2
B [天宫一号飞船绕地球飞行时与地球之间的万有引力F引＝GMmR+h2，由于天宫一号飞船绕地球飞行时重力与万有引力相等，即mg＝GMmR+h2，故飞船所在处的重力加速度g＝GMR+h2，故B正确，A、C、D错误。]
5．某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为( )
A．GM10R3 B．GM11R3
C．1.1GMR3 D．GMR3
B [由万有引力定律得，物体在“赤道”处有GMmR2－mg＝mω2R，在“两极”处有GMmR2＝1.1mg，联立以上两式解得，该行星自转的角速度为ω＝GM11R3，B正确，A、C、D错误。]
1．(多选)物理学中的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量就是其中之一。1798年，卡文迪什首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。关于这段历史，下列说法正确的是( )
A．卡文迪什被称为“首个测量地球质量的人”
B．万有引力定律是牛顿和卡文迪什共同发现的
C．这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D．引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
ACD [已知地球半径R，地球表面重力加速度g，利用GMmR2＝mg得M＝gR2G，从而能称出地球的质量，卡文迪什测出了关键的引力常量G，故被称为“首个测量地球质量的人”，故A正确；万有引力定律是1687年牛顿发现的，故B错误；地面上普通物体间的引力太微小，引力常量不易测量，该实验装置通过光的反射，利用放大原理，提高了测量精度，故C、D正确。]
2．下列关于万有引力定律的说法正确的是( )
A．只有天体间才有万有引力
B．任意两个物体之间都存在万有引力
C．两质点间万有引力为F，当它们间的距离增加到2倍时，它们之间的万有引力变为2F
D．两质点间万有引力为F，当它们间的距离增加到2倍时，它们之间的万有引力变为12F
B [任意两个物体之间都存在万有引力，A错误，B正确；两质点间万有引力为F，当它们间的距离增加到2倍时，根据万有引力定律F＝Gm1m2r2，可知它们之间的万有引力变为14F，故C、D错误。]
3．在离地面高度等于地球半径的地方，重力加速度的大小是地球表面处的( )
A．4倍 B．2倍
C．12D．14
D [由mg＝GmMr2知，g＝GMr2，g0＝GMR+h2，当h＝R时，g0＝14g，D正确。]
4．用传感器测量一物体的重力时，发现在赤道测得的读数与其在北极的读数相差大约3‰。如图所示，如果认为地球是一个质量分布均匀的标准球体，下列说法正确的是( )
A．在北极处物体的向心力为万有引力的3‰
B．在北极处物体的重力为万有引力的3‰
C．在赤道处物体的向心力为万有引力的3‰
D．在赤道处物体的重力为万有引力的3‰
C [在北极处，没有向心力，重力等于万有引力，即F引＝G，A、B错误；在赤道处，F引－G′＝Fn，再结合题意知G-G'G＝3‰，在赤道处FnF引＝F引-G'F引＝G-G'G＝3‰，C正确；赤道处G'F引＝G'G＝1－G-G'G＝997‰，D错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．万有引力定律的内容是什么？
提示：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间的距离r的二次方成反比。
2．万有引力的公式是什么？其适用条件是什么？
提示：F＝Gm1m2r2。适用于质点间或均质球体间的计算。
3．引力常量是牛顿测出来的吗？
提示：不是，是卡文迪什测出的。
课时分层作业(九)
题组一 太阳与行星间引力
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝mv2r，这个关系式实际上是牛顿第二定律；是可以在实验室中得到验证的
B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝2πrT，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得来的
C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式r3T2＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到证明的
D．在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式，都是可以在实验室中得到证明的
AB [开普勒的三大定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，每一条都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，故开普勒的三大定律都是在实验室中无法验证的定律，故A、B正确。]
2．(多选)下面有关万有引力的说法正确的是( )
A．F＝Gm1m2r2中的G是引力常量，其值是牛顿通过扭秤实验测得的
B．地面附近自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的都是地球引力
C．苹果落到地面上，说明地球对苹果有引力，苹果对地球也有引力
D．万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的
BCD [G是引力常量，其值是卡文迪什通过扭秤实验测得的，故A错误；由万有引力定律可知，地面附近自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的都是地球引力，故B正确；地球吸引苹果的力与苹果吸引地球的力是相互作用力，因此地球对苹果有引力，苹果对地球也有引力，故C正确；万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，故D正确。]
3．(多选)关于太阳与行星间的引力，下列说法正确的是( )
A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大
B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在从近日点向远日点运动时所受引力变小
C．由F＝GMmr2可知G＝Fr2Mm，由此可见G与F和r2的乘积成正比，与M和m的乘积成反比
D．行星绕太阳椭圆轨道的运动可近似看成圆形轨道的运动，其向心力来源于太阳对行星的引力
BD [由F＝GMmr2，太阳对行星的引力大小与m、r有关，对同一行星，r越大，F越小，B正确；对不同行星，r越小，F不一定越大，还要由行星的质量决定，A错误；公式中G为比例系数，是一常量，与F、r、M、m均无关，C错误；通常的研究中，行星绕太阳椭圆轨道的运动可近似看成圆形轨道的运动，向心力由太阳对行星的引力提供，D正确。]
题组二 万有引力定律
4．根据万有引力定律，两个质量分别是m1和m2的物体，他们之间的距离为r时，它们之间的吸引力大小为F＝Gm1m2r2，式中G是引力常量，若用国际单位制的基本单位表示G的单位应为( )
A．kg·m·s-2 B．N·kg2·m-2
C．m3·s-2·kg-1D．m2·s-2·kg-2
C [国际单位制中质量m、距离r、力F的基本单位分别是：kg、m、kg·m·s-2，根据万有引力定律F＝Gm1m2r2，得到用国际单位制的基本单位表示G的单位为m3·s-2·kg-1，C正确。]
5．(多选)关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝Gm1m2r2计算
C．由F＝Gm1m2r2知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．引力常量G的测出，证明了万有引力定律的正确性
CD [任何有质量的物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错误；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F＝Gm1m2r2来计算，B错误；物体间的万有引力与它们之间的距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C正确；引力常量的测出，证明了万有引力定律的正确性，D正确。]
6．要使两物体间的万有引力减小到原来的14，下列办法不正确的是( )
A．使两物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的14，距离不变
C．使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变
D．使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的14
D [根据万有引力定律F＝GMmr2可知，使两物体的质量各减小一半，距离不变，则万有引力变为原来的14，A正确；使其中一个物体的质量减小到原来的14，距离不变，则万有引力变为原来的14，B正确；使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变，则万有引力变为原来的14，C正确；使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的14，则万有引力大小不变，D错误。]
题组三 万有引力和重力的关系
7．地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
A．物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B．赤道处的角速度比南纬30°的角速度大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
A [由F＝GMmR2可知，若地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，除两极外，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力，在赤道上，向心力最大，重力最小，A正确；地球各处的(除两极外)角速度均等于地球自转的角速度，B错误；地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错误；地面上物体随地球自转所需的向心力是由物体所受万有引力与地面支持力的合力提供的，D错误。]
8．(2022·重庆永川北山中学高二开学考试)2021年5月15日，我国科研团队根据祝融号火星车发回的遥感信号确认，天问一号着陆巡视器成功着陆预定区域，我国首次火星探测任务取得圆满成功。已知火星的质量和半径分别约为地球的110和12，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为( )
A．5g B．2.5g
C．0.4gD．0.2g
C [在地球表面重力等于万有引力mg＝GM地mR地2，在火星表面重力等于万有引力m′g火＝GM火m'R火2，结合题意联立可得g火＝0.4g，故C正确，A、B、D错误。]
9．月—地检验为万有引力定律的发现提供了事实依据。已知地球半径为R，地球中心与月球中心的距离r＝60R，下列说法正确的是( )
A．卡文迪什为了检验万有引力定律的正确性首次进行了月—地检验
B．月—地检验表明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是不同性质的力
C．月球由于受到地球对它的万有引力而产生的加速度与月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度相等
D．由万有引力定律可知，月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度是地面重力加速度的160
C [牛顿为了检验万有引力定律的正确性，首次进行了月—地检验，故A错误；月—地检验表明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同种性质的力，故B错误；月球由于受到地球对它的万有引力而产生的加速度与月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度相等，所以证明了万有引力的正确性，故C正确；物体在地球表面所受的重力等于其引力，则有mg＝GMmR2，月球绕地球在引力提供向心力作用下做匀速圆周运动，则有GMm60R2＝man，联立以上两式可得an∶g＝1∶3 600，故D错误。]
10．如图所示，质量分布均匀的实心球体，其质量为M，半径为R。现在将它的左侧挖去一个半径为r＝R2的球体，则挖去后它对离球体表面距离R处的质量为m的质点的引力与挖去前对质点的引力之比为( )
A．225 B．2325 C．23100 D．77100
B [根据M＝ρV＝ρ·43πR3知，挖去部分的半径是球体半径的一半，则质量是球体质量的18，所以挖去部分的质量M′＝18M，没挖之前，球体对质点m的万有引力F1＝GMm4R2，挖去的部分对m的万有引力F2＝GM'm5R22＝GMm50R2，则剩余部分对质点的引力大小F＝F1－F2＝23GMm100R2，则FF1＝2325，故B正确。]
11．火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的19。一位航天员连同航天服在地球上的质量为50 kg。(地球表面的重力加速度g取 10 m/s2)
(1)在火星上航天员所受的重力为多少？
(2)航天员在地球上可跳1.5 m高，他以相同初速度在火星上可跳多高？
[解析] (1)由mg＝GMmR2，得g＝GMR2
在地球上有g＝GMR2，在火星上有g′＝G·19M12R2
所以g′＝49g＝409 m/s2
那么航天员在火星上所受的重力
mg′＝50×409 N≈222 N。
(2)在地球上，航天员跳起的高度为h＝v022g
在火星上，航天员跳起的高度为h′＝v022g'
联立以上两式得h′＝3.375 m。
[答案] (1)222 N (2)3.375 m
12．用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，测量结果随称量位置的变化可能会有所不同。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气阻力的影响。设在地球北极称量时，弹簧测力计的读数是F0。
(1)若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值F1F0的表达式，并就h＝0.5%R的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)。
(2)若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值F2F0的表达式。
[解析] (1)在地球北极所称量物体的重力等于万有引力，有F0＝GMmR2，在北极上空高出地面h处称量，有F1＝GMmR+h2，联立解得F1F0＝RR+h2，当h＝0.5%R时，F1F0≈0.99。
(2)在赤道表面称量，有F2＝GMmR2－m4π2T2R，联立解得F2F0＝1－4π2R3GMT2。
[答案] (1)RR+h2 0.99 (2)1－4π2R3GMT2
13．如图所示，三个质量均为M的球分别位于34圆环、半圆环和完整圆环的圆心，34圆环、半圆环分别是由与丙图中相同的完整圆环截去14和一半所得，环的粗细忽略不计，若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图、丙图中环对球的万有引力大小分别为( )
A．2F，22F B．2F，0
C．32F，22FD．23F，43F
B [将甲图34圆环看成是三个14圆环的组合，关于圆心对称的两个14圆环对球的万有引力的合力为零，由题知34圆环对球的万有引力大小为F，所以14圆环对球的万有引力大小为F；将乙图半圆环看成是两个14圆环的组合，根据平行四边形定则，乙图半圆环对球的万有引力大小为2F，方向向上；将丙图完整圆环看成是4个14圆环的组合，关于圆心对称的两个14圆环对球的万有引力的合力为零，因此丙图整个圆环对球的万有引力为0，故B正确。]普遍性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性
两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
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