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高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就学案设计
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就学案设计，共18页。
2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度。
3．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。
“称量”地球的质量 计算天体质量
1．“称量”地球的质量
(1)合理假设：不考虑地球自转。
(2)“称量”依据：地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝Gmm地R2，由此可解得m地＝gR2G。
(3)结论：只要知道g、R和G的值，就可以算出地球的质量。
2．计算天体质量
(1)计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力提供，列出方程Gmm太r2＝m4π2rT2，由此可解得m太＝4π2r3GT2。
(2)结论：只要知道行星的公转周期T和它与太阳的距离r，就可以计算出太阳的质量。
(3)计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期T和轨道半径r，就可计算出行星的质量m行＝4π2r3GT2。
1969年7月21日，美国航天员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步。
【问题】
(1)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？依据是什么？
(2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，能否求出月球的质量呢？为什么？
(3)若月球半径R已知，航天员身边有些质量已知的钩码、弹簧测力计和停表等一些简单工具，试想一下：航天员若想测出月球的质量，可采用什么方法？
提示：(1)能求出地球的质量。利用GMmr2＝m4π2T2r，求出的质量M＝4π2r3GT2为中心天体即地球的质量。
(2)不能。由GMmr2＝m4π2T2r可知，做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的公转周期T、公转半径r无法计算月球的质量。
(3)方法1：航天员在月球上用弹簧测力计测出质量为m的物体重力为F，则F＝GMmR2，故M＝FR2Gm。
方法2：用停表测出航天员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间T，由万有引力提供向心力，可知GMmR2＝m4π2T2R，故M＝4π2R3GT2。
1．天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝GMmR2，解得天体的质量为M＝gR2G，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
2．天体密度的计算
(1)若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝M43πR3，将M＝4π2r3GT2代入上式可得ρ＝3πr3GT2R3。
(2)当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝3πGT2。
【典例1】 如图所示，是美国的卡西尼号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道，若卡西尼号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )
A．M＝4π2R+h3Gt，ρ＝3πR+h3Gt2R3
B．M＝4π2R+h3Gt2，ρ＝3πR+h3Gt2R3
C．M＝4π2t2R+h3Gn2，ρ＝3πt2R+h3Gn2R2
D．M＝4π2n2R+h3Gt2，ρ＝3πn2R+h3Gt2R3
D [对卫星有GMmR+h2＝mω2(R＋h)，ω＝2πT＝2πnt，解得M＝4π2n2R+h3Gt2，土星的体积V＝43πR3，土星的密度ρ＝MV＝3πn2R+h3Gt2R3，D正确。]
求解天体质量和密度时的两种常见误区
(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝4π2r3GT2是中心天体的质量，而不是围绕中心天体运动的行星(或卫星)的质量。
(2)易出现混淆或乱用天体半径与轨道半径的错误，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如对ρ＝3πr3GT2R3进行错误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
[跟进训练]
1．(2022·山东省实验中学期中)若已知引力常量G＝6.67×10-11N·m2/kg2，重力加速度g取9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球质量的数量级是( )
A．1023 kg B．1021 kg
C．1022 kgD．1024 kg
D [在地球表面有GMmR2＝mg，代入数据得M≈6.02×1024kg，D正确，A、B、C错误。]
2．我国嫦娥二号可视为在月球表面附近做圆周运动。已知引力常量为G，要测定月球的密度，仅仅需要( )
A．测定飞船的运行周期
B．测定飞船的环绕半径
C．测定月球的体积
D．测定飞船的运行速度
A [当测定飞船在月球表面附近的运行周期为T时，设月球半径为R，飞船受到月球的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律GMmR2＝m2πT2R，可得月球的质量M＝4π2R3GT2，则月球的密度ρ＝MV＝M43πR3＝3πGT2，可见月球的密度可以测定，故A正确；测定飞船的环绕半径，即已知月球的半径，但月球的质量未知，故无法求出月球的密度，故B错误；测定月球的体积，但月球的质量未知，故无法求出月球的密度，故C错误；测定飞船的速度，由飞船受到月球的万有引力提供向心力，有GMmR2＝mv2R可得月球的质量M＝v2RG，月球的密度为ρ＝MV＝M43πR3＝3v24πGR2，由于月球的半径未知，故无法求出月球的密度，故D错误。]
发现未知天体 预言哈雷彗星回归
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
3．预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。
已知地球、火星都绕太阳转动，火星的公转半径是地球公转半径的1.5倍，根据以上材料思考：
(1)地球、火星遵循什么样的动力学规律？
(2)地球、火星绕太阳运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？为什么？
(3)如何比较火星与地球的线速度、角速度、周期以及向心加速度的大小？
提示：(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力。
(2)无关。因为在等式GMmr2＝man＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r各项中都含有m，可以消掉。
(3)由Gm太mr2＝man＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r表达式可知，线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关系。
1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
2．常用关系
(1)GMmr2＝man＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r。
(2)忽略自转时，mg＝GMmR2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”。
3．四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
(1)由GMmr2＝mv2r得v＝GMr，r越大，v越小。
(2)由GMmr2＝mω2r得ω＝GMr3，r越大，ω越小。
(3)由GMmr2＝m(2πT)2r得T＝2π r3GM，r越大，T越大。
(4)由GMmr2＝man得an＝GMr2，r越大，an越小。
【典例2】 (多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则( )
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
ABD [因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，而b所受的万有引力最小，故A正确；由Gm地mr2＝man得，an＝Gm地r2，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错误；由Gm地mr2＝4π2mrT2得，T＝2πr3Gm地，即卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等，且大于a的周期，B正确；由Gm地mr2＝mv2r得，v＝Gm地r，即卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度，D正确。]
解决天体运动问题的关键
(1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。
(2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。
(3)利用“GM＝gR2”——“gR2”代换“GM”，简化解题方式。
[跟进训练]
3．天文学家发现了一颗“超级地球”，命名为“55 Cancri e”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的1480，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的( )
A．轨道半径之比约为360480
B．轨道半径之比约为3604802
C．向心加速度之比约为360×4802
D．向心加速度之比约为360×480
B [由公式GMmr2＝m2πT2r，可得r＝3GMT24π2，由M＝ρV，得r超r地＝3M母M太·T超2T地2＝3V母V太·T超2T地2＝3604802，A错误，B正确；再由GMmr2＝ma得a＝GMr2，则a超a地＝M母M太·r地2r超2＝3M母M太·T地4T超4＝3V母V太·T地4T超4＝360×4804，C、D错误。]
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．海王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
C．天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D．哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归
ACD [海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道，然后由天文工作者在预言的位置附近观察到的，天王星是人们通过望远镜观察发现的，由于天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，引起了人们的思考，推测天王星轨道外面存在未知行星，进而发现了海王星，故A、C正确，B错误；哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归，故D正确。]
2．近年来，人类发射的火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探索(如发现了冰)，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常量)( )
A．ρ＝kT B．ρ＝kT
C．ρ＝kT2D．ρ＝kT2
D [根据万有引力定律得GMmR2＝mR4π2T2，可得火星质量M＝4π2R3GT2，又火星的体积V＝43πR3，故火星的平均密度ρ＝MV＝3πGT2＝kT2，D正确。]
3．土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm到10 m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4×105 km。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h，引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)( )
A．9.0×1016 kg B．6.4×1017 kg
C．9.0×1025 kgD．6.4×1026 kg
D [土星“光环”的外缘颗粒绕土星做圆周运动，根据万有引力提供向心力：GMmr2＝m4π2T2r，解得M＝4π2r3GT2，其中r为外缘颗粒的轨道半径，大小为1.4×105 km，T为外缘颗粒绕土星运动的周期，约为14 h，代入数据得M≈6.4×1026 kg，D正确。]
4．金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定( )
A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金D．v火＞v地＞v金
A [金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有GMmR2＝ma，解得a＝GMR2，结合题中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，A正确，B错误；同理，有GMmR2＝mv2R，解得v＝GMR，再结合题中R金＜R地＜R火，可得v金＞v地＞v火，C、D错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．计算天体质量有哪几种方法？
提示：方法1：重力加速度法，即mg＝GMmR2⇒M＝gR2G；
方法2：环绕法，即GMmr2＝mv2r⇒M＝rv2G。
2．为什么说海王星是笔尖下发现的行星？
提示：因为其轨道是根据天王星的观测资料计算出来的。
3．天体运行的速度、周期、角速度和轨道半径有什么关系？
提示：轨道半径越大，速度越小，周期越长，角速度越小。
课时分层作业(十)
题组一 天体质量和密度的计算
1．(2022·杭州高一期末)天文学家发现某恒星周围有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。由此可推算出( )
A．行星的质量 B．行星的半径
C．恒星的质量D．恒星的半径
C [设行星轨道半径为r，周期为T，恒星的质量为M，行星的质量为m，则由GMmr2＝m2πT2r得，M＝4π2r3GT2，故C正确。]
2．某星球的自转周期为T，一个物体在该星球赤道处的重力是F1，在极地处的重力是F2，已知万有引力常量G，则星球的平均密度可以表示为( )
A．3πF2GF2-F1T B．3πF2GF2-F1T2
C．2πF2GF2-F1T2D．3πF2GF1-F2T2
B [设星球质量为M，半径为R，物体的质量为m，由于两极处物体的重力等于星球对物体的万有引力，所以F2＝GMmR2，在赤道上，万有引力可分解为重力和随地球自转的向心力，则有GMmR2＝F1＋m4π2T2R，联立解得M＝4π2F2R3GT2F2-F1，星球的平均密度ρ＝MV＝4π2F2R3GT2F2-F143πR3＝3πF2GF2-F1T2；故B正确，A、C、D错误。]
3．(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
D [根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力得GMmr2＝mv2r，解得M＝v2rG，D正确；由于核心舱质量在运算中可以被约掉，仅知绕地半径r或绕地周期T都无法计算出地球质量，A、B错误；已知核心舱的绕地角速度，由GMmr2＝mω2r得M＝ω2r3G，故还需要知道核心舱的绕地半径，才能求得地球质量，C错误。]
4．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A．R3T2r3t2 B．R3t2r3T2
C．R3t2r2T3 D．R2T3r2t3
B [地球绕太阳公转，由太阳的万有引力提供地球的向心力，则得GMmR2＝m4π2T2R，解得太阳的质量M＝4π2R3GT2；月球绕地球公转，由地球的万有引力提供月球的向心力，则得Gmm'r2＝m′4π2t2r，解得地球的质量m＝4π2r3Gt2，所以太阳质量与地球质量之比Mm＝R3t2r3T2，故B正确。]
题组二 天体运动的分析与计算
5．(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是( )
A．若v2∝R，则外层的环是土星的卫星群
B．若v∝R，则外层的环是土星的一部分
C．若v∝1R，则外层的环是土星的一部分
D．若v2∝1R，则外层的环是土星的卫星群
BD [若外层的环为土星的一部分，则它们各层转动的角速度ω相等，由v＝ωR知，v∝R，B正确，C错误；若外层的环是土星的卫星群，土星对环的万有引力提供其向心力，则由GMmR2＝mv2R，得v2∝1R，故A错误，D正确。]
6．(多选)把太阳系各行星的运动近似地看作匀速圆周运动，则离太阳越远的行星( )
A．周期越小 B．线速度越小
C．角速度越小D．加速度越小
BCD [行星绕太阳做匀速圆周运动所需的向心力由太阳对行星的万有引力提供，则有GMmr2＝mv2r＝m2πT2r＝mω2r＝man，v＝GMr，ω＝GMr3，T＝2πr3GM，an＝GMr2，r越大，线速度越小，B正确；r越大，角速度越小，C正确；ω越小，则周期T越大，A错误；r越大，则an越小，D正确。]
7．(多选)一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则( )
A．恒星的质量为v3T2πG
B．行星的质量为4π2v3GT2
C．行星运动的轨道半径为vT2π
D．行星运动的加速度为2πvT
ACD [行星绕恒星转动一圈时，运行的距离等于周长即v·T＝2πr得r＝vT2π，C正确；由万有引力公式及牛顿第二定律知，GMmr2＝mr4π2T2，得M＝4π2r3GT2＝4π2GT2vT2π3＝v3T2πG，A正确；由an＝v2r＝2πvT，D正确；行星绕恒星的运动与其自身质量无关，行星的质量由已知条件无法求出，故B错误。]
8．2022年6月5日，我国神舟十四号载人飞船入轨后，按照预定程序，与在同一轨道上运行的天和核心舱交会对接，航天员将进驻天和核心舱。交会对接后神舟十四号飞船与天和核心舱的组合体轨道不变，将对接前飞船与对接后的组合体对比，下面说法正确的是( )
A．组合体的环绕速度大于神舟十四号飞船的环绕速度
B．组合体的环绕周期大于神舟十四号飞船的环绕周期
C．组合体的向心加速度大于神舟十四号飞船的向心加速度
D．组合体所受的向心力大于神舟十四号飞船所受的向心力
D [由GMmr2＝mv2r＝m4π2T2r可得，v＝GMr，T＝2πr3GM，可见v、T与质量m无关，周期与环绕速度不变，故A、B错误；由GMmr2＝man可得an＝GMr2，可知向心加速度与质量m无关，故C错误；向心力为F＝GMmr2，组合体的质量大于神舟十四号飞船的质量，轨道半径不变，则组合体所受的向心力大于神舟十四号飞船所受的向心力，故D正确。]
9．(多选)在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星，某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的式子中正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)( )
A．ρ＝3g02πGd B．ρ＝g0T23πd
C．ρ＝3πGT2D．ρ＝6Mπd3
ACD [由ρ＝MV，V＝43πd23，得ρ＝6Mπd3，D正确；由GMmd22＝mg0，ρ＝MV，V＝43πd23，联立解得ρ＝3g02πGd，A正确；根据万有引力定律得GMmR2＝m4π2T2R，可得火星质量M＝4π2R3GT2，又火星的体积V＝43πR3，故火星的平均密度ρ＝MV＝3πGT2，C正确。]
10．(2022·安徽合肥宏图中学高一检测)人造卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，卫星的轨道半径的三次方与绕行周期的二次方的关系如图中甲所示；火星作为航空航天探索的热门研究对象，火星的周围有两个天然卫星和数个人造卫星，它们的运动也可视为绕火星做匀速圆周运动，它们的轨道半径的三次方与绕行周期的二次方的关系如图中乙所示。图中m、n、p、q已知，则地球和火星的质量之比为( )
A．pqmn B．mnpq
C．pnqmD．pmqn
C [卫星绕地球、火星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，有GMmr2＝m2πT2r，解得M＝4π2r3GT2，所以地球和火星质量之比为M地M火＝r甲3T乙2r乙3T甲2＝pnqm，C正确。]
11．有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比；
(2)它们的公转周期之比。
[解析] (1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比F1F2＝GMm1r12GMm2r22＝m1r22m2r12。
(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有GMmr2＝m2πT2r
所以，天体绕太阳运动的周期T＝2πr3GM
则两天体绕太阳的公转周期之比T1T2＝r13r23。
[答案] 1m1r22m2r12 2r13r23
12．若航天员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度。
[解析] (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝12 g月t2，所以月球表面的自由落体加速度大小g月＝2ht2。
(2)因不考虑月球自转的影响，则有GMmR2＝mg月
月球的质量M＝2hR2Gt2。
(3)月球的密度ρ＝MV＝2hR2Gt243πR3＝3h2πRGt2。
[答案] (1)2ht2 (2)2hR2Gt2 (3)3h2πRGt2
13．(多选)某同学在学习中记录了一些与地球、月球有关的数据资料如表中所示，利用这些数据来计算地球表面与月球表面之间的最近距离s，则下列表达式正确的是( )
A．s＝ct B．s＝vT2π－R－r
C．s＝v2g－R－rD．s＝3g0R2T24π2－R－r
BD [由题知，激光器发出激光束从发出到接收的时间为t＝2.565 s，光速为c，则有s＝c· t2，故A错误；由题知，月球绕地球转动的线速度为：v＝1 km/s，周期为：T＝27.3天，则月球公转的半径为：R′＝ vT2π，s＝R′－R－r＝ vT2π－R－r，故B正确；月球表面的重力加速度g与月球绕地球转动的线速度v没有关系，不能得到g＝v2R'，则不能求出s＝v2g－R－r，故C错误；以月球为研究对象，月球绕地球公转时，由地球的万有引力提供向心力，设地球质量为M，月球的质量为m，则得GMmR'2＝m4π2R'T2，在地球表面，有g0＝ GMR2，联立上两式得R′＝3g0R2T24π2，则有s＝R'－R－r＝3g0R2T24π2－R－r，故D正确。]万有引力提供向心力
中心天体的质量
说明
GMmr2＝mv2r
M＝rv2G
r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和运行周期
GMmr2＝mrω2
M＝r3ω2G
GMmr2＝mr4π2T2
M＝4π2r3GT2
地球半径
R＝6.4×106 m
月球半径
r＝1.74×106 m
地球表面重力加速度
g0＝9.80 m/s2
月球表面重力加速度
g＝1.56 m/s2
月球绕地球转动的线速度
v＝1 km/s
月球绕地球转动的周期
T＝27.3天
光速
c＝3.0×108 m/s
用激光器从地球表面上正对月球表面处向月球表面发射激光束，经过t＝2.565 s接收到反射回来的激光信号
2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度。
3．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。
“称量”地球的质量 计算天体质量
1．“称量”地球的质量
(1)合理假设：不考虑地球自转。
(2)“称量”依据：地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝Gmm地R2，由此可解得m地＝gR2G。
(3)结论：只要知道g、R和G的值，就可以算出地球的质量。
2．计算天体质量
(1)计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力提供，列出方程Gmm太r2＝m4π2rT2，由此可解得m太＝4π2r3GT2。
(2)结论：只要知道行星的公转周期T和它与太阳的距离r，就可以计算出太阳的质量。
(3)计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期T和轨道半径r，就可计算出行星的质量m行＝4π2r3GT2。
1969年7月21日，美国航天员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步。
【问题】
(1)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？依据是什么？
(2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，能否求出月球的质量呢？为什么？
(3)若月球半径R已知，航天员身边有些质量已知的钩码、弹簧测力计和停表等一些简单工具，试想一下：航天员若想测出月球的质量，可采用什么方法？
提示：(1)能求出地球的质量。利用GMmr2＝m4π2T2r，求出的质量M＝4π2r3GT2为中心天体即地球的质量。
(2)不能。由GMmr2＝m4π2T2r可知，做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的公转周期T、公转半径r无法计算月球的质量。
(3)方法1：航天员在月球上用弹簧测力计测出质量为m的物体重力为F，则F＝GMmR2，故M＝FR2Gm。
方法2：用停表测出航天员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间T，由万有引力提供向心力，可知GMmR2＝m4π2T2R，故M＝4π2R3GT2。
1．天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝GMmR2，解得天体的质量为M＝gR2G，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
2．天体密度的计算
(1)若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝M43πR3，将M＝4π2r3GT2代入上式可得ρ＝3πr3GT2R3。
(2)当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝3πGT2。
【典例1】 如图所示，是美国的卡西尼号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道，若卡西尼号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )
A．M＝4π2R+h3Gt，ρ＝3πR+h3Gt2R3
B．M＝4π2R+h3Gt2，ρ＝3πR+h3Gt2R3
C．M＝4π2t2R+h3Gn2，ρ＝3πt2R+h3Gn2R2
D．M＝4π2n2R+h3Gt2，ρ＝3πn2R+h3Gt2R3
D [对卫星有GMmR+h2＝mω2(R＋h)，ω＝2πT＝2πnt，解得M＝4π2n2R+h3Gt2，土星的体积V＝43πR3，土星的密度ρ＝MV＝3πn2R+h3Gt2R3，D正确。]
求解天体质量和密度时的两种常见误区
(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝4π2r3GT2是中心天体的质量，而不是围绕中心天体运动的行星(或卫星)的质量。
(2)易出现混淆或乱用天体半径与轨道半径的错误，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如对ρ＝3πr3GT2R3进行错误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
[跟进训练]
1．(2022·山东省实验中学期中)若已知引力常量G＝6.67×10-11N·m2/kg2，重力加速度g取9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球质量的数量级是( )
A．1023 kg B．1021 kg
C．1022 kgD．1024 kg
D [在地球表面有GMmR2＝mg，代入数据得M≈6.02×1024kg，D正确，A、B、C错误。]
2．我国嫦娥二号可视为在月球表面附近做圆周运动。已知引力常量为G，要测定月球的密度，仅仅需要( )
A．测定飞船的运行周期
B．测定飞船的环绕半径
C．测定月球的体积
D．测定飞船的运行速度
A [当测定飞船在月球表面附近的运行周期为T时，设月球半径为R，飞船受到月球的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律GMmR2＝m2πT2R，可得月球的质量M＝4π2R3GT2，则月球的密度ρ＝MV＝M43πR3＝3πGT2，可见月球的密度可以测定，故A正确；测定飞船的环绕半径，即已知月球的半径，但月球的质量未知，故无法求出月球的密度，故B错误；测定月球的体积，但月球的质量未知，故无法求出月球的密度，故C错误；测定飞船的速度，由飞船受到月球的万有引力提供向心力，有GMmR2＝mv2R可得月球的质量M＝v2RG，月球的密度为ρ＝MV＝M43πR3＝3v24πGR2，由于月球的半径未知，故无法求出月球的密度，故D错误。]
发现未知天体 预言哈雷彗星回归
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
3．预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。
已知地球、火星都绕太阳转动，火星的公转半径是地球公转半径的1.5倍，根据以上材料思考：
(1)地球、火星遵循什么样的动力学规律？
(2)地球、火星绕太阳运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？为什么？
(3)如何比较火星与地球的线速度、角速度、周期以及向心加速度的大小？
提示：(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力。
(2)无关。因为在等式GMmr2＝man＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r各项中都含有m，可以消掉。
(3)由Gm太mr2＝man＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r表达式可知，线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关系。
1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
2．常用关系
(1)GMmr2＝man＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r。
(2)忽略自转时，mg＝GMmR2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”。
3．四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
(1)由GMmr2＝mv2r得v＝GMr，r越大，v越小。
(2)由GMmr2＝mω2r得ω＝GMr3，r越大，ω越小。
(3)由GMmr2＝m(2πT)2r得T＝2π r3GM，r越大，T越大。
(4)由GMmr2＝man得an＝GMr2，r越大，an越小。
【典例2】 (多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则( )
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
ABD [因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，而b所受的万有引力最小，故A正确；由Gm地mr2＝man得，an＝Gm地r2，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错误；由Gm地mr2＝4π2mrT2得，T＝2πr3Gm地，即卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等，且大于a的周期，B正确；由Gm地mr2＝mv2r得，v＝Gm地r，即卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度，D正确。]
解决天体运动问题的关键
(1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。
(2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。
(3)利用“GM＝gR2”——“gR2”代换“GM”，简化解题方式。
[跟进训练]
3．天文学家发现了一颗“超级地球”，命名为“55 Cancri e”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的1480，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的( )
A．轨道半径之比约为360480
B．轨道半径之比约为3604802
C．向心加速度之比约为360×4802
D．向心加速度之比约为360×480
B [由公式GMmr2＝m2πT2r，可得r＝3GMT24π2，由M＝ρV，得r超r地＝3M母M太·T超2T地2＝3V母V太·T超2T地2＝3604802，A错误，B正确；再由GMmr2＝ma得a＝GMr2，则a超a地＝M母M太·r地2r超2＝3M母M太·T地4T超4＝3V母V太·T地4T超4＝360×4804，C、D错误。]
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．海王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
C．天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D．哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归
ACD [海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道，然后由天文工作者在预言的位置附近观察到的，天王星是人们通过望远镜观察发现的，由于天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，引起了人们的思考，推测天王星轨道外面存在未知行星，进而发现了海王星，故A、C正确，B错误；哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归，故D正确。]
2．近年来，人类发射的火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探索(如发现了冰)，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常量)( )
A．ρ＝kT B．ρ＝kT
C．ρ＝kT2D．ρ＝kT2
D [根据万有引力定律得GMmR2＝mR4π2T2，可得火星质量M＝4π2R3GT2，又火星的体积V＝43πR3，故火星的平均密度ρ＝MV＝3πGT2＝kT2，D正确。]
3．土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm到10 m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4×105 km。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h，引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)( )
A．9.0×1016 kg B．6.4×1017 kg
C．9.0×1025 kgD．6.4×1026 kg
D [土星“光环”的外缘颗粒绕土星做圆周运动，根据万有引力提供向心力：GMmr2＝m4π2T2r，解得M＝4π2r3GT2，其中r为外缘颗粒的轨道半径，大小为1.4×105 km，T为外缘颗粒绕土星运动的周期，约为14 h，代入数据得M≈6.4×1026 kg，D正确。]
4．金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定( )
A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金D．v火＞v地＞v金
A [金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有GMmR2＝ma，解得a＝GMR2，结合题中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，A正确，B错误；同理，有GMmR2＝mv2R，解得v＝GMR，再结合题中R金＜R地＜R火，可得v金＞v地＞v火，C、D错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．计算天体质量有哪几种方法？
提示：方法1：重力加速度法，即mg＝GMmR2⇒M＝gR2G；
方法2：环绕法，即GMmr2＝mv2r⇒M＝rv2G。
2．为什么说海王星是笔尖下发现的行星？
提示：因为其轨道是根据天王星的观测资料计算出来的。
3．天体运行的速度、周期、角速度和轨道半径有什么关系？
提示：轨道半径越大，速度越小，周期越长，角速度越小。
课时分层作业(十)
题组一 天体质量和密度的计算
1．(2022·杭州高一期末)天文学家发现某恒星周围有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。由此可推算出( )
A．行星的质量 B．行星的半径
C．恒星的质量D．恒星的半径
C [设行星轨道半径为r，周期为T，恒星的质量为M，行星的质量为m，则由GMmr2＝m2πT2r得，M＝4π2r3GT2，故C正确。]
2．某星球的自转周期为T，一个物体在该星球赤道处的重力是F1，在极地处的重力是F2，已知万有引力常量G，则星球的平均密度可以表示为( )
A．3πF2GF2-F1T B．3πF2GF2-F1T2
C．2πF2GF2-F1T2D．3πF2GF1-F2T2
B [设星球质量为M，半径为R，物体的质量为m，由于两极处物体的重力等于星球对物体的万有引力，所以F2＝GMmR2，在赤道上，万有引力可分解为重力和随地球自转的向心力，则有GMmR2＝F1＋m4π2T2R，联立解得M＝4π2F2R3GT2F2-F1，星球的平均密度ρ＝MV＝4π2F2R3GT2F2-F143πR3＝3πF2GF2-F1T2；故B正确，A、C、D错误。]
3．(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
D [根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力得GMmr2＝mv2r，解得M＝v2rG，D正确；由于核心舱质量在运算中可以被约掉，仅知绕地半径r或绕地周期T都无法计算出地球质量，A、B错误；已知核心舱的绕地角速度，由GMmr2＝mω2r得M＝ω2r3G，故还需要知道核心舱的绕地半径，才能求得地球质量，C错误。]
4．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A．R3T2r3t2 B．R3t2r3T2
C．R3t2r2T3 D．R2T3r2t3
B [地球绕太阳公转，由太阳的万有引力提供地球的向心力，则得GMmR2＝m4π2T2R，解得太阳的质量M＝4π2R3GT2；月球绕地球公转，由地球的万有引力提供月球的向心力，则得Gmm'r2＝m′4π2t2r，解得地球的质量m＝4π2r3Gt2，所以太阳质量与地球质量之比Mm＝R3t2r3T2，故B正确。]
题组二 天体运动的分析与计算
5．(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是( )
A．若v2∝R，则外层的环是土星的卫星群
B．若v∝R，则外层的环是土星的一部分
C．若v∝1R，则外层的环是土星的一部分
D．若v2∝1R，则外层的环是土星的卫星群
BD [若外层的环为土星的一部分，则它们各层转动的角速度ω相等，由v＝ωR知，v∝R，B正确，C错误；若外层的环是土星的卫星群，土星对环的万有引力提供其向心力，则由GMmR2＝mv2R，得v2∝1R，故A错误，D正确。]
6．(多选)把太阳系各行星的运动近似地看作匀速圆周运动，则离太阳越远的行星( )
A．周期越小 B．线速度越小
C．角速度越小D．加速度越小
BCD [行星绕太阳做匀速圆周运动所需的向心力由太阳对行星的万有引力提供，则有GMmr2＝mv2r＝m2πT2r＝mω2r＝man，v＝GMr，ω＝GMr3，T＝2πr3GM，an＝GMr2，r越大，线速度越小，B正确；r越大，角速度越小，C正确；ω越小，则周期T越大，A错误；r越大，则an越小，D正确。]
7．(多选)一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则( )
A．恒星的质量为v3T2πG
B．行星的质量为4π2v3GT2
C．行星运动的轨道半径为vT2π
D．行星运动的加速度为2πvT
ACD [行星绕恒星转动一圈时，运行的距离等于周长即v·T＝2πr得r＝vT2π，C正确；由万有引力公式及牛顿第二定律知，GMmr2＝mr4π2T2，得M＝4π2r3GT2＝4π2GT2vT2π3＝v3T2πG，A正确；由an＝v2r＝2πvT，D正确；行星绕恒星的运动与其自身质量无关，行星的质量由已知条件无法求出，故B错误。]
8．2022年6月5日，我国神舟十四号载人飞船入轨后，按照预定程序，与在同一轨道上运行的天和核心舱交会对接，航天员将进驻天和核心舱。交会对接后神舟十四号飞船与天和核心舱的组合体轨道不变，将对接前飞船与对接后的组合体对比，下面说法正确的是( )
A．组合体的环绕速度大于神舟十四号飞船的环绕速度
B．组合体的环绕周期大于神舟十四号飞船的环绕周期
C．组合体的向心加速度大于神舟十四号飞船的向心加速度
D．组合体所受的向心力大于神舟十四号飞船所受的向心力
D [由GMmr2＝mv2r＝m4π2T2r可得，v＝GMr，T＝2πr3GM，可见v、T与质量m无关，周期与环绕速度不变，故A、B错误；由GMmr2＝man可得an＝GMr2，可知向心加速度与质量m无关，故C错误；向心力为F＝GMmr2，组合体的质量大于神舟十四号飞船的质量，轨道半径不变，则组合体所受的向心力大于神舟十四号飞船所受的向心力，故D正确。]
9．(多选)在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星，某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的式子中正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)( )
A．ρ＝3g02πGd B．ρ＝g0T23πd
C．ρ＝3πGT2D．ρ＝6Mπd3
ACD [由ρ＝MV，V＝43πd23，得ρ＝6Mπd3，D正确；由GMmd22＝mg0，ρ＝MV，V＝43πd23，联立解得ρ＝3g02πGd，A正确；根据万有引力定律得GMmR2＝m4π2T2R，可得火星质量M＝4π2R3GT2，又火星的体积V＝43πR3，故火星的平均密度ρ＝MV＝3πGT2，C正确。]
10．(2022·安徽合肥宏图中学高一检测)人造卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，卫星的轨道半径的三次方与绕行周期的二次方的关系如图中甲所示；火星作为航空航天探索的热门研究对象，火星的周围有两个天然卫星和数个人造卫星，它们的运动也可视为绕火星做匀速圆周运动，它们的轨道半径的三次方与绕行周期的二次方的关系如图中乙所示。图中m、n、p、q已知，则地球和火星的质量之比为( )
A．pqmn B．mnpq
C．pnqmD．pmqn
C [卫星绕地球、火星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，有GMmr2＝m2πT2r，解得M＝4π2r3GT2，所以地球和火星质量之比为M地M火＝r甲3T乙2r乙3T甲2＝pnqm，C正确。]
11．有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比；
(2)它们的公转周期之比。
[解析] (1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比F1F2＝GMm1r12GMm2r22＝m1r22m2r12。
(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有GMmr2＝m2πT2r
所以，天体绕太阳运动的周期T＝2πr3GM
则两天体绕太阳的公转周期之比T1T2＝r13r23。
[答案] 1m1r22m2r12 2r13r23
12．若航天员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度。
[解析] (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝12 g月t2，所以月球表面的自由落体加速度大小g月＝2ht2。
(2)因不考虑月球自转的影响，则有GMmR2＝mg月
月球的质量M＝2hR2Gt2。
(3)月球的密度ρ＝MV＝2hR2Gt243πR3＝3h2πRGt2。
[答案] (1)2ht2 (2)2hR2Gt2 (3)3h2πRGt2
13．(多选)某同学在学习中记录了一些与地球、月球有关的数据资料如表中所示，利用这些数据来计算地球表面与月球表面之间的最近距离s，则下列表达式正确的是( )
A．s＝ct B．s＝vT2π－R－r
C．s＝v2g－R－rD．s＝3g0R2T24π2－R－r
BD [由题知，激光器发出激光束从发出到接收的时间为t＝2.565 s，光速为c，则有s＝c· t2，故A错误；由题知，月球绕地球转动的线速度为：v＝1 km/s，周期为：T＝27.3天，则月球公转的半径为：R′＝ vT2π，s＝R′－R－r＝ vT2π－R－r，故B正确；月球表面的重力加速度g与月球绕地球转动的线速度v没有关系，不能得到g＝v2R'，则不能求出s＝v2g－R－r，故C错误；以月球为研究对象，月球绕地球公转时，由地球的万有引力提供向心力，设地球质量为M，月球的质量为m，则得GMmR'2＝m4π2R'T2，在地球表面，有g0＝ GMR2，联立上两式得R′＝3g0R2T24π2，则有s＝R'－R－r＝3g0R2T24π2－R－r，故D正确。]万有引力提供向心力
中心天体的质量
说明
GMmr2＝mv2r
M＝rv2G
r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和运行周期
GMmr2＝mrω2
M＝r3ω2G
GMmr2＝mr4π2T2
M＝4π2r3GT2
地球半径
R＝6.4×106 m
月球半径
r＝1.74×106 m
地球表面重力加速度
g0＝9.80 m/s2
月球表面重力加速度
g＝1.56 m/s2
月球绕地球转动的线速度
v＝1 km/s
月球绕地球转动的周期
T＝27.3天
光速
c＝3.0×108 m/s
用激光器从地球表面上正对月球表面处向月球表面发射激光束，经过t＝2.565 s接收到反射回来的激光信号
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