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专题11二次函数与单线段最值问题-(学生版)-拔尖2023中考数学压轴题突破(全国通用)
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【例1】(2022•襄阳)在平面直角坐标系中,直线y=mx﹣2m与x轴,y轴分别交于A,B两点,顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C.
(1)如图,当m=2时,点P是抛物线CD段上的一个动点.
①求A,B,C,D四点的坐标;
②当△PAB面积最大时,求点P的坐标;
(2)在y轴上有一点M(0,m),当点C在线段MB上时,
①求m的取值范围;
②求线段BC长度的最大值.
【例2】(2022•湖州)如图1,已知在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是边长为3的正方形,其中顶点A,C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上.抛物线y=﹣x2+bx+c经过A,C两点,与x轴交于另一个点D.
(1)①求点A,B,C的坐标;
②求b,c的值.
(2)若点P是边BC上的一个动点,连结AP,过点P作PM⊥AP,交y轴于点M(如图2所示).当点P在BC上运动时,点M也随之运动.设BP=m,CM=n,试用含m的代数式表示n,并求出n的最大值.
【例3】(2021•青海)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与坐标轴交于A,B两点,点A在x轴上,点B在y轴上,C点的坐标为(1,0),抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)根据图象写出不等式ax2+(b﹣1 )x+c>2的解集;
(3)点P是抛物线上的一动点,过点P作直线AB的垂线段,垂足为Q点.当PQ=时,求P点的坐标.
【例4】(2022•雅安)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(﹣1,0),B(3,0),且与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标;
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E,使△ACE为Rt△,若存在,试求点E的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在平面直角坐标系中,存在点P,满足PA⊥PD,求线段PB的最小值.
1.(2020•河北模拟)已知抛物线C:y=ax2+bx+c(a>0,c<0)的对称轴为x=4,C为顶点,且A(2,0),C(4,﹣2)
【问题背景】求出抛物线C的解析式.
【尝试探索】如图2,作点C关于x轴的对称点C′,连接BC′,作直线x=k交BC′于点M,交抛物线C于点N.
①连接ND,若四边形MNDC′是平行四边形,求出k的值.
②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时,请直接写出线段MN的长度的最大值.
【拓展延伸】如图4,作矩形HGOE,且E(﹣3,0),H(﹣3,4),现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移,设运动时间为t,得到矩形H′G′O′E′,连接AC′,若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分,请求出t的取值范围.
2.(2018秋•宁城县期末)已知,如图,抛物线与x轴交点坐标为A(1,0),C(﹣3,0),
(1)如图1,已知顶点坐标D为(﹣1,4)或B点(0,3),选择适当方法求抛物线的解析式;
(2)如图2,在抛物线的对称轴DH上求作一点M,使△ABM的周长最小,并求出点M的坐标;
(3)如图3,将图2中的对称轴向左移动,交x轴于点P(m,0)(﹣3<m<﹣1),与抛物线,线段BC的交点分别为点E、F,用含m的代数式表示线段EF的长度,并求出当m为何值时,线段EF最长.
3.(2021•桥西区模拟)如图1,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1,0),B两点,与y轴交于点C,且CO=BO,连接BC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,求线段DE的长度;
(3)如图3,垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F,连接CP,CD,抛物线上是否存在点P,使△CDE∽△PCF,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由.
4.(2022•和平区二模)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线顶点A的坐标为(﹣2,4),且经过坐标原点,与x轴负半轴交于点B.
(1)求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标;
(2)过点A作AC⊥x轴于点C,若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点(点D与点A不重合),过点D作DE⊥x轴于点E,连接AO,DO,当以A,O,C为顶点的三角形与以D,O,E为顶点的三角形相似时,求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,当点D在第二象限时,在平面内存在一条直线,这条直线与抛物线在第二象限交于点F,在第三象限交于点G,且点A,点B,点D,到直线FG的距离都相等,请直接写出线段FG的长.
5.(2022•鹿城区校级二模)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(5,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标.
(2)连结AD,点E是对称轴与x轴的交点,过E作EF∥AD交抛物线于点F(F在E的右侧),过点F作FG∥x轴交ED于点H,交AD于点G,求HF的长.
6.(2021•南岗区模拟)如图,抛物线y=ax2+bx﹣4交x轴于点A(﹣3,0),B(4,0),交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为第一象限抛物线上一点,过点P作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点G,连接CG交x轴于点N,设点P的横坐标为t,ON的长为d,求d与t之间的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,连接PB,将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD,点D恰好落在y轴上,点E在线段OB上,连接PE,点Q在EB的延长线上,且EQ=PE,连接DQ交PE于点F,若PE=3PF,求QN的长.
7.(2021•凉山州模拟)如图1,在平面直角坐标系中,已知B点坐标为(1,0),且OA=OC=3OB,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过A,B,C三点,其中D点是该抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△ADC的形状并且求△ADC的面积;
(3)如图2,点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点,过P点作PE⊥AC于E点,当PE的值最大时,求此时P点的坐标及PE的最大值.
8.(2022•无锡二模)已知抛物线y=mx2﹣2mx+3(m<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=3OA.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点,且△BCN的面积总小于△BCM的面积,求点M的坐标;
(3)若D为抛物线的顶点,P为第二象限的抛物线上的一点,连接BP、DP,分别交y轴于点E、F,若EF=OC,求点P的坐标.
9.(2021•乳源县三模)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(5,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C(0,).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线的顶点,连接AM,CM,求△AMC的面积;
(3)若点P是抛物线上的一个动点,过点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为点F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
10.(2021•河池)在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣(x﹣1)2+4与x轴交于A,B两点(A在B的右侧),与y轴交于点C.
(1)求直线CA的解析式;
(2)如图,直线x=m与抛物线在第一象限交于点D,交CA于点E,交x轴于点F,DG⊥CA于点G,若E为GA的中点,求m的值.
(3)直线y=nx+n与抛物线交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,其中x1<x2.若x2﹣x1>3且y2﹣y1>0,结合函数图象,探究n的取值范围.
11.(2021•桂林)如图,已知抛物线y=a(x﹣3)(x+6)过点A(﹣1,5)和点B(﹣5,m),与x轴的正半轴交于点C.
(1)求a,m的值和点C的坐标;
(2)若点P是x轴上的点,连接PB,PA,当=时,求点P的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点M,使A,B两点到直线MC的距离相等?若存在,求出满足条件的点M的横坐标;若不存在,请说明理由.
12.(2021•吉林)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(0,﹣),点B(1,).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)当﹣2≤x≤2时,求二次函数y=x2+bx+c的最大值和最小值;
(3)点P为此函数图象上任意一点,其横坐标为m,过点P作PQ∥x轴,点Q的横坐标为﹣2m+1.已知点P与点Q不重合,且线段PQ的长度随m的增大而减小.
①求m的取值范围;
②当PQ≤7时,直接写出线段PQ与二次函数y=x2+bx+c(﹣2≤x<)的图象交点个数及对应的m的取值范围.
13.(2020•武汉模拟)已知:在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点(点A在点B的左边),交y轴负半轴于点C.
(1)则点A的坐标为 ,点B的坐标为 .
(2)如图1,过点A的直线y=ax+a交y轴正半轴于点F,交抛物线于点D,过点B作BE∥y轴交AD于E,求证:AF=DE.
(3)如图2,直线DE:y=kx+b与抛物线只有一个交点D,与对称轴交于点E,对称轴上存在点F,满足DF=FE.若a=1,求点F坐标.
14.(2020•哈尔滨模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点,连接AC,tanC=,5OA=3OB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t,连接BQ交y轴于点E,连接CQ、CB,△BCQ的面积为S,求S与t的函数解析式;
(3)已知点D是抛物线的顶点,连接CQ,DH所在直线是抛物线的对称轴,连接QH,若∠BQC=45°,HR∥x轴交抛物线于点R,HQ=HR,求点R的坐标.
15.(2019•衡阳)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.
(1)求该抛物线的函数关系表达式;
(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值?并求出这个最大值;
(3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB.请问:△MBN的面积是否存在最大值?若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.
16.(2020•天津)已知点A(1,0)是抛物线y=ax2+bx+m(a,b,m为常数,a≠0,m<0)与x轴的一个交点.
(Ⅰ)当a=1,m=﹣3时,求该抛物线的顶点坐标;
(Ⅱ)若抛物线与x轴的另一个交点为M(m,0),与y轴的交点为C,过点C作直线l平行于x轴,E是直线l上的动点,F是y轴上的动点,EF=2.
①当点E落在抛物线上(不与点C重合),且AE=EF时,求点F的坐标;
②取EF的中点N,当m为何值时,MN的最小值是?
17.(2020•凉山州)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象过O(0,0)、A(1,0)、B(,)三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D,求直线CD的解析式;
(3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P,过点P作PQ⊥x轴,交直线CD于Q,当线段PQ的长最大时,求点P的坐标.
18.(2020•滨州)如图,抛物线的顶点为A(h,﹣1),与y轴交于点B(0,﹣),点F(2,1)为其对称轴上的一个定点.
(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)已知直线l是过点C(0,﹣3)且垂直于y轴的定直线,若抛物线上的任意一点P(m,n)到直线l的距离为d,求证:PF=d;
(3)已知坐标平面内的点D(4,3),请在抛物线上找一点Q,使△DFQ的周长最小,并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标.
19.(2016•巴彦淖尔)如图所示,抛物线y=ax2﹣x+c经过原点O与点A(6,0)两点,过点A作AC⊥x轴,交直线y=2x﹣2于点C,且直线y=2x﹣2与x轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式,并求出点C和点D的坐标;
(2)求点A关于直线y=2x﹣2的对称点A′的坐标,并判断点A′是否在抛物线上,并说明理由;
(3)点P(x,y)是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段CA′于点Q,设线段PQ的长为l,求l与x的函数关系式及l的最大值.
20.(2018•葫芦岛)如图,抛物线y=ax2+4x+c(a≠0)经过点A(﹣1,0),点E(4,5),与y轴交于点B,连接AB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)将△ABO绕点O旋转,点B的对应点为点F.
①当点F落在直线AE上时,求点F的坐标和△ABF的面积;
②当点F到直线AE的距离为时,过点F作直线AE的平行线与抛物线相交,请直接写出交点的坐标.
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