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专题12二次函数与线段和(将军饮马型)最值问题-(学生版)-拔尖2023中考数学压轴题突破(全国通用)
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二次函数与将军饮马问题必备的基础模型有:
模型1:当两定点A、B在直线l同侧时,在直线l上找一点P,使得PA+PB最小.
作点B关于直线l的对称点B',连接AB'交直线l于点P,点P即为所求作的点.PA+PB的最小值为AB'
模型2:当两定点A、B在直线l同侧时,在直线l上找一点P,使得最大.
连接AB并延长交直线l于点P,点P即为所求作的点,的最大值为AB
模型3:当两定点A、B在直线l异侧时,在直线l上找一点P,使得最大.
作点B关于直线I的对称点B',连接AB'并延长交直线l于点P,点P即为所求作的点.的最大值为AB'
模型4:点P在∠AOB内部,在OB边上找点D,OA边上找点C,使得△PCD周长最小.
分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″,连接P′P″,交OA、OB于点C、D,点C、D即为所求.△PCD周长的最小值为P′P″
模型5:点P在∠AOB内部,在OB边上找点D,OA边上找点C,使得PD+CD最小.
作点P关于OB的对称点P′,过P′作P′C⊥OA交OB,PD+CD的最小值为P′C
【例1】(2022•黑龙江)如图,已知抛物线y=(x﹣2)(x+a)(a>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线过点M(﹣2,﹣2),求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,解答下列问题;
①求出△BCE的面积;
②在抛物线的对称轴上找一点H,使CH+EH的值最小,直接写出点H的坐标.
【例2】(2022•甘肃)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+3)(x﹣a)与x轴交于A,B(4,0)两点,点C在y轴上,且OC=OB,D,E分别是线段AC,AB上的动点(点D,E不与点A,B,C重合).
(1)求此抛物线的表达式;
(2)连接DE并延长交抛物线于点P,当DE⊥x轴,且AE=1时,求DP的长;
(3)连接BD.
①如图2,将△BCD沿x轴翻折得到△BFG,当点G在抛物线上时,求点G的坐标;
②如图3,连接CE,当CD=AE时,求BD+CE的最小值.
【例3】.(2022•达州)如图1,在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)连接BC,在该二次函数图象上是否存在点P,使∠PCB=∠ABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,直线l为该二次函数图象的对称轴,交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点,过点Q作直线AQ,BQ分别交直线l于点M,N,在点Q的运动过程中,EM+EN的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
【例4】.(2022•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a>0)的顶点为P,与x轴相交于点A(﹣1,0)和点B.
(Ⅰ)若b=﹣2,c=﹣3,
①求点P的坐标;
②直线x=m(m是常数,1<m<3)与抛物线相交于点M,与BP相交于点G,当MG取得最大值时,求点M,G的坐标;
(Ⅱ)若3b=2c,直线x=2与抛物线相交于点N,E是x轴的正半轴上的动点,F是y轴的负半轴上的动点,当PF+FE+EN的最小值为5时,求点E,F的坐标.
【例5】(2022•常德)如图,已知抛物线过点O(0,0),A(5,5),且它的对称轴为x=2,点B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当△OAB的面积为15时,求B的坐标;
(3)在(2)的条件下,P是抛物线上的动点,当PA﹣PB的值最大时,求P的坐标以及PA﹣PB的最大值.
1.(2022•滨城区二模)如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0),经过点A(﹣1,0),B(3,0)两点.
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标;
(2)连接AC、BC,N为抛物线上的点且在第四象限,当S△NBC=S△ABC时,求N点的坐标;
(3)在(2)问的条件下,过点C作直线l∥x轴,动点P(m,3)在直线l上,动点Q(m,0)在x轴上,连接
PM、PQ、NQ,当m为何值时,PM+PQ+QN最小,并求出PM+PQ+QN的最小值.
2.(2022•淮北模拟)已知抛物线l1:y=ax2+bx﹣2和直线l2:y=﹣x﹣均与x轴相交于点A,抛物线l1与x轴的另一个交点为点B(3,0).
(1)求a,b的值;
(2)将抛物线l1向右平移h个单位长度,使其顶点C落在直线l2上,求h的值;
(3)设抛物线l1和直线l2的另一个交点为点D,点P为抛物线上一个动点,且点P在线段AD的下方(点P不与点A,D重合),过点P分别作x轴和y轴的平行线,交直线l2于点M,N,记W=PM+PN,求W的最大值.
3.(2022•南宁一模)如图1所示抛物线与x轴交于O,A两点,OA=6,其顶点与x轴的距离是6.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线上,过点P的直线y=x+m与抛物线的对称轴交于点Q.
①当△POQ与△PAQ的面积之比为1:3时,求m的值;
②如图2,当点P在x轴下方的抛物线上时,过点B(3,3)的直线AB与直线PQ交于点C,求PC+CQ的最大值.
4.(2022•成都模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴,x轴分别相交于A(0,2),B(2,0),C(4,0)三点,点D是二次函数图象的顶点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)点P为抛物线上异于点B的一点,连接AC,若S△ACP=S△ACB,求点P的坐标;
(3)M是第四象限内一动点,且∠AMB=45°,连接MD,MC,求2MD+MC的最小值.
5.(2022•成都模拟)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=a(x﹣1)(x+3)的图象与x轴交于点A,B(A在B的左边),且经过点C(﹣2,3),P为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及点P的坐标;
(2)平面内一动点H自点C出发,先到达x轴上的某点M,再到达y轴上某点N,最后运动到点P,求使点H运动的总路径最短的点M,点N的坐标,并求出这个最短总路径的长;
(3)如图2,过点C的直线l与抛物线有唯一的公共点,将直线l向下平移交抛物线于D,E两点,连BD交y轴正半轴于F,连BE交y轴负半轴于G,试判断|OF﹣OG|是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
6.(2022•沈阳模拟)定义:在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的“衍生直线”为y=﹣ax+b,有一个顶点在抛物线上,另一个顶点在“衍生直线”上的三角形为该抛物线的“衍生三角形”.
如图1,已知抛物线y=﹣x2+2x+3与其“衍生直线”交于A,D两点(点A在点D的左侧),与x轴正半轴相交于点B,与y轴正半轴相交于点C,点P为抛物线的顶点.
(1)填空:该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ;B的坐标为 ;D的坐标为 .
(2)如图1,动点E在线段AB上,连接DE,DB,将△BDE以DE所在直线为对称轴翻折,点B的对称点为F,若三角形△DEF为该抛物线的“衍生三角形”,且F不在抛物线上,求点F坐标.
(3)抛物线的“衍生直线”上存在两点M,N(点M在点N的上方),且MN=,连接PM,CN,当PM+MN+CN最短时,请直接写出此时点N的坐标.
7.(2022•沈阳模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+(a≠0)经过点A(3,2)和点B(4,﹣),且与y轴交于点C.
(1)分别求抛物线和直线BC的解析式;
(2)在x轴上有一动点G,抛物线上有一动点H,是否存在以O,A,G,H为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点H的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点,过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E,点P为对称轴上一动点,当线段DE的长度最大时,求PD+PA的最小值.
8.(2022•沈河区二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)和B(点B在A的右侧),与y轴交于点C(0,2),点P是抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接AP,与y轴交于点D,连接BD,当△BOD≌△COA时,求点P的坐标;
(3)连接OP,与线段BC交于点E,点Q是x轴正半轴上一点,且CE=BQ,当OE+CQ的值最小时,请直接写出点Q的坐标.
9.(2022•邵阳县模拟)如图,直线l:y=﹣3x﹣6与x轴、y轴分别相交于点A、C;经过点A、C的抛物线C:与x轴的另一个交点为点B,其顶点为点D,对称轴与x轴相交于点E.
(1)求抛物线C的对称轴.
(2)将直线l向右平移得到直线l1.
①如图①,直线l1与抛物线C的对称轴DE相交于点P,要使PB+PC的值最小,求直线l1的解析式.
②如图 ②,直线l1与直线BC相交于点F,直线l1上是否存在点M,使得以点A、C、F、M为顶点的四边形是菱形,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
10.(2021•越秀区校级二模)在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴是直线x=与x轴的交点为点A,且经过点B、C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M为抛物线对称轴上一动点,当|BM﹣CM|的值最小时,求出点M的坐标;
(3)抛物线上是否存在点N,过点N作NH⊥x轴于点H,使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
11.(2022•立山区一模)已知点A(﹣2,0),B(3,0),抛物线y=ax2+bx+4过A,B两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是线段AC上一动点(不与C点重合),作PQ⊥BC交抛物线于点Q,PH⊥x轴于点H.
①连结CQ,BQ,PB,当四边形PCQB的面积为时,求P点的坐标;
②直接写出PH+PQ的取值范围.
12.(2021•招远市一模)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.
(1)抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
(4)设点M的坐标为(3,m),直接写出使MN+MD的和最小时m的值.
13.(2021•桓台县二模)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A,B两点,点A,B的坐标分别为(﹣1,0),(3,0),点M为顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点M作y轴的垂线,垂足为C,过点B作y轴的平行线,交CM于点D,点H为OC上的任一点,将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP.求∠PCD的度数;
(3)在(2)的条件下,将点H改为y轴上的一动点,连接OP,BP,求OP+BP的最小值.
14.(2021•成都模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点D为第一象限内抛物线上的一动点,作DE⊥x轴于点E,交BC于点F,过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G,H,设点D的横坐标为m.
①求DF+HF的最大值;
②连接EG,若∠GEH=45°,求m的值.
15.(2020•朝阳)如图,抛物线y=﹣+bx+c与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,抛物线的对称轴为直线x=﹣1,点C坐标为(0,4).
(1)求抛物线表达式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使∠ABP=∠BCO,如果存在,求出点P坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若点P在x轴上方,点M是直线BP上方抛物线上的一个动点,求点M到直线BP的最大距离;
(4)点G是线段AC上的动点,点H是线段BC上的动点,点Q是线段AB上的动点,三个动点都不与点A,B,C重合,连接GH,GQ,HQ,得到△GHQ,直接写出△GHQ周长的最小值.
16.(2021•大庆)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A,且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2,1).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)抛物线的对称轴上存在定点F,使得抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y=﹣2的距离总相等.
①证明上述结论并求出点F的坐标;
②过点F的直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于M,N两点.
证明:当直线l绕点F旋转时,+是定值,并求出该定值;
(3)点C(3,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQBC周长最小,直接写出P,Q的坐标.
17.(2020•滨州)如图,抛物线的顶点为A(h,﹣1),与y轴交于点B(0,﹣),点F(2,1)为其对称轴上的一个定点.
(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)已知直线l是过点C(0,﹣3)且垂直于y轴的定直线,若抛物线上的任意一点P(m,n)到直线l的距离为d,求证:PF=d;
(3)已知坐标平面内的点D(4,3),请在抛物线上找一点Q,使△DFQ的周长最小,并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标.
18.(2018•贺州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,与y轴交于C(0,3),抛物线的顶点坐标为D(﹣1,4).
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)过点D作直线DE∥y轴,交x轴于点E,点P是抛物线上B、D两点间的一个动点(点P不与B、D两点重合),PA、PB与直线DE分别交于点F、G,当点P运动时,EF+EG是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.
19.(2018•烟台)如图1,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣4,0),B(1,0)两点,过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C,D.
(1)求直线和抛物线的表达式;
(2)动点P从点O出发,在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,△PDC为直角三角形?请直接写出所有满足条件的t的值;
(3)如图2,将直线BD沿y轴向下平移4个单位后,与x轴,y轴分别交于E,F两点,在抛物线的对称轴上是否存在点M,在直线EF上是否存在点N,使DM+MN的值最小?若存在,求出其最小值及点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.
20.(2018•湘潭)如图,点P为抛物线y=x2上一动点.
(1)若抛物线y=x2是由抛物线y=(x+2)2﹣1通过图象平移得到的,请写出平移的过程;
(2)若直线l经过y轴上一点N,且平行于x轴,点N的坐标为(0,﹣1),过点P作PM⊥l于M.
①问题探究:如图一,在对称轴上是否存在一定点F,使得PM=PF恒成立?若存在,求出点F的坐标:若不存在,请说明理由.
②问题解决:如图二,若点Q的坐标为(1,5),求QP+PF的最小值.
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