专题15二次函数与角综合问题-（学生版）-拔尖2023中考数学压轴题突破（全国通用）

这是一份专题15二次函数与角综合问题-（学生版）-拔尖2023中考数学压轴题突破（全国通用），共16页。试卷主要包含了角的数量关系问题，角的最值问题等内容，欢迎下载使用。

二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型：
特殊角问题：
利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系
遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形
2.角的数量关系问题
（1）等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决
（2）二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答
（3）角的和差问题
3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答
【例1】（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求△BCE的面积；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【例2】（2022•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【例3】．（2022•鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【例4】（2022•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．
1．（2022•江岸区模拟）已知：抛物线y＝﹣（x+k）（x﹣7）交x轴于A、B（A左B右），交y轴正半轴于点C，且OB＝OC．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，连接AP，AP交y轴于点D，设P的横坐标为m，CD的长为d，求d与m的函数解析式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点P作PE⊥y轴于点E，延长EP至点G，使得PG＝3CE，连接CG交AP于点F，且∠AFC＝45°，连接AG交抛物线于T，求点T的坐标．
2．（2022•沈阳模拟）如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；
（3）点P为抛物线上的一动点，且∠ACP＝45°﹣∠BAC，请直接写出满足条件的点P的坐标．
3．（2022•沈阳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边），点A坐标为（1，0），抛物线与y轴交于点C，S△ABC＝3．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P（x，y）是抛物线上一动点，且x＞3．作PN⊥BC于N，设PN＝d，求d与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过点A作PC的平行线交y轴于点F，连接BF，在直线AF上取点E，连接PE，使PE＝2BF，且∠PEF+∠BFE＝180°，请直接写出P点坐标．
4．（2022•成都模拟）如图，已知抛物线表达式为y＝ax2﹣ax﹣2a+1（a≠0），直线y＝x+与坐标轴交于点A，B．
（1）若该抛物线过原点，求抛物线的表达式．
（2）试说明无论a为何值，抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．点P为两定点所在直线上的动点，当点P到点A的距离和到直线AB的距离之和最小时，求点P的坐标；
（3）点N是抛物线上一动点，点M（﹣4，0），且∠NMA+∠OBA＝90°，若满足条件的点N的个数恰好为3个，求a的值．
5．（2022•成都模拟）如图1所示，直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C（1，2）在经过点A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段AB上（不与端点重合）的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ+PB取得最大值时点P的坐标；
（3）如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且G（﹣1，0），直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD+∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标．
6．（2022•洪山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），与直线l：y＝k（x﹣3）+3（k＞0）交于D，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD，若△BDE的面积为6，求k的值；
（3）如图2，若直线l与抛物线交于M，N两点，与BC交于点P，且∠MBC＝∠NBC．求P点的坐标．
7．（2022•洪山区模拟）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的正半轴交于C点，△ABC的面积为6．
（1）直接写出点A、B的坐标为 ；抛物线的解析式为 ．
（2）如图1，连结AC，若在第一象限抛物线上存在点D，使点D到直线AC的距离为，求点D的坐标；
（3）如图2，平行于AC的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQ⊥y轴时，PQ恰好平分∠MPN，求P点坐标．
8．（2022•泰安模拟）如图，抛物线y＝mx2+3mx﹣2m+1的图象经过点C，交x轴于点A（x1，0），B（x2，0）（点A在点B左侧），且x2﹣x1＝5，连接BC，D是AC上方的抛物线一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，CD，S△DCE：S△BCE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）第二象限内抛物线上是否存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标，若不存在，请说明理由．
9．（2022•青山区模拟）抛物线y＝x2+（t﹣2）x﹣2t（t＞0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于点 C．
（1）直接写出A点坐标 、B点坐标 、C点坐标 ；
（2）如图1，直线y＝kx+b与抛物线交于M、N两点（M不与A重合，M在N左边），连接MA，作NH⊥x轴于点H，过点H作HP∥MA交y轴于点P，PH交MN于点Q，求点Q的横坐标；
（3）如图2，直线y＝d（d＞0）与抛物线交于第二象限点D，若∠ADB＝45°，求d﹣t的值．
10．（2022•丹阳市二模）如图所示，抛物线y＝﹣x2+bx+3经过点B（3，0），与x轴交于另一点A，与y轴交于点C．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）如图，设点D是x轴正半轴上一个动点，过点D作直线l⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，连接AC、FC．
①若点F在第一象限内，当∠BCF＝∠BCA时，求点F的坐标；
②若∠ACO+∠FCB＝45°，则点F的横坐标为 ．
11．（2022•东港区校级一模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图2，M是x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标；
（3）如图3，连接AC、BC，在抛物线上是否存在一点N（不与点A重合），使得∠BCN＝∠ACB？若存在，求点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2022•宁津县模拟）如图，抛物线与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，对称轴PD交AB与点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，试探究：线段BC上是否存在点M，使∠EMO＝∠ABC，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，点Q是抛物线的对称轴PD上一点，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
13．（2022•南山区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a﹣1不为整数）的顶点D（，），AB⊥BC．
（1）直接得出抛物线解析式．
（2）如图1所示，点P为抛物线一动点，∠PBC＝3∠ABO，求xP；
（3）如图2，延长DB交x轴于点E，EF平分∠BEO，交线段AB于点F．x轴正半轴有一点S，且AS＝12EF．过点F作FG∥x轴，交抛物线的对称轴于点G．该对称轴交x轴于点H．过点G作线段IM、NQ，且NH＝MH＝IH＝QH．线段IQ交直线FG于点R，若线段MN恰好交FG于点F．那么请求出R点坐标．并试问∠EFA与∠RSE是否存在倍数关系？若存在，请分别求出它们的角度大小并写出存在的倍数关系；若不存在，请说明理由．
14．（2022•大连二模）抛物线y＝x2﹣4x+c与直线I：y＝kx交于点G（1，m）和点H，﹣1≤m＜0，直线x＝m﹣1交直线l于点A，交抛物线于点B．
（1）求c和k的值（用含m的代数式表示）；
（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段BD的中点，探究∠MEN与∠ABC的数量关系，并说明理由．
15．（2022•新抚区模拟）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣2，0），B（2，2）两点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求抛物线与直线AB的解析式；
（2）点P在抛物线上，直线PC交x轴于Q，连接PB，当△PBC的面积是△ACQ面积的2倍时，求点P的坐标；
（3）点M为坐标轴上的动点，当∠AMB＝45°时，直接写出点M的坐标．
16．（2022•铁岭模拟）如图1，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2．
（1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；
（2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB＝2∠ACO，求点的坐标．
17．（2022•平房区二模）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4经过B、C两点，OB＝4OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，垂足为N，连接PC交x轴于点E，设点P的横坐标为t，△PCD的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点P作PF⊥PC交y轴于点F，PF＝PE．点G在抛物线上，连接PG，∠CPG＝45°，连接BG，求直线BG的解析式．
18．（2022•新民市一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，2），B（8，0），点D是第一象限抛物线上的一点，CD⊥AB于点C．
（1）直接写出抛物线的表达式 ；
（2）如图1，当CD取得最大值时，求点D的坐标，并求CD的最大值；
（3）如图2，点D满足（2）的条件，点P在x轴上，且∠APD＝45°，直接写出点P的横坐标 ．
19．（2022•大庆二模）如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知点B（3，0）．
（1）求直线BC及抛物线的函数表达式；
（2）P为x轴上方抛物线上一点．
①若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；
②如图，PD∥y轴交BC于点D，DE∥x轴交AC于点E，求PD+DE的最大值；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
20．（2022•运城二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于点A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线PE∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点F，以PD为斜边，在PD的右侧作等腰直角△PDF．
（1）求抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式；
（2）设点P的横坐标为m（0＜m＜3），在点P运动的过程中，当等腰直角△PDF的面积为9时，请求出m的值；
（3）连接AC，该抛物线上是否存在一点M，使∠ACO+∠BCM＝∠ABC，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（2022•永安市模拟）已知二次函数y＝x2+（k﹣2）x﹣2k．
（1）当此二次函数的图象与x轴只有一个交点时，求该二次函数的解析式；
（2）当k＞0时，直线y＝kx十2交抛物线于A，B两点（点A在点B的左侧），点P在线段AB上，过点P做PM垂直x轴于点M，交抛物线于点N．
①求PN的最大值（用含k的代数式表示）；
②若抛物线与x轴交于E，F两点，点E在点F的左侧．在直线y＝kx+2上是否存在唯一一点Q，使得∠EQO＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
22．（2022•南岗区三模）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，经过点B（3，6）的抛物线与x轴的正半轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，且点P在抛物线对称轴的右侧，连接OP，AP，设点P的横坐标为t，△OPA的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，当时，连接BP，点C为线段OA上的一点，过点C作x轴的垂线交BP的延长线于点D，连接OD，BC，若，求点C的坐标．
23．（2022•同安区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A（﹣1，0）和C（0，3），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求a、b满足的关系式；
（2）对于抛物线上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当y1＝y2时，恒有|x1﹣1|＝|x2﹣1|．
①求抛物线解析式；
②AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使得∠OPB＝∠AHB．若存在，求出一个符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2022•伊宁市模拟）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点M是第一象限内抛物线上一动点，过点M作MF⊥x轴于点F，作ME⊥y轴于点E，当矩形MEOF周长最大时，求M点坐标．
（3）如图2，点P是该抛物线上一动点，连接PC，AC，直接写出使得∠PCB＝∠ACO时点P的坐标．