专题19二次函数与平移变换综合问题-（学生版）-拔尖2023中考数学压轴题突破（全国通用）

这是一份专题19二次函数与平移变换综合问题-（学生版）-拔尖2023中考数学压轴题突破（全国通用），共12页。

【例1】．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．
（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；
（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．
【例2】．（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；
（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝ ，实数k的取值范围是 ；
（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求∠ACB的度数．
【例3】．（2022•连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．
（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；
（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．
【例4】．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；
（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．
【例5】．（2022•镇江）一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A、原点O和一次函数y＝x+1图象上的点B（m，）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，一次函数y＝x+n（n＞﹣，n≠1）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F．
①x1＝ ，x2＝ （分别用含n的代数式表示）；
②证明：AE＝BF；
（3）如图2，二次函数y＝a（x﹣t）2+2的图象是由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象平移后得到的，且与一次函数y＝x+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N．
①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由；
②若A′M+3B′N＝2，求t的值．
一．解答题（共20题）
1．（2022秋•临海市月考）如图，以A（3，0），为顶点的抛物线交y轴于点B（0，4）
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点C（7，4）是否也在这个抛物线上？
（3）你能否通过左右平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点C（7，4）？若能，请写出平移的方法．
2．（2022秋•江夏区月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，2）．
（1）抛物线顶点位于y轴右侧且纵坐标为6．①求抛物线的解析式．②如图1，直线y＝﹣x+4与抛物线交于B、C两点，P为线段BC上一点，过P作PM∥y轴交抛物线于M点．若PM＝3，求P点的坐标．
（2）将抛物线平移，使点A的对应点为A'（m+1，b+4），其中m≠2．若平移后的抛物线经过点N（2，1），平移后的抛物线顶点恰好落在直线y＝x+5上，求b的值．
3．（2022•湖里区二模）抛物线y＝ax2+bx+1与x轴仅有一个交点A（m，0），与y轴交于点B，过点B的直线BC⊥AB交x轴于点M，BC＝kAB．
（1）用含b的式子表示m；
（2）若四边形AMBE是平行四边形，且点E在抛物线上，求抛物线的解析式；
（3）已知点C在抛物线上，且m＞0，k＝4，将抛物线y＝ax2+bx+1平移，若点M在平移后的抛物线上，判断平移后的抛物线是否经过点C？若经过，请说明抛物线平移的方式；若不经过，请说明理由．
4．（2022•上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）．
ⅰ．如果S△OBP＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；
ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标．
5．（2022•青浦区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P为抛物线上一点，且在x轴下方，联结PA．当∠PAB＝∠ACO时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当AQ平分∠PAC时，求抛物线平移的距离．
6．（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2022•雁塔区校级模拟）已知抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P是直线y＝x+1上的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L'，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．
8．（2022•渭滨区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣+bx2+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
9．（2021秋•普兰店区期末）抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位于第一象限．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标；
（3）将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．
10．（2022•碑林区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．
11．（2022•静安区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是（2，4），点B在x轴上，OB＝AB（如图所示），二次函数的图象经过点O、A、B三点，顶点为D．
（1）求点B与点D的坐标；
（2）求二次函数图象的对称轴与线段AB的交点E的坐标；
（3）二次函数的图象经过平移后，点A落在原二次函数图象的对称轴上，点D落在线段AB上，求图象平移后得到的二次函数解析式．
12．（2022•富阳区二模）设二次函数y＝（x﹣a）（x﹣a+2），其中a为实数．
（1）若二次函数的图象经过点P（2，﹣1），求二次函数的表达式；
（2）把二次函数的图象向上平移k个单位，使图象与x轴无交点，求k的取值范围；
（3）若二次函数的图象经过点A（m，t），点B（n，t），设|m﹣n|＝d（d≥2），求t的最小值．
13．（2022•宁波模拟）已知二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示．
（1）求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．
（2）向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
14．（2022•宁波模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m为常数）的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C．
（1）若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求m的值．
（2）①若P（m﹣3，y1），Q（m+2，y2）在已知的二次函数图象上，比较y1，y2的大小；
②求△ABC的面积．
15．（2022•吴兴区一模）如图已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC．
（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标：
（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线AC上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．
16．（2022•南宁模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0），且c＝﹣3a．
（1）若a＝﹣1，求该二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）在（1）的条件下，求出下表中k、n的值，并在以下平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；根据图象回答：当0≤x≤2时，直接写出y的最小值．
（3）当﹣3＜x＜0时，y有最小值﹣4，若将该二次函数的图象向右平移m（m＞1）个单位长度，平移后得到的图象所对应的函数y'在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3，求函数y＝ax+m的解析式．
17．（2022•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．
（1）直接写出这个二次函数的解析式；
（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；
（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
18．（2022•洞头区模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），交x轴于点B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式，并根据该图象直接写出y＞3时x的取值范围．
（2）将线段OB向左平移m个单位，向上平移n个单位至O'B'（m，n均为正数），若点O'，B'均落在此二次函数图象上，求m，n的值．
19．（2022•桥西区校级模拟）如图，抛物线，点Q为顶点．
（1）无论a为何值，抛物线L总过一个定点为 ；
（2）若抛物线的对称轴为直线x＝1．
①求该抛物线L的表达式和点Q的坐标；
②将抛物线L向下平移k（k＞0）个单位长度，使点Q落在点A处，平移后的抛物线与y轴交于点B．若QA＝QB，求k的值；
（3）当a＝2时，点M（m，n）为抛物线上一点，点M到y轴的距离不超过2，直接写出n的取值范围．
20．（2022•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+PM的最小值．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
0
﹣5
﹣12
…
x
…
﹣1
0
1
…
y
…
4
k
n
…