中考数学 一次函数和反比例函数综合问题（3易错7题型）（原卷版）

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目录
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一次函数和反比例函数是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容.每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分.
1．从考点频率看，一次函数和反比例函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点，所以对一次函数和反比例函数的图象和性质必须熟记.
2．从题型角度看，以解答题的第三题或第四题为主，分值8分左右，着实不少！
易错点一 一次函数与反比例函数中由面积求点坐标
【例1】（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，与反比例函数的图象的一个交点为，过点作的垂线．
(1)求点的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点在直线上，且的面积为5，求点的坐标；
【答案】(1)，
(2)点C的坐标为或
【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；
（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；
【详解】（1）解：令，则
∴点A的坐标为，
将点代入得：
解得：
∴
将点代入得：
解得：
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，

令解得：
∴，
∴，
又∵，
∴
∵，
∴
又∵直线l是的垂线即，，
∴，
∴
设直线l的解析式是：，
将点，点代入得：
解得：
∴直线l的解析式是：，
设点C的坐标是
∵，(分别代表点B与点C的横坐标)
解得： 或6，
当时，；
当时，，
∴点C的坐标为或
本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，综合性较强，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
【例2】（2024·甘肃陇南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：
（1）先把点A坐标代入一次函数解析式中求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出点C的坐标，进而求出的面积，进而根据三角形面积公式求出点P的纵坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入中得：，
解得，
∴，
把代入中得：，
解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
当时，，
∴点P的坐标为或．
【例3】（2024·山东济宁·一模）如图，点，是反比例函数的图象上的两点，连接、．
(1)求的值；
(2)求的面积；
(3)若点的坐标为，点是反比例函数图象上的点，若的面积等于面积的3倍，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)的面积为
(3)点的坐标为或
【分析】
（1）将点，代入，求出，将点代入，即可求解，
（2）由反比例函数的几何意义得，由，可得，即可求解，
（3）设点坐标为，作轴，用含的代数式表示出的长度，代入，即可求解，
本题考查了求反比函数解析式，反比例函数的几何意义，求特殊图形的面积，解题的关键是：熟练应用数形结合的思想．
【详解】（1）解：∵点，是反比例函数的图象上的两点，
∴，解得：，
∴反比例函数解析式为：，
∴，解得：，
故答案为：，
（2）解：过点，，作轴，轴，垂足分别为，，
由（1）可知，点，是反比例函数的图象上的两点，
∴，，,，，
∵，
∴，
故答案为：的面积为，
（3）解：设点坐标为，过点，作轴，垂足为，
∴，，
∴，
即：，解得：或，
∴或，
故答案为：点的坐标为或．
易错点二 一次函数中平移问题
【例1】（2024·河北邯郸·二模）如图，直线与轴，轴交于点，点，直线与轴，轴交于点，点．
(1)求点的坐标及直线的解析式；
(2)点在直线上．
①直接写出直线的解析式；
②若点在内部（含边界），求的取值范围；
③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线向上平移个单位长度（为整数），直线在第二象限恰有4个整点，直接写出的值．
【答案】(1)，；
(2)①；②；③3．
【分析】本题是一道一次函数综合问题，考查了求一次函数的解析式；已知点在直线上的求点的坐标等，需要有解决一次函数的综合能力．
（1）令，，得到点A的坐标为，利用，求得点C的坐标为，利用待定系数法即可求解；
（2）①直接写出直线的解析式即可；
②联立，分别求得直线与、的交点坐标，据此即可求解；
③求得，当、1、2，求得直线在第二象限整点个数，即可求解．
【详解】（1）解：令，则
∴点的坐标为，则．
点的坐标为，
设直线的解析式为，把坐标代入，得
∴直线的解析式为；
（2）①点在直线上，
直线的解析式为；
②令，则，令，则．
解方程组，
得
解方程组得
∵点在内部（含边界），
的取值范围是；
③将直线向上平移个单位长度，则平移后的直线解析式为，
直线在第二象限，则，
解得，当为奇数时，为整数．
当时，，则可取一个点；
当时，，则可取两个点；
当时，，则可取三个点；
当时， ，则可取四个点．
∴的值为3．
本题是一道一次函数综合问题，考查了求一次函数的解析式；一次函数的上加下减原则；已知点在直线上的求点的坐标等，需要有解决一次函数的综合能力．
【例2】（2024·河北石家庄·一模）如图，平面直角坐标系中，线段的端点为，．直线与轴，轴分别交于，两点，动点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，设移动时间为秒．某同学设计了一个动画：线段为蓝色光带，当有动点或动直线经过线段时，蓝色光带会变成红色．

(1)求直线的解析式；
(2)①若直线随点向下平移，当时，蓝色光带是否变红？
②点是直线上的一点，若点向下平移4个单位长度的过程中，能使蓝色光带变红，求点的横坐标的取值范围；
(3)当点，点与蓝色光带上的点三点共线时，直接写出与的函数关系式．
【答案】(1)直线的解析式为；
(2)①蓝色光带会变红，理由见解析；②的取值范围为；
(3)．
【分析】本题考查了一次函数平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求出一次函数解析式，
（2）①根据条件可得向上平移后得到的新直线，代入验证即可②找出平移后各点坐标即可求解；
（3）三点所在直线的解析式为，分别用点P、Q表示，即可得出
【详解】（1）设直线的解析式为，
直线过，，
，解得：
直线的解析式为；
（2）蓝色光带会变红，理由如下∶
直线l的解析式为，
当时，，
点D的坐标为，
又 时，
点P运动到，
直线l平移，
设平移后的表达式为，
把代入表达式得，
此时直线的解析式为，
当时，，
点在直线上，
蓝色光带会变红；
②点是直线上的一点，
设，
，
当时，
向下平移4个单位长度后，
经过线段，
当向下平移4个单位长度后，此时刚好在线段上，
即，
，
点的横坐标的取值范围为；
（3），，三点共线，
，
设三点所在直线的解析式为，
，
解得：，
点P所在直线的解析式为，
把点Q代入得，
化简得：
易错点三 一次函数与反比例函数中求线段和的最小值问题
【例1】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求此反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的综合，线段和的最小值．
（1）把点代入一次函数，即可得出，再把点坐标代入反比例函数，即可得出，两个函数解析式联立求得点坐标；
（2）作点作关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小，然后根据勾股定理即可求得．
【详解】（1）解：把点代入一次函数，
得，
解得，
∴，
点代入反比例函数，
得，
∴反比例函数的表达式,
两个函数解析式联立列方程组得，
解得或，
∴点B坐标．
（2）解：作点关于y轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小
则的最小值．
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称最短路径问题，灵活运用所学知识是解题的关键．
【例2】（2023·辽宁盘锦·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．

(1)求此反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出的取值范围；
(3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长．
【答案】(1)，
(2)或
(3)点的坐标为，
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称最短路径问题，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）先把点坐标代入一次函数解析式求出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再联立一次函数与反比例函数解析式即可求出点的坐标；
（2）利用图象法求解即可；
（3）如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，再求出直线的解析式即可求出点的坐标，由，，，可求出、的值，最后根据的周长为．
【详解】（1）解：点在一次函数的图象上，
，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为，
联立，
解得： 或，
；
（2）观察函数图象可知：当或时，一次函数的图象在的图象的下方，
当反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围为：或；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，如图所示．
点，
点，
设直线的表达式为，
则，解得：，
直线的表达式为，
在中，令，则，
点，
，，，
，，
的周长为．

题型一 一次函数的图象和性质
【例1】（2024·浙江·模拟预测）已知点，在一次函数的图像上．
(1)用含有，，，的代数式表示的值．
(2)若，，．试比较和的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】
本题考查一次函数的性质以及一次函数图像上点的坐标特征，
（1）由一次函数图像上点的坐标特征即可得出、，二者做差即可得出，再结合即可求出值；
（2）由，，即可得出，用函数的代数式表示出值，根据的取值范围即可得出，结合一次函数的增减性及即可得出结论；
解题的关键是：（1）找出；（2）根据的取值范围找出．
【详解】（1）
解：∵点，在一次函数的图像上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）
，理由如下：
∵
又∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴一次函数中随的增大而减小．
又∵，
∴．
本题考查一次函数的性质以及一次函数图像上点的坐标特征.
【例2】（2024·浙江杭州·一模）设一次函数（是常数，）．
(1)无论取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标：
(2)若时，该一次函数的最大值是6，求的值．
【答案】(1)定点
(2)
【分析】
本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
（1）变形，即可确定定点坐标；
（2）当时，根据一次函数的增减性可知当时，一次函数取得最大值6；当时，根据一次函数的增减性可知当时，一次函数取得最大值6，分别求解即可．
【详解】（1）解：一次函数，
当时，，
无论取何值，该一次函数图象始终过定点；
（2）解：当时，当时，一次函数，
解得，
当时，当时，一次函数，
解得（不合题意，舍去），
综上，．
1．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象经过点，，与x轴交于点A．
(1)求该一次函数的表达式及点A的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数（）的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．
（1）先利用待定系数法求出函数解析式为，然后计算自变量为0时对应的函数值得到点坐标；
（2）当函数与轴的交点在点（含点）上方时，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值．
【详解】（1）
解：一次函数的图象经过点，，
，解得，
该一次函数的表达式为，
令，得，
，
；
（2）
解：当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
，
．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数．
(1)已知关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，试说明一次函数的图象过第一和第二象限．
(2)在（1）的条件下，已知另一函数的图象与y1图象的交点在第四象限，求不等式的解．
【答案】(1)见解析
(2)不等式的解集为．
【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，求一元一次不等式的解集．
（1）关于x的一元二次方程的解，可看作抛物线与直线的交点，判断出，据此即可说明结论成立；
（2）根据两直线的交点情况求得，，推出，由，得到，据此求解即可．
【详解】（1）
解：∵关于x的一元二次方程的解，可看作抛物线与直线的交点，
根据题意得，抛物线与直线必有两个不同的交点，
∴，
∴一次函数的图象过第一和第二象限；
（2）解：∵，，
∴直线一定经过第一、三象限，
∵直线与y1图象的交点在第四象限，
∴直线一定经过第一、三、四象限，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
∴，
即不等式的解集为．
题型二 反比例函数的图象和性质
【例1】（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数．
(1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)若点在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查反比例的性质，
根据反比例函数得性质得，求解不等式即可；
将点A代入可求得，整体代入即可反比例函数解析式．
【详解】（1）解：∵该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，
∴，
解得；
（2）∵点在反比例函数图象上，
∴，
则，
故反比例函数解析式为．
本题考查了反比例函数的图象和性质.
1．（2024·福建南平·一模）反比例函数图象经过点，．
(1)求的值；
(2)若点在反比例函数图象上，其中，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了反比例函数的解析式求解以及增减性，掌握相关结论是解题关键．
（1）根据题意可得，据此即可求解；
（2）根据反比例函数的增减性即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过点，
∴
∴
（2）解：∵点在反比例函数图象上，其中，
当时，
∵，在每一个象限内y随x的增大而减小.
∴当时，有或．
题型三 一次函数和反比例函数与不等式综合问题
【例1】（2024·贵州毕节·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于和两点，与x轴交于点C．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
(2)．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题．
（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入可求出反比例函数的关系式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的关系式即可；
（2）根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出一次函数大于反比例函数的值的的取值范围．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
又在反比例函数的图象上，
，
点，
由于直线过点，，
解得
一次函数的解析式为；
（2）解：由图可知，不等式的解集为．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题．根据反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求出一次函数的关系式即可；根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出一次函数大于反比例函数的值的的取值范围．
【例2】（2024·陕西宝鸡·一模）如图所示，一次函数图象与反比例函数图象相交于点和点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)当时，求x的取值范围．
【答案】(1)反比例函数的解析式为
(2)x的取值范围为或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键；
（1）把代入反比例函数的解析式即可求解；
（2）由函数与不等式的关系，根据一次函数图象在反比例图象上方，可得答案．
【详解】（1）解：把代入反比例函数得：，解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）把代入得，，解得，
∴，
观察图象可得，当时，x的取值范围为或．
1．（2024·山西朔州·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于，两点．

(1)求的值及一次函数的表达式．
(2)直接写出当时，的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数，解题的关键是掌握反比例函数和一次函数得相关性质．
（1）先求出反比例函数得解析式，再把代入反比例函数解析式即可求出m，将点A，B坐标代入，即可求出解析式；
（2）由交点坐标可知，再由反比例函数和一次函数的性质即可得答案．
【详解】（1）解：反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，
把代入反比例函数得
反比例函数的表达式为，
把代入得，
把，代入得：
，解得，
一次函数的表达式为；
（2）由图像和反比例函数和一次函数的性质可知：
当或时，，
当或时，，
当时，，
所以，当时， 的取值范围为或．
2．（2024·江西九江·一模）如图一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
(1)求一次函数的解析式；
(2)结合图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)一次函数的解析式为
(2)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）图像法解不等式即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
∴，
∴，
∴，，
∴，解得：，
∴；
（2）由图象可知：不等式的解集为或．
3．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)若为x轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】主要考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集．
（1）利用一次函数求出，问题随之得解；
（2）反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可；
（3）先求出，表示出，根据的面积为，表示出，解方程即可求解．
【详解】（1）解：函数的图象经过，
，解得：，
，
，
反比例函数表达式为：；
（2）函数的图象经过，
，
，
由图可得，不等式的解集是：或；
（3）如图：
在中， 当时，得，
解得：，
，
，
，
，，
，
解得：或，
点P的坐标为或．
题型四 一次函数和反比例函数中求三角形面积问题
【例1】（2024·山西大同·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点是点关于轴的对称点，连接，求的面积．
【答案】(1)反比例函数得解析式为，一次函数的解析式为
(2)16
【分析】此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法、关于坐标轴对称等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
（1）由点，点是的图象与直线的交点，则，解得，得到，，，得到反比例函数解析式，再用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）求出点，得到，即可得到答案；
【详解】（1）解：∵点，点是的图象与直线的交点，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴反比例函数得解析式为，
将点，代入一次函数中，
得 解得
∴一次函数的解析式为；
（2）对于直线，
令，得，
∴点C的坐标为，
∵点D是点C关于x轴的对称点
∴点，
∴，
∴；
此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法、关于坐标轴对称等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
【例2】（2024·吉林白山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴相交于点C，连接、．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
（1）将两点坐标代入直线解析式求出m、n继而得到反比例函数解析式；
（2）利用直线解析式求出点C坐标，根据代入数据计算即可．
【详解】（1）∵、两点在直线的图象上，
∴当时，；当时，，
∴、．
∵、在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）在直线中，令，则，
∴，
∵，
∴．
1．（2024·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于两点，与轴交于点，连接．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）把点B的坐标分别代入一次函数解析式和反比例函数解析式中利用待定系数法求解即可；
（2）先分别求出A、C的坐标，进而得到，再根据进行求解即可．
【详解】（1）
解：点在反比例函数和一次函数的图象上，
，
解得，
反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为．
（2）
解：点在反比例函数的图象上，
，
解得，
点的坐标为，
把代入，得，
点的坐标为，
，
．
2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，D是反比例函数图象上的一个动点，过点向轴作垂线与一次函数图象交于点，其中点的坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标；
(3)若P是x轴上的一个动点，连接，当与相似时，求点D的纵坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，，
【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质；
（1）先把代入求出一次函数解析式，再求出交点，最后代入反比例函数解析式即可．
（2）当的面积等于面积的2倍时即可得到，表示出、坐标，再计算即可；
（3）表示出、、坐标，根据与相似计算即可，注意分情况讨论．
【详解】（1）把代入得到，
解得，
∴一次函数解析式为，
∴
把代入得到，
∴，
把代入得到，
∴反比例函数的表达式为；
（2）如图，
∵过点向轴作垂线与一次函数图象交于点，
∴设，则点纵坐标为，
∴，解得
∴，
∵的面积等于面积的2倍
∴，
∴，
解得，
∴
（3）设，由（2）可得，，其中
当时，当轴时，此时，
∴，
∴
当时，，此时
解得
∴，
∴，
当时，，此时
解得
∴，
∴，
同理，当轴时，此时，
∴，
∴
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，作于，于，则
∴
此时，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
解得
∴，
∴，
同理当时，，
∴，
∴，，
∴，
解得
∴，
∴，
综上所述，当与相似时，求点D的纵坐标为，，．
题型五 一次函数和反比例函数中求证问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·河南周口·一模）如图，反比例函数与正比例函数交于点和点C，与正比例函数交于点B和点D．
(1)求k与a的值，并求点B，C，D的坐标；
(2)求证：．
【答案】(1)，，，，
(2)证明见解析
【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数交点问题，求函数解析式，平行四边形的判定，平行线的性质，根据函数交点求出求解析式是解题关键．
（1）先利用待定系数法求出反比例函数以及正比例函数解析式，再联立求出交点坐标即可；
（2）先证明四边形是平行四边形，得到，利用平行线性质即可得证．
【详解】（1）解：把A点坐标代入中得，
把A点坐标代入中得，
由题意得：，
解得：，，
，
解得：，，
∴，，；
（2）∵反比例函数的图象关于原点O中心对称，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
，
．
本题考查了反比例函数与正比例函数交点问题，求函数解析式，平行四边形的判定，平行线的性质，根据函数交点求出求解析式是解题关键．
1．（2024·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．如图，一次函数（a为常数，）与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点和点．

(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，相交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点D．求证：C，O，D三点在同一条直线上．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B的坐标，最后把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先根据题意求出C、D坐标，进而求出直线，直线的解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴反比例函数解析式为，
把代入中得，解得，
∴，
把，代入中得：，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）证明：∵过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，相交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点D，
∴，
同理可得直线解析式为，直线解析式为，
∴C，O，D三点在同一条直线上．
2．（2024·河南平顶山·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
【答案】(1)，；
(2)或；
(3)．
【分析】（）根据待定系数法求解即可；
（）结合图象找出反比例函数图象高于直线部分对应的的范围即可；
（）设出平移后直线的解析式结合一元二次方程的根的判别式解答即可；
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】（1）∵反比例函数过点，，
∴，解得：，
反比例函数解析式为：，点，
∵一次函数解析式过点，，
∴，解得：
∴一次函数解析式为：；
（2）根据图像，不等式的解集为：或；
（3）设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的解析式为，
联立两个函数得：，整理得：，
，
∴，或，
∵点，
∴不符合题意舍去.
∴直线向下平移1个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点．
题型六 一次函数和反比例函数中求线段长问题
【例1】（2024·广东珠海·一模）如图1．直线与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点．图2将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，连接，．当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作轴于点F，交反比函数图象于点E．

(1)求反比例函数表达式；
(2)求的长度．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】本题考查求反比例函数，平行四边形的性质，反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）将点代入求出，再代入反比例函数求解即可得到答案；
（2）求出点坐标，根据平移得到是平行四边形，得到点D的纵坐标，从而得到点C、D的坐标，代入反比例函数得到点E坐标即可得到答案；
【详解】（1）解：∵过点，
∴，
∵过点，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
∵向右平移m个单位长度，得到对应线段，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，解得：，
∴，，
∴，
当时，
，解得：，
即：，
∴．
本题考查求反比例函数，平行四边形的性质，反比例函数与一次函数的综合应用.
1．（2024·河南·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的，两点，与轴交于点．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)在轴上找一点，使最大，求的最大值及点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
(2)的最大值为，
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、动点最值问题-三边关系模型、一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）本题考查待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）在轴上找一点，由三角形三边关系可知，故当三点共线时，的值最大，为，求出一次函数的解析式为与轴的交点即是，再求出，过点作轴于，如图所示，利用勾股定理即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入，解得，
∴反比例函数的解析式为；
把点代入，解得，
∴，
把，代入得，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：在轴上找一点，由三角形三边关系可知，故当三点共线时，的值最大，为，
一次函数的解析式为，令，则，
∴一次函数与轴的交点为，即为所求，
令，则，
∴，
过点作轴于，如图所示：
在中，由勾股定理可得，
∴的最大值为．
题型七 利用反比例函数的图象和性质探究平移问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·广东深圳·模拟预测）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图，
列表：下表是与的几组对应值，其中 ；
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；
(2)通过观察函数图象，写出该函数的一条性质： ．
(3)利用函数图象，解不等式．
【答案】(1)，见解析
(2)图象关于轴对称
(3)或
【分析】
本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程；
（1）代入求值即可；经历描点、连线形成图象；
（2）依据函数的图象关于轴对称；
（3）先解方程求的交点坐标的横坐标，进而根据函数图象即可求解．
【详解】（1）
解：把代入得，，
函数图象如图，
故答案为：；
（2）
观察图形得出函数的性质：图象关于轴对称；
故答案为：图象关于轴对称；
（3）
作出直线，
当时，则令，整理得，
解得或，
当时，则令，整理得，
解得，
观察图象可知，当或时，直线在函数的图象的下方，
故不等式的解集为或．
本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程.
【例2】（2024·陕西西安·一模）乐乐同学在学习了反比例函数的基础上，进一步探究函数的性质．以下是他的研究过程，请补充完整．
(1)如表是y与x的几组对应值．
直接写出m的值，______；
(2)在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(3)观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为______；
(4)若直线与函数的图象交于第一象限内一点，则下面关于x的取值范围描述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)C
【分析】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质．
（1）①将代入即得的值；
（2）描点、连线即可；
（3）根据图象即可求解；
（4）求得时，函数和函数的的值，结合图象即可判断．
【详解】（1）解：①时，，
，
故答案为：；
（2）解：如图：
（3）解：观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为；
故答案为：；
（4）解：作出直线如图：
把代入求得，
把代入，求得，
观察图象，若直线与函数的图象交于第一象限内一点，则的取值范围是，
关于的取值范围描述正确的是C，
故答案为：C．
1．（2024·山西大同·一模）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：

(1)①与的几组对应值如下表，请补全表格；
②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；
(2)我们知道，函数的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象；
(3)若一次函数的图象与函数的图象交于两点，连接，求的面积．
【答案】(1)见解析，
(2)向左平移1个单位，向上平移2个单位
(3)
【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象与性质，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
（1）求出时的函数值，利用描点法画出函数图象即可；
（2）根据平移的方式即可解答；
（3）根据函数的图象即可解答；
【详解】（1）当时，，
补全表格为：
图象如下：

（2）的图象向左平移1个单位，向上平移2个单位可以得到的图象；
（3）一次函数的图象，如图，可知，
∴的面积为．






x
…
0
2
3
4
5
…
y
…
2
1
m
…
…
1
2
3
…
…
3
4
6
1
…
…
1
2
3
…
…
3
4
6
1
…