2024年中考数学二轮题型突破练习题型11 综合探究题 类型3 与折叠有关的探究题（专题训练）（2份打包，原卷版+教师版）

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猜想证明：
(1)如图2，试判断四边形 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由．
问题解决；
(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交 SKIPIF 1 < 0 于点M，N， SKIPIF 1 < 0 的对应线段交 SKIPIF 1 < 0 于点K，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1)四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，理由见解析
(2)30
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和折叠的性质，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出结论．
（2）先证明四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，等积法得到 SKIPIF 1 < 0 的积，推出四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解．
【详解】（1）解：四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，理由如下：
∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的中线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵将 SKIPIF 1 < 0 的两个顶点B，C分别沿 SKIPIF 1 < 0 折叠后均与点D重合，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同法可得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
（2）解：∵折叠，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，

∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，平行线分线段对应成比例，菱形的判定，平行四边形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
2.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作 SKIPIF 1 < 0 等大小的角，可以采用如下方法：
操作感知：
第一步：对折矩形纸片 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，得到折痕 SKIPIF 1 < 0 ，把纸片展开（如图13-1）．
第二步：再一次折叠纸片，使点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 上，并使折痕经过点 SKIPIF 1 < 0 ，得到折痕 SKIPIF 1 < 0 ，同时得到线段 SKIPIF 1 < 0 （如图13-2）．
猜想论证：
（1）若延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图13-3所示，试判定 SKIPIF 1 < 0 的形状，并证明你的结论．
拓展探究：
（2）在图13-3中，若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 满足什么关系时，才能在矩形纸片 SKIPIF 1 < 0 中剪出符（1）中的等边三角形 SKIPIF 1 < 0 ？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，理由见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ，理由见解析
【分析】
（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，由折叠性质可得 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后可得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可判定 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形．
（2）由折叠可知 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 的三角函数即可求得．
【详解】
（1）解： SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
证明如下：
连接 SKIPIF 1 < 0 ．
由折叠可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形．
（2）解：方法一：
要在矩形纸片 SKIPIF 1 < 0 上剪出等边 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或（ SKIPIF 1 < 0 ）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边 SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：
要在矩形纸片 SKIPIF 1 < 0 上剪出等边 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，及锐角三角函数的应用，正确理解折叠性质灵活运用三角函数解直角三角形是解本题的关键．
3．（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一动点，将 SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
独立思考：小明：“当点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 ．”
小红：“若点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，给出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的长，就可求出 SKIPIF 1 < 0 的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 翻折得到．
（1）如图1，当点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 上时，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图2，若点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．
问题2：如图3，在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；问题2： SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据等边对等角可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据折叠以及三角形内角和定理，可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，根据邻补角互补可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得证；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线，勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 即可求解；
问题2：连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，根据已知条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据三线合一得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 的长，即可求解．
【详解】（1）∵等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 翻折得到
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，

∵折叠，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
问题2：如图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，

∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4.（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试猜想 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并加以证明；
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将 SKIPIF 1 < 0 沿着 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点）所在直线折叠，如图②，点 SKIPIF 1 < 0 的对应点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，请判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将 SKIPIF 1 < 0 沿过点 SKIPIF 1 < 0 的直线折叠，如图③，点A的对应点为 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，折痕交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．该小组提出一个问题：若此 SKIPIF 1 < 0 的面积为20，边长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求图中阴影部分（四边形 SKIPIF 1 < 0 ）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ，见解析；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】
（1）如图，分别延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点P，根据平行四边形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据平行线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用AAS可证明△PDF≌△BCF，根据全等三角形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据直角三角形斜边中线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根据折叠性质可得∠CFB=∠C′FB= SKIPIF 1 < 0 ∠CFC′，FC=FC′，可得FD=FC′，根据等腰三角形的性质可得∠FDC′=∠FC′D，根据三角形外角性质可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG= SKIPIF 1 < 0 ，可得AG=BG；
（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的性质可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根据 SKIPIF 1 < 0 可得A′B⊥AB，即可证明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，进而可证明△A′NH∽△CBH，根据相似三角形的性质可得A′H、NH的长，根据NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根据相似三角形的性质可求出MQ的长，根据S阴=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 ．
如图，分别延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点P，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在△PDF和△BCF中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴△PDF≌△BCF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ．
∵将 SKIPIF 1 < 0 沿着 SKIPIF 1 < 0 所在直线折叠，点 SKIPIF 1 < 0 的对应点为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠CFB=∠C′FB= SKIPIF 1 < 0 ∠CFC′， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠FDC′=∠FC′D，
∵ SKIPIF 1 < 0 =∠FDC′+∠FC′D，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠FC′D=∠C′FB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，DC=AB，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，
∵ SKIPIF 1 < 0 的面积为20，边长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴BH=50÷5=4，
∴CH= SKIPIF 1 < 0 ，A′H=A′B-BH=1，
∵将 SKIPIF 1 < 0 沿过点 SKIPIF 1 < 0 的直线折叠，点A的对应点为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，
∵ SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，AB//CD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠MBH=45°，
∴△MBQ是等腰直角三角形，
∴MQ=BQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴∠A′=∠C，
∵∠A′HN=∠CHB，
∴△A′NH∽△CBH，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得：NH=2，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，MQ⊥A′B，
∴NH//MQ，
∴△A′NH∽△A′MQ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得：MQ= SKIPIF 1 < 0 ，
∴S阴=S△A′MB-S△A′NH= SKIPIF 1 < 0 A′B·MQ- SKIPIF 1 < 0 A′H·NH= SKIPIF 1 < 0 ×5× SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 ×1×2= SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
5．（2023·广西·统考中考真题）【探究与证明】
折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片 SKIPIF 1 < 0 对折，使 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，展平纸片，得到折痕 SKIPIF 1 < 0 ；折叠纸片，使点B落在 SKIPIF 1 < 0 上，并使折痕经过点A，得到折痕 SKIPIF 1 < 0 ，点B，E的对应点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，展平纸片，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

请完成：
(1)观察图1中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，试猜想这三个角的大小关系；
(2)证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上的一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕 SKIPIF 1 < 0 ；折叠纸片，使点B，P分别落在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，展平纸片，连接， SKIPIF 1 < 0 ．

请完成：
(3)证明 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一条三等分线．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）根据题意可进行求解；
（2）由折叠的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后可得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，进而问题可求证；
（3）连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据等腰三角形性质证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据平行线的性质证明 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）解：由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：由折叠的性质可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）证明：连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
由折叠的性质可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵折痕 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一条三等分线．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明， SKIPIF 1 < 0 是解题的关键．
6.(2022·重庆市A卷)如图，在锐角中，，点，分别是边，上一动点，连接交直线于点．
如图，若，且，，求的度数；
如图，若，且，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点是的中点，点是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接在点，运动过程中，当线段取得最小值，且时，请直接写出的值．
【答案】解：如图中，在射线上取一点，使得，

在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
结论：．
理由：如图中，，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
，
，
如图中，延长到，使得，连接，

，，，
≌，
，
延长到，使得，则是等边三角形，
，
，
，
≌，
，，
是等边三角形，
．
由可知，
点的运动轨迹为红色圆弧如图中，
，，三点共线时，的值最小，
此时，
，
，
，
如图中，过点作于点，设交题意点，设，，，，
，

．

7.(2022·广东省深圳市)发现：如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：≌；
探究：如图，在矩形中，为边上一点，且，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．
拓展：如图，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点，求的长．
【答案】证明：将沿翻折到处，四边形是正方形，
，，
，
，，
≌；
解：延长，交于，如图：

设，
在中，，
，
解得，
，
，，
∽，
，即，
，，
，，
∽，∽，
，即，
，
设，则，
，
∽，
，即，
解得，
的长为；
解：Ⅰ当时，延长交于，过作于，如图：

设，，则，
，
∽，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分线，
，即，
，
，，，
在中，，
，
联立可解得，
；
Ⅱ当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：

同理，
，即，
由得：，
可解得，
，
综上所述，的长为或．
8.(2021·湖北省荆州市)在矩形中，，，是对角线上不与点，重合的一点，过作于，将沿翻折得到，点在射线上，连接．
如图，若点的对称点落在上，，延长交于，连接．
求证：∽；
求．
如图，若点的对称点落在延长线上，，判断与是否全等，并说明理由．
【答案】如图，
证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
∽．
由翻折得，
，
，，
，
，
，
∽，
，
．
不全等，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，而，，
与不全等．
9.(2022·四川省成都市)在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
如图，若，求的度数；
如图，当，且时，求的长；
如图，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．
【答案】解：将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，
又矩形中，，
，，
，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
过点作于点，
，
，
，
，
，，
∽，
，
设，
平分，，，
，，
设，则，
，
，
解得
．
10.在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点．
求证：∽；
若，，求的长；
若，记，，求的值．
【答案】证明：四边形是矩形，
，
由翻折可知，，
，，
，
∽．
设，
由翻折可知，，
，
，
∽，
，
，
，
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∽，
，
，
设，，，
，
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，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
整理得，，
，
，
．
11.已知：在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的一个动点，将矩形 SKIPIF 1 < 0 折叠，使点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，点 SKIPIF 1 < 0 落在点 SKIPIF 1 < 0 处，折痕为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图1，当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合时，则线段 SKIPIF 1 < 0 _______________， SKIPIF 1 < 0 _____________；
（2）如图2，当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均不重合时，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接并延长 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的延长线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
①求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形：
②当 SKIPIF 1 < 0 时，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】（1）2，4；（2）①见解析；② SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）过点F作FH⊥AB，由翻折的性质可知：AE＝CE，∠FEA＝∠FEC，∠G＝∠A＝90°根据平行线的性质和等量代换可得∠CFE＝∠FEC，由等角对等边可得：CF＝CE，设AE＝CE＝x，BE＝6﹣x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，进而可得BE、DF的长，由矩形的判定可得四边形DAHF是矩形，进而可求FH、EH的长，最后由勾股定理可得EF的长；
（2）①根据折叠的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据已知条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而易证 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即可求证结论；
②连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，又由①知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，继而易证∠MAD＝PAB，接根据三角函数求得PB，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程可得PE的长，继而代入数据即可求解．
【详解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 2 ， SKIPIF 1 < 0 4 ；
过点F作FH⊥AB，
∵折叠后点A、P、C重合
∴AE＝CE，∠FEA＝∠FEC，
∵CD∥AB
∴∠CFE＝∠FEA，
∴∠CFE＝∠FEC，
∴CF＝CE＝AE，
设AE＝CE＝CF＝x，BE＝AB﹣AE＝6﹣x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
解得： x＝4，即AE＝CE＝CF＝4
∴BE＝2、DF＝2，
∵∠D＝∠A＝∠FHA＝90°
∴四边形DAHF是矩形，
∴FH＝ SKIPIF 1 < 0 、EH＝AB﹣BE﹣AH＝6﹣2﹣2＝2
在Rt△EFH中，由勾股定理可得: SKIPIF 1 < 0 ＝4

（2）①证明：如图2，
∵在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠（轴对称）性质，得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形：
②如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
又由①知： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又在 SKIPIF 1 < 0 中，若设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
又四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．

【点睛】
本题主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及其性质、翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线．
12.（2021·湖南中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为斜边 SKIPIF 1 < 0 上一动点，将 SKIPIF 1 < 0 沿直线 SKIPIF 1 < 0 折叠，使得点 SKIPIF 1 < 0 的对应点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图①，若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图②，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
（3）如图③，若 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ．若存在，求此时 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）存在， SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】
（1）先根据平行线的判定与性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据折叠的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据平行线的判定可得 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据菱形的判定与性质即可得证；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点为点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，先证出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，根据线段的和差可得 SKIPIF 1 < 0 ，代入可求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再在 SKIPIF 1 < 0 中，解直角三角形可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后在 SKIPIF 1 < 0 中，根据余弦三角函数的定义即可得；
（3）如图（见解析），设 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，分①点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 的左侧；②点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 的右侧两种情况，再分别利用等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可得．
【详解】
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠的性质得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平行四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点为点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠的性质得： SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠的性质得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 的左侧时，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （等腰三角形的三线合一），
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
②如图，当点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 的右侧时，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，
由折叠的性质得： SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
综上，存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、折叠的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
13.（2021·浙江中考真题）（推理）
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ．
（运用）
（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求线段DE的长．
（拓展）
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值（用含k的代数式表示）．
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）根据ASA证明 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，由折叠得 SKIPIF 1 < 0 ，进一步证明 SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，代入相关数据求解即可；
（3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，代入相关数据求解即可．
【详解】
（1）如图， SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 折叠得到，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 四边形ABCD是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 正方形 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去）．
（3）如图，连结HE，
由已知 SKIPIF 1 < 0 可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可令 SKIPIF 1 < 0 ，
①当点H在D点左边时，如图，
同（2）可得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去）．
SKIPIF 1 < 0
②当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 点右边时，如图，
同理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去）．
SKIPIF 1 < 0
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
14.（2021·湖北中考真题）在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是对角线 SKIPIF 1 < 0 上不与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合的一点，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折得到 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在射线 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图1，若点 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②求 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图2，若点 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 延长线上， SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是否全等，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；② SKIPIF 1 < 0 ；（2）不全等，理由见解析
【分析】
（1）①先根据同角的余角相等得出∠DCG=∠AGH，再根据两角对应相等，两三角形相似即可得出结论；
②设EF=x，先证得△AEF SKIPIF 1 < 0 △ADC，得出 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，再结合折叠的性质得出AE=EG=2x，
AG=4x，AH=2EF=2x，再由△CDG SKIPIF 1 < 0 △GAH，得出比例式 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，求出EF的长，从而得出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出答案；
（2）先根据两角对应相等，两三角形相似得出△AEF SKIPIF 1 < 0 △ACG，得出比例式 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，得出EF= SKIPIF 1 < 0 ，
AE= SKIPIF 1 < 0 ，AF= SKIPIF 1 < 0 ，从而判定 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是否全等．
【详解】
（1）①在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=90°
∴∠DCG+∠DGC=90°
又∵∠FGC=90°
∴∠AGH+∠DGC=90°
∴∠DCG=∠AGH
∴△CDG SKIPIF 1 < 0 △GAH
②设EF=x
∵△AEF沿EF折叠得到△GEF
∴AE=EG
∵EF⊥AD
∴∠AEF=90°=∠D
∴EF//CD//AB
∴△AEF SKIPIF 1 < 0 △ADC
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
∴AE=EG=2x
∴AG=4x
∵AE=EG，EF//AB
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
∴AH=2EF=2x
∵△CDG SKIPIF 1 < 0 △GAH
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
∴x= SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
∵∠FCG=90°
∴tan∠GHC= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
（2）不全等 理由如下：
在矩形ABCD中，AC= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
由②可知：AE=2EF
∴AF= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 EF
由折叠可知，AG=2AE=4EF，AF=GF
∵∠AEF=∠GCF，∠FAE=∠GAC
∴△AEF SKIPIF 1 < 0 △ACG
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
∴EF= SKIPIF 1 < 0
∴AE= SKIPIF 1 < 0 ，AF= SKIPIF 1 < 0
∴FC=AC-AF=2 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
∴AE SKIPIF 1 < 0 FC，EF SKIPIF 1 < 0 FC
∴不全等
【点睛】
本题考查了矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，得出AE=2EF是解题的关键．
15.如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
【分析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．
（2）①证明BE＝EP，可得∠EPB＝∠B＝45°解决问题．
②如图3中，由（1）可知：AC，证明△AEF∽△ACB，推出，由此求出AF即可解决问题．
【解析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，AD＝AB•sin45°＝44．
（2）①如图2中，
∵△AEF≌△PEF，
∴AE＝EP，
∵AE＝EB，
∴BE＝EP，
∴∠EPB＝∠B＝45°，
∴∠PEB＝90°，
∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°．
②如图3中，由（1）可知：AC，
∵PF⊥AC，
∴∠PFA＝90°，
∵△AEF≌△PEF，
∴∠AFE＝∠PFE＝45°，
∴∠AFE＝∠B，
∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴，即，
∴AF＝2，
在Rt△AFP，AF＝FP，
∴APAF＝2．
方法二：AE＝BE＝PE可得直角三角形ABP，由PF⊥AC，可得∠AFE＝45°，可得∠FAP＝45°，即∠PAB＝30°． AP＝ABcs30°＝2．