2024年中考数学二轮题型突破练习题型11 综合探究题 类型4 与旋转有关的探究题（专题训练）（2份打包，原卷版+教师版）

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(1)如图1，当点E在线段 SKIPIF 1 < 0 上时，求证：D是 SKIPIF 1 < 0 的中点；
(2)如图2，若在线段 SKIPIF 1 < 0 上存在点F（不与点B，M重合）满足 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的大小，并证明．
2.(2022·重庆市B卷)在中，，，为的中点，，分别为，上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
如图，点与点重合，且的延长线过点，若点为的中点，连接，求的长；
如图，的延长线交于点，点在上，且，求证：；
如图，为线段上一动点，为的中点，连接，为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值．
3.（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是斜边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)将 SKIPIF 1 < 0 绕顶点 SKIPIF 1 < 0 旋转一周，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 距离的最大值和最小值；
(2)将 SKIPIF 1 < 0 绕顶点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 （如图 SKIPIF 1 < 0 ），求 SKIPIF 1 < 0 的长．
4.（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上一动点（不与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合），将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
①证明：在点 SKIPIF 1 < 0 的运动过程中，总有 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 的长度为多少时， SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形？
5．（2023·辽宁·统考中考真题）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上（不与点 SKIPIF 1 < 0 重合），连接 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图，当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合时，请直接写出线段 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 的数量关系；
(2)如图，当点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上时，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积记为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
6.（2021·四川中考真题）在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上一点（不与点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 重合），连结 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为点 SKIPIF 1 < 0 ，结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ．
①在图2中补全图形；
②探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并证明；
（3）如图3，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，试探究 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间满足的数量关系，并证明．
7．（2023·四川乐山·统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第 SKIPIF 1 < 0 页“探索”部分内容：
如图，将一个三角形纸板 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 到达 SKIPIF 1 < 0 的位置，那么可以得到： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ ）

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：____________________；
（2）如图，小王将一个半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心角为 SKIPIF 1 < 0 的扇形纸板 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 到达扇形纸板 SKIPIF 1 < 0 的位置．

①请在图中作出点 SKIPIF 1 < 0 ；
②如果 SKIPIF 1 < 0 ，则在旋转过程中，点 SKIPIF 1 < 0 经过的路径长为__________；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．

8.（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到矩形 SKIPIF 1 < 0
[探究1]如图1，当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 恰好在 SKIPIF 1 < 0 延长线上．若 SKIPIF 1 < 0 ，求BC的长．
[探究2]如图2，连结 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （如图3）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 存在一定的数量关系，并加以证明．
9．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中（顶点 SKIPIF 1 < 0 按逆时针方向排列）， SKIPIF 1 < 0 为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)如图1，求 SKIPIF 1 < 0 边上的高 SKIPIF 1 < 0 的长．
(2) SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上的一动点，点 SKIPIF 1 < 0 同时绕点 SKIPIF 1 < 0 按逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 得点 SKIPIF 1 < 0 ．
①如图2，当点 SKIPIF 1 < 0 落在射线 SKIPIF 1 < 0 上时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
②当 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
10.（2021·浙江中考真题）如图，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是锐角，E是 SKIPIF 1 < 0 边上的动点，将射线 SKIPIF 1 < 0 绕点A按逆时针方向旋转，交直线 SKIPIF 1 < 0 于点F．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②连结 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，延长 SKIPIF 1 < 0 交射线 SKIPIF 1 < 0 于点M，延长 SKIPIF 1 < 0 交射线 SKIPIF 1 < 0 于点N，连结 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 为何值时， SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形．
11.（2023·四川南充·统考中考真题）如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转，使点 SKIPIF 1 < 0 的对应点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ．当点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上运动时（点 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合），判断 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，已知 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
12.在等腰△ABC中，AC＝BC， SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝ SKIPIF 1 < 0 ∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是 ．线段BE与线段CF的数量关系是 ；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把 SKIPIF 1 < 0 绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．
13．（2023·江苏扬州·统考中考真题）【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含 SKIPIF 1 < 0 的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ．
【操作探究】
如图1，先将 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 重合，再将 SKIPIF 1 < 0 绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为 SKIPIF 1 < 0 ，旋转过程中 SKIPIF 1 < 0 保持不动，连接 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ________；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ________ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
(3)如图2，取 SKIPIF 1 < 0 的中点F，将 SKIPIF 1 < 0 绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________．
14.（2021·江苏中考真题）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
(1)如图①，连接BG、CF，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别去CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．
15.（2023·湖南·统考中考真题）（1）[问题探究]
如图1，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，对角线 SKIPIF 1 < 0 相交于点O．在线段 SKIPIF 1 < 0 上任取一点P（端点除外），连接 SKIPIF 1 < 0 ．

①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点P逆时针旋转，使点D落在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上的点Q处．当点P在线段 SKIPIF 1 < 0 上的位置发生变化时， SKIPIF 1 < 0 的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由．
（2）[迁移探究]
如图2，将正方形 SKIPIF 1 < 0 换成菱形 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，其他条件不变．试探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由．

16.如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．
（1）连结CQ，求证：AP＝CQ；
（2）若APAC，求CE：BC的值；
（3）求证：PF＝EQ．
17．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当 SKIPIF 1 < 0 的三个内角均小于 SKIPIF 1 < 0 时，
如图1，将 SKIPIF 1 < 0 绕，点C顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，

由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 为 三角形，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 ② 可知，当B，P， SKIPIF 1 < 0 ，A在同一条直线上时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，如图2，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 SKIPIF 1 < 0 ；
已知当 SKIPIF 1 < 0 有一个内角大于或等于 SKIPIF 1 < 0 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若 SKIPIF 1 < 0 ，则该三角形的“费马点”为 点．
(2)如图4，在 SKIPIF 1 < 0 中，三个内角均小于 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，已知点P为 SKIPIF 1 < 0 的“费马点”，求 SKIPIF 1 < 0 的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知 SKIPIF 1 < 0 ．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/ SKIPIF 1 < 0 ，a元/ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 元/ SKIPIF 1 < 0 ，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
18.如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）如图2，在旋转过程中，
①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．
（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．
①求证：AG⊥CP；
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
19．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，探究 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的位置关系．

(1)如图1，当 SKIPIF 1 < 0 时，直接写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的位置关系：____________；
(2)如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时，将 SKIPIF 1 < 0 绕点C旋转，使 SKIPIF 1 < 0 三点恰好在同一直线上，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
20．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有 SKIPIF 1 < 0 角的三角尺放在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，使 SKIPIF 1 < 0 角的顶点始终与正方形的顶点 SKIPIF 1 < 0 重合，绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转三角尺时， SKIPIF 1 < 0 角的两边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 始终与正方形的边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．

【探究一】如图②，把 SKIPIF 1 < 0 绕点C逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，同时得到点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上．求证： SKIPIF 1 < 0 ；
【探究二】在图②中，连接 SKIPIF 1 < 0 ，分别交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线 SKIPIF 1 < 0 与三角尺 SKIPIF 1 < 0 角两边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．