初中数学——九大几何模型学案

这是一份初中数学——九大几何模型学案，共16页。
等边三角形
【条件】：△OAB和△OCD均为等边三角形；
【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED
等腰直角三角形
【条件】：△OAB和△OCD均为等腰直角三角形；
【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED
顶角相等的两任意等腰三角形
【条件】：△OAB和△OCD均为等腰三角形；
且∠COD=∠AOB
【结论】：①△OAC≌△OBD；
②∠AEB=∠AOB；
③OE平分∠AED
模型二：手拉手模型----旋转型相似
一般情况
【条件】：CD∥AB，
将△OCD旋转至右图的位置
【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；
②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA
特殊情况
【条件】：CD∥AB，∠AOB=90°
将△OCD旋转至右图的位置
【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；
②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA；
③tan∠OCD；④BD⊥AC；
⑤连接AD、BC，必有；⑥
模型三、对角互补模型
全等型-90° 更多资料及电子版在公众号：学习笔记君
【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB
【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③
证明提示：
①作垂直，如图2，证明△CDM≌△CEN
②过点C作CF⊥OC，如图3，证明△ODC≌△FEC
※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如图4）：
以上三个结论：①CD=CE；②OE-OD=OC；
③
全等型-120°
【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB
【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③
证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；
②如右下图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形。

全等型-任意角ɑ
【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；
【结论】：①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC·csɑ；
③
※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如右下图）：
原结论变成：① ；
② ；
③ 。
可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。
对角互补模型总结：
①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；
②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；
③注意OC平分∠AOB时，
∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导？
模型四：角含半角模型90°
角含半角模型90°---1
【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【结论】：①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；
也可以这样：
【条件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；
【结论】：①∠EAF=45°；
角含半角模型90°---2
【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【结论】：①EF=DF-BE；
角含半角模型90°---3
【条件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；
【结论】：（如图1）
若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论仍然成立（如图2）
角含半角模型90°变形
【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【结论】：△AHE为等腰直角三角形；
证明：连接AC（方法不唯一）
∵∠DAC=∠EAF=45°，
∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；
∴△DAH∽△CAE，∴
∴△AHE∽△ADC，∴△AHE为等腰直角三角形
模型五：倍长中线类模型
倍长中线类模型---1
【条件】：①矩形ABCD；②BD=BE；
③DF=EF；
【结论】：AF⊥CF
模型提取：①有平行线AD∥BE；②平行线间线段有中点DF=EF；
可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。
倍长中线类模型---2
【条件】：①平行四边形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；
【结论】：∠EMD=3∠MEA
辅助线：有平行AB∥CD，有中点AM=DM，延长EM，构造△AME≌△DMF，连接CM构造
等腰△EMC，等腰△MCF。（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）
模型六：相似三角形360°旋转模型
（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法
【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF；
【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF
辅助线：延长DF到点G，使FG=DF，连接CG、BG、BD，证明△BDG为等腰直角三角形；
突破点：△ABD≌△CBG；
难点：证明∠BAO=∠BCG
（2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---补全法
【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF；
【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF
辅助线：构造等腰直角△AEG、△AHC；
辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EF。
任意相似直角三角形360°旋转模型---补全法
【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；
【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO
辅助线：延长BA到G，使AG=AB，延长CD到点H使DH=CD，补全△OGB、△OCH构造旋转模型。转化AE与DE到CG与BH，难点在转化∠AED。
任意相似直角三角形360°旋转模型---倍长法
【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；
【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO
辅助线：延长DE至M，使ME=DE，将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO，此为难点，
将△AMD∽△ABC继续转化为证明△ABM∽△AOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明∠ABM=∠AOD
模型七：最短路程模型
最短路程模型一（将军饮马类）
总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题，
最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决；
特点：①动点在直线上；②起点，终点固定
最短路程模型二（点到直线类1）
【条件】：①OC平分∠AOB；②M为OB上一定点；③P为OC上一动点；④Q为OB上一动点；
【问题】：求MP+PQ最小时，P、Q的位置？
辅助线：将作Q关于OC对称点Q’，转化PQ’=PQ，过点M作MH⊥OA，
则MP+PQ=MP+PQ’MH(垂线段最短）
最短路程模型二（点到直线类2）
【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）
【问题】：n为何值时，最小？
求解方法：①x轴上取C(2,0),使sin∠OAC=；②过B作BD⊥AC，交y轴于点E，即为所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=，即E（0，1）
最短路程模型三（旋转类最值模型）
【条件】：①线段OA=4，OB=2；②OB绕点O在平面内360°旋转；
【问题】：AB的最大值，最小值分别为多少？
【结论】：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为
“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。
最大值：OA+OB；最小值：OA-OB

【条件】：①线段OA=4，OB=2；②以点O为圆心，OB，OC为半径作圆；
③点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；
【结论】：若PA的最大值为10，则OC= 6 ；若PA的最小值为1，则OC= 3 ；
若PA的最小值为2，则PC的取值范围是 0