2024年上海市闵行区高考数学二模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年上海市闵行区高考数学二模试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设a∈R，则“a2>1”是“a3>1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
2.已知y=f(x)，x∈R为奇函数，当x>0时，f(x)=lg2x−1，则集合{x|f(−x)−f(x)0，不等式|ex1−x1|+|lnx2−x2|>a恒成立，则实数a的取值范围为______.
16.已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成______个等边三角形.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
在锐角△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且2bsinA− 3a=0.
(1)求角B；
(2)求sinA+sinC的取值范围.
18.(本小题14分)
如图，已知ABCD为等腰梯形，AD//BC，∠BAD=120∘，PA⊥平面ABCD，AB=AD=AP=2.
(1)求证：PC⊥AB；
(2)求二面角C−BP−A的大小.
19.(本小题14分)
ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.
(1)求小张能全部回答正确的概率；
(2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；
(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.
20.(本小题18分)
如图，已知椭圆C1:x24+y2=1和抛物线C2:x2=2py(p>0)，C2的焦点F是C1的上顶点，过F的直线交C2于M、N两点，连接NO、MO并延长之，分别交C1于A、B两点，连接AB，设△OMN、△OAB的面积分别为S△OMN、S△OAB.
(1)求p的值；
(2)求OM⋅ON的值；
(3)求S△OMNS△OAB的取值范围.
21.(本小题18分)
已知定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)的表达式为f(x)=sinx−xcsx，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列{xn}(n≥1,n∈N).
(1)求函数y=f(x)在区间(0,π)上的值域；
(2)求证：函数y=f(x)在区间(nπ,(n+1)π)(n≥1,n∈N)上有且仅有一个零点；
(3)求证：π1或a1，∴a>1或a1，可得a>1，
∵a>1⇒a>1或a1”是“a3>1”必要不充分条件；
故选B.
2.【答案】D
【解析】解：因为y=f(x)，x∈R为奇函数，当x>0时，f(x)=lg2x−1，
当x0，可得f(−x)=lg2(−x)−1=−f(x)，即x0，可得x>2；
当x0，可得−20，
所以ex−x>0；
令g(x)=lnx−x(x>0)，
所以g′(x)=1x−1=1−xx，
所以当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，g′(x)a恒成立，
即对于任意的x1、x2∈R，且x2>0，不等式|f(x1)|+|g(x2)|>a恒成立，
即f(x1)−g(x2)>a恒成立，
所以[f(x1)−g(x2)]min>a，
即1+1>a，aa恒成立，即[f(x1)−g(x2)]min>a，代入两函数的最值即可得答案．
本题考查了导数的综合运用、转化思想，属于中档题．
16.【答案】20
【解析】解：正四面体的每一个面向外作一个正四面体，此时是增加一个点，增加正三角形3个，新增加的4个点，又是1个正四面体，
所以当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成4+3×4+4=20.
故答案为：20.
利用已知条件，判断求解空间中这8个点最多可连接成等边三角形的个数．
本题考查空间想象能力，发现问题解决问题的能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)∵2bsinA− 3a=0，
∴2sinAsinB− 3sinA=0，
又∵sinA≠0，
∴sinB= 32，
∵△ABC为锐角三角形，
∴B=π3；
(2)∵△ABC为锐角三角形，B=π3，
∴A∈(0,π2)2π3−A∈(0,π2)，解得A∈(π6,π2)，
∴A+π6∈(π3,2π3)，可得sin(A+π6)∈( 32,1],
则sinA+sinC=sinA+sin(2π3−A)=32sinA+ 32csA= 3sin(A+π6)∈(32, 3],
∴sinA+sinC的取值范围是(32, 3].
【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式可求sinB= 32，结合B为锐角，即可求解B的值；
(2)由题意可求得A∈(π6,π2)，可得A+π6∈(π3,2π3)，可得sin(A+π6)∈( 32,1],利用三角函数恒等变换的应用化简可求sinA+sinC= 3sin(A+π6)，即可得解sinA+sinC的取值范围．
本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】(1)证明：连接AC，
∵ABCD为等腰梯形，AD//BC，∠BAD=120∘，AB=AD=2，
∴BC=4,AC=2 3，
∴AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，
又AC∩PA=A，∴AB⊥平面PAC，
∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥AB.
(2)解：取PB的中点H，连接CH、AH，则AH⊥PB，
∵PC= PA2+AC2=4=BC，∴CH⊥PB，
∴∠CHA为二面角C−BP−A的平面角，
∵PA⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，
∴PA⊥AC，
由(1)知AB⊥AC，
又PA∩AB=A，
∴AC⊥平面PAB，
∵AH⊂平面PAB，∴AC⊥AH，
在Rt△AHC中，AC=2 3，AH=12PB= 2，
∴tan∠CHA=ACAH=2 3 2= 6，
∴二面角C−BP−A的大小为arctan 6.
【解析】(1)连接AC，利用勾股定理可证AB⊥AC，由PA⊥平面ABCD，知PA⊥AB，从而有AB⊥平面PAC，再由线面垂直的性质定理，即可得证；
(2)取BP的中点H，连接CH、AH，先证AH⊥PB，CH⊥PB，从而知∠CHA即为所求，再由三角函数的知识，求解即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，二面角的定义与求法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设小张答对的题数为X，则P(X=9)=C99C109=110.
(2)设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，
由题意知P(A−)=0.1，P(B|A)=0.98，P(B|A−)=0.18，
则P(A)=1−P(A−)=0.9，
P(B)=P(B∩A)+P(B∩A−)=P(B|A)P(A)+P(B|A−)P(A−)
=0.98×0.9+0.18×0.1=0.9.
(3)设小张答对的题数为X，则X的可能取值是8、9，
且P(X=8)=C98C11C109=910，P(X=9)=C99C109=110，
则E(X)=8×910+9×110=8.1，
D(X)=(8−8110)2×910+(9−8110)2×110=0.09，
设ChatGPT答对的题数为Y，则Y服从二项分布B(9,910)，
则E(Y)=np=9×0.9=8.1，
D(Y)=npq=9×0.9×0.1=0.81.
【解析】(1)由古典概型概率公式即可求解；
(2)由全概率公式求解即可；
(3)设小张答对的题数为X，则X的可能取值是8、9，求出对应的概率，可得小张答对题数的期望和方差，设ChatGPT答对的题数为Y，则Y服从二项分布B(9,910)，由二项分布的期望和方差公式求解即可．
本题主要考查概率的求法，离散型随机变量的期望和方差，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)抛物线C2的焦点为F(0,1)，故p=2.
(2)若直线MN与y轴重合，则该直线与抛物线C2只有一个公共点，不合乎题意，
所以，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+1，点M(x1,y1)、N(x2,y2)，
联立x2=4yy=kx+1，可得x2−4kx−4=0，
Δ=16k2+16>0恒成立，则x1x2=−4，
OM⋅ON=x1x2+y1y2=x1x2+x124x224=−4+1=−3.
(3)设直线NO、MO的斜率分别为k1、k2，其中k1>0，k20，即函数y=f(x)在区间(0,π)上是严格增函数，
且f(0)=0，f(π)=π，
所以f(x)在区间(0,π)上的值域为(0,π).
(2)证明：当x∈(nπ,(n+1)π)(n≥1,n∈N)时，f′(x)=csx−(csx−xsinx)=xsinx，
①当n是奇数时，f′(x)0，
函数y=f(x)在区间(nπ,(n+1)π)上是严格增函数；
且f(nπ)=(−1)n−1nπ，故f(nπ)⋅f((n+1)π)=−n(n+1)π20，
所以xn+1−(xn+π)>0，即π0⇒tanxn+1>tan(xn+π)⇒xn+1−xn>π)
②因为tan(xn+1−(xn+π))=xn+1−xn1+xn+1⋅xn