2024年北京市清华附中高考数学统练试卷（二）（含详细答案解析）

这是一份2024年北京市清华附中高考数学统练试卷（二）（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y2=2x的焦点坐标是( )
A. (0,12)B. (0,−12)C. (−12,0)D. (12,0)
2.已知集合A={x|2x−3x>0}，B={0,1,2,3,4}，则A∩B=( )
A. {0}B. {1,2,3}C. {0,4}D. {3,4}
3.曲线y=f(x)与曲线y=csx关于x轴对称，则( )
A. f(x)=sinxB. f(x)=−sinxC. f(x)=csxD. f(x)=−csx
4.已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a4=b4=4，则( )
A. b3b5≥a3a5B. b3+b5≥a3+a5C. b3b5≤a3a5D. b3+b5≤a3+a5
5.如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=3BF，若OC=mOE+nOF，其中m，n∈R，则m+n的值为( )
A. 1B. 32C. 75D. 73
6.已知z−表示复数z的共轭复数，z1，z2为非零复数，“z1z2∈R”是“存在非零实数t，使得z1=tz2−”( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
7.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是重庆千斯门嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi+1|(i=1,2,3,⋯,9)均为3.4m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i=1,2,3,⋯,9)均为16m.最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|=66m，|OA1|=86m，则最长拉索所在直线的斜率为( )
A. ±0.47B. ±0.45C. ±0.42D. ±0.40
8.已知三棱锥S−ABC中，SC=2 3，AB=2，E，F分别是SA，BC的中点，EF=1，则EF与AB所成的角大小为( )
A. π4
B. π3
C. 2π3
D. 3π4
9.已知函数f(x)=1−|x+1|,x<0x2−2x,x≥0，若实数m∈[−2,0]，则|f(x)−f(−1)|在区间[m,m+2]上的最大值的取值范围是( )
A. [1,4]B. [2,4]C. [1,3]D. [1,2]
10.已知半圆C：x2+y2=1(y≥0)，A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使∠BPQ=π3，则t的取值范围是( )
A. [−2 33,0)∪(0, 3]B. [− 3,0)∪(0,2 33]
C. [− 33,0)∪(0, 33]D. [−2 33,0)∪(0,2 33]
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在(1−2x)5−(1−x)4的展开式中，含x3项的系数为______.
12.请写出一个焦点在y轴上，且与直线y=2x没有交点的双曲线的标准方程：______.
13.已知函数f(x)=|x2+ax+b|在区间[0,4]上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为______.
14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，且|f(x)|≤f(π6)恒成立，f(x)在(π3,5π6)上单调，则ω的取值范围是______.
15.数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}与函数f(x)满足：①f(x)的定义域为R；②数列{an}与函数f(x)均单调递增；③∃n∈N*使Sn=f(an)成立，则称数列{an}与函数f(x)具有“单调偶遇关系”.有下面四个结论：
①an=2n+1与f(x)=x具有“单调偶遇关系”
②an=2n与f(x)=2x−2不具有“单调偶遇关系”
③与数列{2n+1}具有“单调偶遇关系的函数有有限个
④与数列{2n}具有“单调偶遇关系”的函数有无数个
其中正确结论的序号为______.
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
如图，在△ABC中，AB=2，csB=13，点D在线段BC上．
(1)若∠ADC=34π，求AD的长；
(2)若BD=2DC，△ACD的面积为43 2，求sin∠BADsin∠CAD的值．
17.(本小题13分)
某大学A学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，已知A学院男生与女生人数之比为16：9，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表.
用样本频率估计总体概率，
(1)求a的值，并估计从A学院所有学生中抽取一人，该学生5月份累计跑步里程s(km)在[0,30)中的概率；
(2)从A学院所有男生中随机抽取2人，从A学院所有女生中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人在5月份的累计跑步里程不低于60km的概率；
(3)该大学B学院男生与女生人数之比为λ，B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样已知A学院和B学院的样本数据整理如下表.
5月份累计跑步里程平均值(单位：km)
设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为x−A，B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为x−B，是否存在λ，使得x−A≥x−B？如果存在，求λ的最大值；如果不存在，说明理由.
18.(本小题14分)
四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，E为棱PA的中点，过点B，C，E的平面交棱PD于点F.
(1)求证：F为PD中点；
(2)若PA=AB=2，PD=3，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使四棱锥唯一确定，求二面角D−CF−E的余弦值.
条件①：PC⊥BD
条件②：PC=BC
条件③：PC与平面ABCD所成角的正切值为2
如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19.(本小题15分)
已知点(1,32)在椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，且E的离心率为12.
(1)求E的方程；
(2)设F为椭圆E的右焦点，点P(m,n)是E上的任意一点，直线PF与直线3mx+4ny=0相交于点Q，求|PQ|的值.
20.(本小题15分)
设函数f(x)=ln(ax+1)−x，a∈R，曲线y=f(x)在原点处的切线为x轴.
(1)求a的值；
(2)求方程f(x)=−x2x+2的解；
(3)证明：e<(20242023)2023.5.
21.(本小题15分)
设k是正整数，集合A至少有两个元素，且A⊆N*.如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有|x−y|≠k，则称A具有性质P(k).
(1)试判断集合B={1,2,3,4}和C={1,4,7,10}是否具有性质P(2)？并说明理由；
(2)若集合A={a1,a2,⋯,a12}⊆{1,2,⋯,20}，求证：A不可能具有性质P(3)；
(3)若集合A⊆{1,2,⋯,2023}，且同时具有性质P(4)和P(7)，求集合A中元素个数的最大值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题给出抛物线方程，求它的焦点坐标，着重考查了抛物线的标准方程和简单性质等知识，属于基础题．
根据抛物线方程，可得2p=2，得p2=12.再根据抛物线是开口向右以原点为顶点的抛物线，即可得到它的焦点坐标．
【解答】
解：∵抛物线方程为y2=2x，
∴2p=2，得p2=12，
∵抛物线开口向右且以原点为顶点，
∴抛物线的焦点坐标是(12,0)，
故选D.
2.【答案】C
【解析】解：当x=0时，满足2x−3x>0，
当x=1时，不满足2x−3x>0，
当x=2时，不满足2x−3x>0，
当x=3时，不满足2x−3x>0，
当x=4时，满足2x−3x>0，
B={0,1,2,3,4}，
则A∩B={0,4}.
故选：C.
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：曲线y=f(x)与曲线y=csx关于x轴对称，
则f(x)=−csx.
故选：D.
根据已知条件，结合函数关于x轴的性质，即可求解．
本题主要考查余弦函数的图象，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a4=b4=4，
可得a3+a5=2a4=8，b3b5=b42=16，
由a3a5≤(a3+a52)2=16，可得a3a5≤b3b5，故A正确，C错误；
当b1>0，可得b3+b5≥2 b3b5=8=a3+a5；
当b1<0，可得b3+b5≤−2 b3b5=−8故选：A.
由等差数列和等比数列的中项性质和基本不等式、不等式的性质，可得结论．
本题考查等差数列和等比数列的中项性质，以及基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性运算问题，解题时应熟知平面向量的三角形合成法则，是基础题目．
由平面向量的线性运算得：OA=65OE−35OF，OB=65OF−25OE，OC=OA+OB，由此求得m，n的值即可．
【解答】
解：因为OF=OB+BF=OB+13OA，OE=OA+AE=OA+12OB，
所以OA=65OE−35OF，OB=65OF−25OE，
又OC=OA+OB=65OE−35OF+65OF−25OE=45OE+35OF，
所以m=45，n=35，
故m+n=75，
故选：C.
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，z1，z2为非零复数，设z1=a+bi，z2=c+di，(a、b、c、d∈R且实数a、b不同时为0，实数c、d不同时为0)，
由于z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，
若z1z2∈R，则ad+bc=0，
又由a、b不同时为0，c、d不同时为0，必存在非零实数t，使得{a=ctb=−dt，
则有z1=tz2−，
反之，若z1=tz2−，即{a=ctb=−dt，变形可得ad+bc=0，
又由z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i=0；
故“z1z2∈R”是“存在非零实数t，使得z1=tz2−”的充分必要条件．
故选：C.
根据题意，设z1=a+bi，z2=c+di，实数a、b不同时为0，实数c、d不同时为0，由复数的乘法公式和共轭复数的定义分析“z1z2∈R”和“存在非零实数t，使得z1=tz2−”的关系，即可得答案．
本题考查复数的计算，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|=66m，|OA1|=86m，且|PiPi+1|(i=1,2,3,⋯,9)均为3.4m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i=1,2,3,⋯,9)均为16m，
则|OA10|=|OA1|+|A1A10|=86+9×16=230，
又|OP10|=|OP1|+|P1P10|=66+9×3.4=96.6，
则最长拉索所在直线的斜率kA10P10=−tan∠OA10P10=−96.6230=−0.42，
同理，最长拉索所在直线的斜率kB10P10=0.42，
故选：C.
根据题意，利用已知长度可分别计算|OA10|，|OP10|，再利用斜率定义可解．
本题考查斜率的计算公式，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了异面直线所成角的求法，利用余弦定理解三角形，属于一般题．
取AC中点D，连接DE、DF，由E，F分别是SA，BC的中点，得DESC，DFAB，进而得EF与AB所成的角的平面角为∠EFD(或其补角)，然后利用余弦定理求解即可．
【解答】
解：取AC中点D，连接DE、DF，
因为E，F分别是SA，BC的中点，
所以DESC，DFAB，
所以EF与AB所成的角的平面角为∠EFD(或其补角)，
由SC=2 3，AB=2，得DE= 3，DF=1，
又EF=1，
则cs∠EFD=DF2+EF2−DE22×DF×EF=1+1−32×1×1=−12，
所以∠EFD=2π3，
所以EF与AB所成的角大小为π3，
故选B.
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数的图象及解决含参数最值问题的能力，属于一道有难度的题．
令g(x)=f(x)−f(−1)，根据题设条件求出g(x)的表达式，画出其图象，再对m进行讨论，求出|g(x)|的最大值的表达式，进而解决其范围问题．
【解答】
解：∵函数f(x)=1−|x+1|,x<0x2−2x,x≥0，∴f(x)−f(−1)=x+1,x≤−1−x−1,−1其图象如下图所示：
①当m=−2时，g(x)=x+1,x∈[−2,−1]−x−1,x∈(−1,0],此时|g(x)|max=1；
②m∈(−2,−1)时，
|g(x)|max=−g(m+2)=−[(m+2)2−2(m+2)−1]=−m2−2m+1∈(1,2)；
③当m=−1时，g(x)=−x−1,x∈[−1,0]x2−2x−1,x∈(0,1],此时|g(x)|max=2，
④当m∈(−1,0)时，|g(x)|max=−g(m+2)=−[(m+2)2−2(m+2)−1]
=−m2−2m+1∈(1,2)；
⑤当m=0时，g(x)=x2−2x−1，x∈[0,2]，此时|g(x)|max=2.
综上，最大值的取值范围为[1,2].
故选：D.
10.【答案】A
【解析】解：根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|=|t|，
由于BP与x轴垂直，且∠BPQ=π3，则在Rt△PBT中，
|BT|= 33|PB|= 33|t|，
当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值 3，
当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值−2 33，则t取得最小值−2 33，
t=0时，P与B重合，不符合题意，
则t的取值范围为[−2 33,0)∪(0, 3]；
故选：A.
根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT|= 33|PB|= 33|t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案．
本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．
11.【答案】−76
【解析】解：在(1−2x)5−(1−x)4的展开式中，
则含x3项的系数为C53(−2)3−[C43(−1)3]=−76.
故答案为：−76.
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
12.【答案】y24−x2=1(答案不唯一，满足a≥2b>0的焦点在y轴上的标准方程均可)
【解析】解：设焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2−x2b2=1，(a>0,b>0)，
∴该双曲线的渐近线方程为y=±abx，
又该双曲线与直线y=2x没有交点，
∴ab≥2，
∴a≥2b，
取a=2，b=1，
则可得满足题意的一个双曲线方程为y24−x2=1，
故答案为：y24−x2=1(答案不唯一，满足a≥2b>0的焦点在y轴上的标准方程均可).
设焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2−x2b2=1，(a>0,b>0)，根据题意可得ab≥2，再取一组值，即可得解．
本题考查双曲线的几何性质，不等式思想，属基础题．
13.【答案】2
【解析】解：f(x)=|x2−4x+(a+4)x+b|=|x2−4x−[−(a+4)x−b]|，函数可理解为：
当横坐标相同时，函数g(x)=x2−4x，x∈[0,4]与函数h(x)=−(a+4)x−b，x∈[0,4]图象上点的纵向距离，
则M即为函数g(x)=x2−4x与函数h(x)=−(a+4)x−b图象上点的纵坐标差的绝对值的最大值，
由图象可知：当函数h(x)的图象刚好为y=−2时，M取得最小值为2，此时−(a+4)=0，且−b=−2，即a=−4，b=2.
故答案为：2.
根据题意，可得f(x)=|x2−4x−[−(a+4)x−b]|，则M即为函数g(x)=x2−4x与函数h(x)=−(a+4)x−b图象上点的纵坐标差的绝对值的最大值，因此作出图象，根据图象观察即可得出答案．
本题主要考查二次函数的图象与性质、函数的最值及其几何意义等知识，属于中档题．
14.【答案】(0,32]
【解析】解：因为f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，且|f(x)|≤f(π6)恒成立，
所以f(π6)=1，即π6ω+φ=2kπ+π2(k∈Z)，
解得φ=π2−ωπ6+2kπ,k∈Z.
由π30，得ωπ3+φ<ωx+φ<5ωπ6+φ，
即π2+ωπ6+2kπ<ωx+φ<π2+2ωπ3+2kπ,k∈Z，
若函数f(x)在(π3,5π6)上单调递增，
则−π2+2kπ≤π2+ωπ6+2kπ<π2+2ωπ3+2kπ≤π2+2kπ,k∈Z，
即−π2+2kπ≤π2+ωπ6+2kππ2+ωπ6+2kπ<π2+2ωπ3+2kππ2+2ωπ3+2kπ≤π2+2kπ，k∈Z，解得ω≥−6ω>0ω≤0，则不等式组无解；
若函数f(x)在(π3,5π6)上单调递减，
则π2+2kπ≤π2+ωπ6+2kπ<π2+2ωπ3+2kπ≤3π2+2kπ,k∈Z，
即π2+2kπ≤π2+ωπ6+2kππ2+ωπ6+2kπ<π2+2ωπ3+2kππ2+2ωπ3+2kπ≤3π2+2kπ，k∈Z，解得ω≥0ω>0ω≤32，则0<ω≤32，
所以实数ω的取值范围为(0,32].
故答案为：(0,32].
由|f(x)|≤f(π6)可知f(π6)=1，则φ=π2−ωπ6+2kπ,k∈Z，由正弦函数的单调性建立不等式组，解之即可求解．
本题考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】①④．
【解析】解：对于①：数列{an}中，由an=2n+1可知任意两项不相等，f(x)=x定义域为R满足①，
数列an=2n+1和f(x)=x均单调递增满足②，
{an}的前n项和Sn=n(3+2n+1)2=n2+2n，
由Sn=f(an)得n2+2n=2n+1，解得n=1，
所以∃n∈N*使Sn=f(an)成立，满足③，故①正确；
对于②：数列{an}中，由an=2n可知任意两项不相等，f(x)=2x−2定义域为R满足①，
数列an=2n和f(x)=2x−2均单调递增满足②，
an的前n项和Sn=2n+1−2，由Sn=f(an)得2n+1−2=2×2n−2恒成立，
所以∃n∈N*使Sn=f(an)成立满足③，
故an=2n与f(x)=2x−2具有“单调偶遇关系”，故②说法不正确；
对于③：以一次函数为例，f(x)=kx+b，Sn=n2+2n，Sn=f(an)，即n2+2n=k(2n+1)+b，
整理得n2+(2−2k)n−(k+b)=0，只要方程有正整数解且k>0即可，如方程中取n=1，则有3=3k+b，
即k=1−b3，对b进行不同的取值即可保证数列{2n+1}具有“单调偶遇关系”的函数有无数组，故③说法不正确；
对于④：中Sn=2n+1−2令f(an)=λan.
由Sn=f(an)得2n+1−2=λ×2n，取λ=2−22n，即可保证Sn=f(an)恒成立，故选项④正确．
故答案为：①④．
根据“单调偶遇关系”的新定义可判断选项①，②；以一次函数为例，f(x)=kx+b可判断③；令f(an)=λan，通过计算可判断④，进而可得正确选项．
本题主要考查数列与函数的综合，考查运算求解能力，属于难题．
16.【答案】解：(1)∵△ABC中，csB=13，∴sinB=2 23.
∵∠ADC=34π，∴∠ADB=π4.
在△ABD中，由正弦定理可得ADsinB=ABsin∠ADB，
即AD2 23=2 22，∴AD=83；
(2)设DC=a，则BD=2a，
∵BD=2DC，△ACD的面积为43 2，
∴△ABC的面积为4 2=12×2×3a×2 23，
∴a=2，
∴AC= 4+36−2×2×6×13=4 2，
在△ABD中，由正弦定理可得4sin∠BAD=2sin∠ADB，
∴sin∠BAD=2sin∠ADB.
在△ACD中，由正弦定理可得2sin∠CAD=4 2sin∠ADC，
∴sin∠CAD= 24sin∠ADC，
∵sin∠ADB=sin∠ADC，
∴sin∠BADsin∠CAD=4 2.
【解析】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
(1)△ABD中，由正弦定理可得AD的长；
(2)利用BD=2DC，△ACD的面积为43 2，求出a=2，利用余弦定理求出AC，利用正弦定理可得结论．
17.【答案】解：(1)依题意a+9+10+66+6+4+2=169，解得a=7，
所以在0，30)中的概率为7+67+9+10+6+6+6+4+2=1350.
(2)A学院所抽取的学生中男生有7+9+10+6=32人，
其中5月份的累计跑步里程不低于60km有10+6=16人，
女生有6+6+4+2=18人，
其中5月份的累计跑步里程不低于60km有4+2=6人，
所以在A学院所有男生中任取1人，跑步里程不低于60km的概率为1632=12，
在A学院所有女生中任取1人，跑步里程不低于60km的概率为618=13，
所以4人中恰有2人累计跑步里程不低于60km的概率为：
C22(12)2C20(1−13)2+C2112(1−12)C2113(1−13)+C20(12)2C22(13)2=1336；
(3)设B学院女生有x人，则男生有λx人，
xA−=1625×50+925×40=2325，
xB−=59λx+45xλx+45x=59λ+45λ+45，
依题意xA−≥xB−，即2325≥59λ+45λ+1，
显然λ>0，解得0<λ≤19，所以λ的最大值为19.
【解析】(1)先根据男女比即可求出a，再根据古典概型即可求出所求概率；
(2)先分别求出在A学院所有男生中任取1人，跑步里程不低于60km的概率及在A学院所有女生中任取1人，跑步里程不低于60km的概率，再根据乘法公式求解即可．
(3)设B学院女生人数为x，则男生人数为λx，求出x−A=x−B，即可得到不等式，解得即可．
本题考查古典概率模型公式，属于中档题．
18.【答案】(1)证明：因为底面ABCD为平行四边形，
所以AD//BC，
又AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
所以BC//平面PAD，
因为BC⊂平面BCFE，且平面BCFE∩平面PAD=EF，
所以BC//EF，
又E为棱PA的中点，所以F为PD中点．
(2)解：选择①：因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊥AB，PA⊂平面PAB，
所以PA⊥平面ABCD，
所以PC在底面ABCD内的投影为AC，
因为PC⊥BD，所以AC⊥BD，
又底面ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD是菱形，所以AD=AB=2，
因为PA⊥平面ABCD，且AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AD，
所以PD= PA2+AD2= 22+22=2 2≠3，
故四棱锥P−ABCD不存在．
选择②：因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊥AB，PA⊂平面PAB，
所以PA⊥平面ABCD，
因为AD、AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AC，
所以AD= PD2−PA2= 32−22= 5=BC=PC，
所以AC= PC2−PA2= 5−22=1，
所以AC2+AB2=BC2，即AB⊥AC，
故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0,1,0)，D(−2,1,0)，E(0,0,1)，P(0,0,2)，F(−1,12,1)，
所以CF=(−1,−12,1)，CD=(−2,0,0)，EF=(−1,12,0)，
设平面CDF的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅CF=0m⋅CD=0，即−x−12y+z=0−2x=0，
取z=1，则x=0，y=2，所以m=(0,2,1)，
设平面CEF的法向量为n=(a,b,c)，则n⋅CF=0n⋅EF=0，即−a−12b+c=0−a+12b=0，
取a=1，则b=2，c=3，所以n=(1,2,3)，
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|=|4+3| 5× 14= 7010，
由图可知，二面角D−CF−E为钝角，
所以二面角D−CF−E的余弦值为− 7010.
选择③：因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊥AB，PA⊂平面PAB，
所以PA⊥平面ABCD，
所以∠ACP即为PC与平面ABCD所成角，即tan∠ACP=2，
在Rt△PAC中，tan∠ACP=2=PAAC=2AC，所以AC=1，
因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，
所以AD= PD2−PA2= 32−22= 5=BC，
所以AC2+AB2=BC2，即AB⊥AC，
故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0,1,0)，D(−2,1,0)，E(0,0,1)，P(0,0,2)，F(−1,12,1)，
所以CF=(−1,−12,1)，CD=(−2,0,0)，EF=(−1,12,0)，
设平面CDF的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅CF=0m⋅CD=0，即−x−12y+z=0−2x=0，
取z=1，则x=0，y=2，所以m=(0,2,1)，
设平面CEF的法向量为n=(a,b,c)，则n⋅CF=0n⋅EF=0，即−a−12b+c=0−a+12b=0，
取a=1，则b=2，c=3，所以n=(1,2,3)，
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|=|4+3| 5× 14= 7010，
由图可知，二面角D−CF−E为钝角，
所以二面角D−CF−E的余弦值为− 7010.
【解析】(1)由AD//BC，可得BC//平面PAD，再利用线面平行的性质定理知BC//EF，从而得证；
(2)选择①：由面面垂直的性质定理可证PA⊥平面ABCD，结合三垂线定理推出四边形ABCD是菱形，从而得PD=2 2≠3，进而知四棱锥P−ABCD不存在；
选择②：由面面垂直的性质定理可证PA⊥平面ABCD，再利用勾股定理证明AB⊥AC，于是以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解；
选择③：由面面垂直的性质定理可证PA⊥平面ABCD，根据线面角的定义知tan∠ACP=2，再利用勾股定理证明AB⊥AC，于是以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理与性质定理，面面垂直的性质定理，利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意得1a2+94b2=1,ca=12,a2=b2+c2,解得a=2,b= 3,c=1.
所以椭圆E的方程为x24+y23=1.
(2)因为点P(m,n)是E上的任意一点，所以3m2+4n2=12.
①当m=1时，点P(1,32)或P(1,−32).
当点P(1,32)时，直线PF与直线x+2y=0相交于点Q(1,−12)，此时|PQ|=2.
当点P(1,−32)时，直线PF与直线x−2y=0相交于点Q(1,12)，此时|PQ|=2.
②当m≠1时，直线PF的方程为y=nm−1(x−1)，
由y=nm−1(x−1)3mx+4ny=0，可得x=4n212−3my=−mn4−m，所以Q(4n212−3m,−mn4−m).
所以|PQ|2=(m−4n212−3m)2+(n−−mn4−m)2=(12m−3m2−4n212−3m)2+(4n−mn+mn4−m)2
=(4m−44−m)2+(4n4−m)2=(4m−4)2+16n2(4−m)2=(4m−4)2+4(12−3m2)(4−m)2
=4(m2−8m+16)(4−m)2=4(m−4)2(4−m)2=4，
所以|PQ|=2.
综上所述，|PQ|=2.
【解析】本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
(1)由题意得1a2+94b2=1,ca=12,a2=b2+c2,求出a，b即可得椭圆方程；
(2)由题意可得3m2+4n2=12，当m=1时，求出|PQ|的值；当m≠1时，联立直线PF与直线3mx+4ny=0的方程求出点Q的坐标，根据3m2+4n2=12求解|PQ|2即可．
20.【答案】解：(1)因为f(x)=ln(x+1)−ax(x>−1)，
所以f′(x)=1x+1−a，
因为曲线y=f(x)在原点处的切线为x轴，
所以f′(0)=1−a=0，即a=1；
(2)由题，方程f(x)=−x2x+2可化为ln(x+1)−2xx+2=0，
令g(x)=ln(x+1)−2xx+2(x>−1)，
则g′(x)=1x+1−4(x+2)2=(x+2)2−4(x+1)(x+1)(x+2)2=x2(x+1)(x+2)2≥0，
所以g(x)在(−1,+∞)上单调递增，
又g(0)=0，所以g(x)在(−1,+∞)上有唯一零点x=0，
即方程f(x)=−x2x+2有唯一解x=0；
证明：(3)要证e<(20242023)2023.5，
即证1<2023.5×ln20242023，
即证ln20242023>12023.5，
由(2)易得ln(x+1)>2xx+2,x∈(0,+∞)，
所以ln20242023=ln(12023+1)>2×1202312023+2=24047=12023.5得证．
【解析】(1)根据题意可知f(x)在x=0处的导数值为0，解方程即可；
(2)构造函数g(x)=ln(x+1)−2xx+2，利用导数证明其单调性，再通过观察法得x=0是g(x)的零点，从而得解；
(3)要证e<(20242023)2023.5，即证ln20242023>12023.5，然后利用(2)中结论即可证明．
本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为B={1,2,3,4}，
又1∈N*，2∈N*，3∈N*，4∈N*，但|4−2|=2，
所以集合B不具有性质P(2)，
因为C={1,4,7,10}，
又1∈N*，4∈N*，7∈N*，10∈N*，
但|4−1|=3，|7−1|=6，|10−1|=9，|7−4|=3，|10−4|=6，|10−7|=3，
所以集合C具有性质P(2)，
(2)证明：将集合{1,2,⋯,20}中的元素分为如下11个集合，
{1,4}，{2,5}，{3,6}，{7,10}，{8,11}.{9,12}，{13,16}，{14,17}，{15,18}，{19}，{20}，
所以从集合{1,2,⋯,20}中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，
所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，
所以A不可能具有性质P(3)；
(3)先说明连续11项中集合A中最多选取5项，
以1，2，3⋅⋅⋅，11为例．
构造抽屉{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}，{5}，{6}，{7}.
①5，6，7同时选，因为具有性质P(4)和P(7)，
所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；
则只剩4，8.故1，2，3⋅⋅⋅，11中属于集合A的元素个数不超过5个．
②5，6，7选2个，
若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{4,11}只能选一个元素，
3，8可以选，故1，2，3⋅⋅⋅，11中属于集合A的元素个数不超过5个．
若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，
故1，2，3⋅⋅⋅，11中属于集合A的元素个数不超过5个．
若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1,8}只能选一个元素，
4，9可以选，故1，2，3⋅⋅⋅，11中属于集合A的元素个数不超过5个．
③5，6，7中只选1个，
又四个集合{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}每个集合至多选1个元素，
故1，2，3⋅⋅⋅，11中属于集合A的元素个数不超过5个．
由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，
如取1，4，6，7，9.
因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；
从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有184×5=920个．
给出如下选取方法：从1，2，3⋅⋅⋅，11中选取1，4，6，7，9；
然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次．
此时集合A的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；⋅⋅⋅⋅⋅⋅；
2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素．
经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个．
【解析】(1)根据定义判断B，C是否具有性质P(2)即可；
(2)将{1,2,⋯,20}分为11个子集，结合抽屉原理证明结论；
(3)先证明连续11个自然数中至多有5个元素属于A，由此可得集合A中元素个数不超过920个，再举例说明存在含有920个元素的满足要求的集合A.
本题考查集合新定义，考查学生计算能力，属于难题．跑步里程s(km)
0≤s<30
30≤s<60
60≤s<90
s≥90
男生
a
9
10
6
女生
6
6
4
2
学院性别
A
B
男生
50
59
女生
40
45