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2024年天津市河西区新华中学高考数学统练试卷（二）（含详细答案解析）
展开这是一份2024年天津市河西区新华中学高考数学统练试卷（二）（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A={x||2x−3|≤1}，B={x|−2
2.设a∈R，则“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a−1)y=a−7平行”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若a=lg38，b=21.2，c=0.33.1，则( )
A. c>a>bB. a>b>cC. b>a>cD. a>c>b
4.函数f(x)=3ln( x2+1+x)1+|x|的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列正确的是( )
A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//β
C. 若m⊥α，n⊥α，则m//nD. 若m//α，m//β，则α//β
6.在等比数列{an}中，3a1,12a3,2a2成等差数列，则a9+a10a7+a8=( )
A. 3B. 13C. 9D. 19
7.已知抛物线y2=4x的焦点F是双曲线x2a2−y2b2=1的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点.若△ABF是等边三角形，则双曲线的方程为( )
A. x23−y24=1B. x24−y23=1C. x237−y247=1D. x247−y237=1
8.已知函数f(x)=csωx− 3sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是( )
A. 函数f(x)的图象关于点(7π12,0)中心对称
B. 函数f(x)的单调增区间为[kπ−2π3,kπ−π6](k∈Z)
C. 函数f(x)的图象可由y=2sinωx的图象向左平移5π12个单位长度得到
D. 函数g(x)=f(tωx)在(0,π)上有2个零点，则实数t的取值范围为(76,136]
二、多选题：本题共1小题，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列物体，能够被半径为2(单位：m)的球体完全容纳的有( )
A. 所有棱长均为2 2的四面体
B. 底面棱长为1m，高为3.8m的正六棱锥
C. 底面直径为1.6m，高为3.6m的圆柱
D. 上、下底面的边长分别为1m，2m，高为3m的正四棱台
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.复数z=1−2i1+i3的虚部为______.
11.(x−3x2)6的展开式中的常数项为______(用数字作答).
12.已知圆心在直线x−3y=0上的圆C与y轴的负半轴相切，且C截x轴所得的弦长为4 2，则圆C的方程为______.
13.已知a>1，b>1，且ab=e2，则alnb的最大值为______.
14.如图，在△ABC中，AB=2,AC=3,AB⋅AC=3，点D是BC的中点，点E在边AC上，3AE=AC,BE交AD于点F，设BF=λAB+μAC(λ,μ∈R)，则λ+μ=______；点 G是线段BC上的一个动点，则BF⋅FG的最大值为______.
15.已知m∈R，函数f(x)=x+6m−8,x≥1,−x2+mx+m2,x<1.若对于任意实数a，方程f(x)=a有且只有一个实数根，且f(2)<8，函数y=|f(x)|的图象与函数y=mx+t的图象有三个不同的交点，则t的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcsC=2a−c.
(1)求角B的大小；
(2)若a
②求sin(2C+B)的值.
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90∘，E，F分别为CC1，BC的中点.
(1)求异面直线A1B与EF所成角的余弦值；
(2)求点B1到平面AEF的距离；
(3)求平面AEF与平面A1EB夹角的余弦值.
18.(本小题15分)
已知椭圆C1:x28+y24=1与椭圆C2有相同的离心率，椭圆C2焦点在y轴上且经过点(1, 2).
(1)求椭圆C2的标准方程；
(2)设A为椭圆C1的上顶点，经过原点的直线l交椭圆C2于P、Q，直线AP、AQ与椭圆C1的另一个交点分别为点M和N，若△AMN与△APQ的面积分别为S1和S2，求S1S2取值范围.
19.(本小题15分)
已知数列{an}，{bn}，Sn是数列{an}的前n项和，已知对于任意n∈N*，都有3an=2Sn+3，数列{bn}是等差数列，b1=lg3a1，且b2+5，b4+1，b6−3成等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)记dn=bn+2−1bnbn+1an,n∈N*，求数列{dn}的前n项和Tn；
(3)记cn={an,n为奇数bn2,n为偶数，求k=12nckck+1.
20.(本小题16分)
已知函数f(x)=ax+x2−xlna(a>0,a≠1).
(1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)单调增区间；
(3)若存在x1，x2∈[−1,1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥e−1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由|2x−3|≤1可得−1≤2x−3≤1，解得1≤x≤2，即A={x|1≤x≤2}，
又因为B={x|−2
故选：A.
求出集合A、B，即可求得集合A∩B，即可得解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：当a=3时，两条直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，此时两条直线平行成立
反之，当两条直线平行时，有−a2=31−a但−a≠a−7a−1即a=3或a=−2，
a=−2时，两条直线都为x−y+3=0，重合，舍去
∴a=3
所以“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a−1)y−a+7=0平行”的充要条件．
故选：C.
先判断当a=3成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，一定有a=3成立，利用充要条件的定义得到结论．
判断一个命题是另一个命题的什么条件，也不应该先化简各个命题，再判断是否相互推出．
3.【答案】C
【解析】解：∵1=lg33
∴1
故选：C.
根据对数函数与指数函数的单调性比较大小．
本题考查了指数函数，对数函数单调性应用，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意可得：f(x)的定义域为R，
因为−3ln( x2+1+x)1+|x|=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除B，D.
当x>0时，则1+|x|>0, x2+1+x>1，可得ln( x2+1+x)>0，
所以f(x)>0，排除A.
故选：C.
根据函数奇偶性结合函数值的符合分析判断．
本题考查函数奇偶性，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：
在A中，若m//α，n//α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
在B中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故B错误；
在C中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m//n，故C正确；
在D中，若m//α，m//β，则α与β相交或平行，故D正确．
故选：C.
在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，由线面垂直的性质定理得m//n；在D中，α与β相交或平行．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
6.【答案】C
【解析】解：设{an}的公比为q，
则由题意可知3a1+2a2=2×12a3⇒a1q2=3a1+2a1q⇒q=3或q=−1，
显然q=−1时，a7=−a8⇒a7+a8=0，a9+a10a7+a8无意义舍去；
所以a9+a10a7+a8=a9(1+q)a7(1+q)=q2=9.
故选：C.
利用等差数列及等比数列的相关概念计算即可．
本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：已知抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线方程为x=−1，
双曲线的渐近线方程为y=±bax，
又抛物线y2=4x的焦点F是双曲线x2a2−y2b2=1的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点，
则A(−1,ba)，B(−1,−ba)，
又△ABF是等边三角形，
则ba2= 33，
又a2+b2=1，
则a2=37，b2=47，
则双曲线的方程为x237−y247=1.
故选：C.
由双曲线的性质，结合抛物线的性质求解．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了抛物线的性质，属中档题．
8.【答案】D
【解析】解：根据辅助角公式可知，f(x)=csωx− 3sinωx=−2sin(ωx−π6)，
由题意可知34T=π3−(−5π12)=2πω×34⇒ω=2，
所以f(x)=−2sin(2x−π6)，
对于A项，当x=7π12时，f(x)=−2sin(7π6−π6)=0，A 正确；
对于B项，令−3π2+2kπ≤2x−π6≤−π2+2kπ⇒x∈[−2π3+kπ,−π6+kπ](k∈Z)，此时函数f(x)=−2sin(2x−π6)单调递增，故B正确；
对于C项，y=2sin2x的图象向左平移5π12个单位长度得y=2sin(2x+5π6)=−2sin(2x−π6)=f(x)，故C正确；
对于D项，g(x)=f(2tx)=−2sin(4tx−π6)，显然t=0不合题意，
易知x∈(0,π)，则当t>0时，4tx−π6∈(−π6,4tπ−π6)，此时g(x)有两个零点，即4tπ−π6∈(π,2π]⇒t∈(724,1324],
当t<0时，有4tx−π6∈(4tπ−π6,−π6)，此时g(x)有两个零点，即4tπ−π6∈[−3π,−2π)⇒t∈[−1724,−1124),显然D错误．
故选：D.
利用辅助角公式及函数图象先化简计算得出函数式，结合三角函数的图象及性质一-判定选项即可．
本题主要考查了正弦函数的性质的综合应用，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A，将所有棱长均为2 2m的四面体补成正方体，则该正方体的棱长为2m，该正方体的外接球也就是该四面体的外接球，
所以其外接球的直径为正方体体对角线长 22+22+22=2 3(m)，又2 3<4，所以选项A符合题意，
对于选项B，易知底面棱长为1m的正六棱锥的底面外接圆的半径为1m.设球心O到底面的距离为d，
则由球的性质可知，22=12+d2，解得d= 3或d=− 3(舍去)，
此时正六棱锥的高的最大值为2+ 3<3.8，所以选项B不符合题意，
对于选项C，底面直径为1.6m，高为3.6m的圆柱的外接球的半径为 0.82+1.82= 3.88(m)，
因为 3.88<2，所以选项C符合题意，
在对于选项D，正四棱台中，上底面的对角线长为 12+12= 2(m)，下底面的对角线长为 22+22=2 2(m)，
易知外接球的球心在正四棱台的上、下底面中心的连线上，且在上底面的下方．
设球心到上底面的距离为d，球的半径为R.当球心在两底面之间时，球心到下底面的距离为3−d(0
当球心在下底面上或下方时，球心到下底面的距离为d−3(d≥3)，
则R2=12+d2且R2=2+(d−3)2，解得d=74<3(舍弃)，
所以R2=12+4916=5716<4，符合题意．
故选：ACD.
对于A，C，D选项中的几何体，可直接求出其外接球的半径，将此半径与所给球的半径比较大小即可判断．对于B选项，可假设正六棱锥的外接球半径为2m，底面棱长为1m，求出此时正六棱锥的高，将求出的高与所给高进行比较即可．
本题考查了空间几何体的结构特征，考查了直观想象能力，属于中档题．
10.【答案】−12
【解析】解：依题意，z=1−2i1−i=(1−2i)(1+i)(1−i)(1+i)=3−i2=32−12i，
所以复数z=1−2i1+i3的虚部为−12.
故答案为：−12.
根据给定条件，利用复数乘方运算、除法运算求出复数z即可作答．
本题主要考查了复数的四则运算及复数基本概念，属于基础题．
11.【答案】135
【解析】解：根据二项式的展开式Tr+1=C6r⋅x6−r⋅(−3)r⋅x−2r=C6r⋅(−3)r⋅x6−3r(r=0,1,,6)r∈N；
令6−3r=0时，解得r=2；
故常数项为C62⋅(−3)2=135.
故答案为：135.
直接利用二项式的展开式求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】(x+3)2+(y+1)2=9
【解析】解：因为圆心在直线x−3y=0上，所以设圆心坐标为(3b,b)，
因为圆C与y轴的负半轴相切，所以b<0，且圆的半径为−3b，
所以圆的标准方程可设为：(x−3b)2+(y−b)2=(−3b)2，因为圆C截x轴所得的弦长为4 2，
所以令y=0，得(x−3b)2+(0−b)2=(3b)2⇒x=3b±2 −2b，
且有3b+2 −2b−(3b−2 −2b)=4 2⇒b=−1，
所以圆C的方程为：(x+3)2+(y+1)2=9.
故答案为：(x+3)2+(y+1)2=9.
根据圆的切线性质，利用待定系数法进行求解即可．
本题主要考查圆的方程的求解，属于基础题．
13.【答案】e
【解析】解：由ab=e2，a>1，b>1，∴lna>0，lnb>0，
两边取对数得到ln(ab)=lna+lnb=lne2=2，
设t=alnb，两边取对数得lnt=lnalnb≤(lna+lnb2)2=1，
当且仅当lna+lnb=2lna=lnb，即a=b=e时，等号成立，
所以t≤e，alnb的最大值为e.
故答案为：e.
由ab=e2，两边取对数得到lna+lnb=2，再设t=alnb，两边取对数，利用基本不等式求解．
本题考查了对数的运算性质，基本不等式求最值的方法，是基础题．
14.【答案】−12 916
【解析】解：取EC的中点，M连接DM，
因为AC=3AE，所以AE=EM=MC，
又因为BD=CD，则DM为△BCE的中位线，所以DM//BE，
因为AE=EM，所以EF为△ADM的中位线，
所以DF=12AD，所以BF=BD+DF=12BC−12AD=12(AC−AB)−14(AB+AC)=−34AB+14AC，
因为BF=λAB+μAC，所以λ=−34,μ=14，所以λ+μ=−12；
因为点G是线段BC上的一个动点，所以设BG=tBC(0≤λ≤1)，
所以FG=BG−BF=tBC−BF=t(AC−AB)−(−34AB+14AC)=(34−t)AB+(t−14)AC，
所以BF⋅FG=(−34AB+14AC)⋅[(34−t)AB+(t−14)AC]=(34t−916)AB2+(38−t)AB⋅AC+(t4−116)AC2
=3t−94+98−3t+94t−916=94t−2716，
当t=1时，BF⋅FG有最大值，且最大值为916.
故答案为：−12；916.
取EC的中点，M连接DM，结合条件可得DF=12AD，再由平面向量的线性运算计算可得BF=−34AB+14AC，由平面向量基本定理即可求得λ，μ，从而求得第一空；设BG=tBC(0≤λ≤1)，由平面向量的线性运算得FG=(34−t)AB+(t−14)AC，再由平面向量的数量积运算可得BF⋅FG=94t−2716，结合t的取值范围，即可求得．
本题考查平面向量的数量积与线性运算，属于中档题．
15.【答案】(2 5−2,4)
【解析】解：因为对于任意实数a，方程f(x)=a有且只有一个实数根，且f(2)<8，
所以1+6m−8=−1+m+m2f(2)=2+6m−8<8，解得m=2.
所以f(x)=x+4,x≥1−x2+2x+4,x<1，
函数y=|f(x)|的图象如图所示：
令−x2+2x+4=0，解得x=1± 5，即A(1− 5,0).
当函数y=2x+t过A点时，t=2 5−2，
此时函数y=2x+t与y=|f(x)|有两个交点．
联立y=2x+ty=−x2+2x+4⇒x2+t−4=0，
当Δ=0−4(t−4)=0，即t=4时，
此时函数y=2x+t与y=|f(x)|有两个交点．
因为函数y=|f(x)|的图象与函数y=2x+t的图象有三个不同的交点，
所以2 5−2
首先根据已知条件得到m=2，画出函数y=|f(x)|的图象，利用数形结合的思想即可得到t的取值范围．
本题主要考查函数的单调性和函数的零点问题，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题．
16.【答案】解：(1)因为2bcsC=2a−c，由正弦定理可知2sinBcsC=2sinA−sinC=2sin(B+C)−sinC=2sinBcsC+2sinCcsB−sinC，
化简得2sinCcsB−sinC=sinC(2csB−1)=0，
因为sinC≠0，所以2csB−1=0⇒csB=12，
因为B∈(0,π)，所以B=π3；
(2)①由(1)及余弦定理可知a2+c2−b2=2accsB⇒a2+c2−ac=28，
又S△ABC=12acsinB=3 3⇒ac=12，a
②由正弦定理可知sinC=csinBb=3 2114，sinA=asinBb= 2114，
因为a
由sinA=asinBb= 2114可知csA=5 714，
所以sin2A=2sinAcsA=5 314,cs2A=1−2sin2A=1114，
故sin(2C+B)=− 32×1114−12×5 314=−4 37.
【解析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换计算即可；
(2)利用余弦定理及三角形面积公式计算可求a，c；利用三角恒等变换计算可求sin(2C+B).
本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理，倍角公式，两角和与差的三角函数公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意可知AB、AC、AA1两两垂直，
如图所示建立空间直角坐标系，
则A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，
即A1B=(2,0,−2),EF=(1,−1,−1)，
所以cs
即异面直线A1B与EF所成角的余弦值为 63；
(2)由(1)知：AB1=(2,0,2),AE=(0,2,1),AF=(1,1,0)，
设面AEF的一个法向量为n=(x,y,z)，
则由n⊥AE，n⊥AF，有n⋅AE=2y+z=0n⋅AF=x+y=0，
取y=−1，可得x=1，z=2，即n=(1,−1,2)，
所以点B1到平面AEF的距离为d=|AB1⋅n||n|=6 6= 6；
(3)由(1)知：A1B=(2,0,−2),A1E=(0,2,−1)，
设面A1EB的一个法向量为m=(a,b,c)，
则由m⊥A1B，m⊥A1E，有m⋅A1B=2a−2c=0m⋅A1E=2b−c=0，
取c=2，可得b=1，a=2，即m=(2,1,2)，
设平面AEF与平面A1EB夹角为α，
则csα=|cs
即平面AEF与平面A1EB夹角的余弦值5 618.
【解析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量计算即可；
(2)利用空间向量计算点面距离即可；
(3)利用空间向量计算面面夹角即可．
本题考查利用空间向量求解异面直线所成角、点到平面的距离及二面角夹角的余弦值，属中档题．
18.【答案】解：(1)易知椭圆C1:x28+y24=1的离心率e1= 8−42 2= 22，
因为椭圆C1:x28+y24=1与椭圆C2有相同的离心率，
所以e2= 22，①
不妨设椭圆C2的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，
因为椭圆C2过点(1, 2)，
所以( 2)2a2+12b2=1，②
又a2=b2+c2，③
联立①②③，解得a=2，b= 2，
则椭圆C2的标准方程为y24+x22=1；
(2)由(1)知A(0,2)，
不妨设点P(x0,y0)在第一象限和x轴正半轴上，
可得Q(−x0,−y0)，
因为点在椭圆C2上，
所以y024+x022=1，
此时kAP⋅kAQ=2−y0−x0⋅2+y0x0=4−y02−x02=4−y02−4−y022=−2，
易知直线AP、AQ的斜率存在且不为0，
不妨设直线AP的斜率为k1，直线AQ的斜率为k2，
此时k1⋅k2=−2，
不妨设直线AP的方程为y=k1x+2，
联立y=k1x+2x28+y24=1，消去y并整理得(1+2k12)x2+8k1x=0，
此时xM=−8k11+2k12，
同理得xN=−8k21+2k22，
联立y=k1x+2y24+x22=1，消去y并整理得(2+k12)x2+4k1x=0，
此时xP=−4k12+k12，
同理得xQ=−4k22+k22，
所以S1S2=|AM||AN||AP||AQ|=|6k1k2|(1+2k12)(1+2k22)×(2+k12)(2+k22)|16k1k2|
=4(4+2k12+2k22+4)2k12+2k22+17=32+8(k12+k22)17+2(k12+k22)=4−3617+2(k12+k22)，
易知k12+k22=k12+4k12≥4，
故S1S2的取值范围为[6425,4).
【解析】(1)由题意，根据椭圆C1:x28+y24=1与椭圆C2有相同的离心率，得到椭圆C2的离心率，设出椭圆C2的方程，将点(1, 2)代入方程中，结合a，b，c之间的关系，进而可得椭圆C2的方程；
(2)设点P(x0,y0)在第一象限和x轴正半轴上，根据椭圆方程得到kAP⋅kAQ=−2，设出直线AP和AQ的方程，将其与椭圆方程联立，得到|AM||AN|和|AN||AQ|的表达式，进而可得S1S2的表达式，结合kAP⋅kAQ=−2再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：(1)当n=1时，3a1=2a1+3，解得a1=3.
当n≥2时，3an−1=2Sn−1+3，
所以3an−3an−1=2an⇒anan−1=3，
即{an}是以首先a1=3，公比为3的等比数列，即an=3n.
因为b1=lg33=1，b2+5，b4+1，b6−3成等比数列，
所以(b4+1)2=(b2+5)(b6−3)，即(1+3d+1)2=(1+d+5)(1+5d−3)，
解得d=2.
所以bn=1+2(n−1)=2n−1.
(2)由(1)得dn=bn+2−1bnbn+1an=2n+2(2n−1)(2n+1)⋅3n=12[1(2n−1)⋅3n−1−1(2n+1)⋅3n]，
则Tn=d1+d2+d3+⋅⋅⋅+dn
=12[(11×30−13×31)+(13×31−15×32)+(15×32−17×33)+⋅⋅⋅+(1(2n−1)⋅3n−1−1(2n+1)⋅3n)]
=12(11×30−1(2n+1)⋅3n)
=12−12(2n+1)⋅3n；
(3)k=12nckck+1=c1c2+c2c3+⋯+c2nc2n+1，
因为c2n−1c2n+c2nc2n+1=c2n(c2n−1+c2n+1)=(2n−1)(32n−1+32n+1)=103(2n−1)⋅9n，
设dn=(2n−1)⋅9n，前n项和为Kn，
则Kn=1×91+3×92+⋯+(2n−1)×9n，
9Kn=1×92+3×93+⋯+(2n−3)×9n+(2n−1)×9n+1，
−8Kn=9+2(92+⋯+9n)−(2n−1)⋅9n+1=9+2×81(1−9n−1)1−9−(2n−1)⋅9n+1
Kn=4532+8n−532⋅9n+1.
所以k=12nckck+1=103Kn=7516+40n−2548⋅9n+1.
【解析】(1)首先根据an与Sn的关系得到an，再根据等比数列的性质即可得到bn；
(2)利用裂项相消法即可得结果；
(3)将分组求和与错位相减法相结合即可得结果．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的分组求和、裂项相消求和与错位相减法求和，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵f(x)=ax+x2−xlna，
∴f′(x)=axlna+2x−lna，
∴f′(0)=0，f(0)=1
即函数f(x)图象在点(0,1)处的切线斜率为0，
∴图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=1；
(2)由于f′(x)=axlna+2x−lna=2x+(ax−1)lna>0
①当a>1，y=2x单调递增，lna>0，所以y=(ax−1)lna单调递增，故y=2x+(ax−1)lna单调递增，
∴2x+(ax−1)lna>2×0+(a0−1)lna=0，即f′(x)>f′(0)，所以x>0
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②当0
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
综上，函数f(x)单调增区间(0,+∞)；
(3)因为存在x1，x2∈[−1,1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥e−1，
所以当x∈[−1,1]时，|(f(x))max−(f(x))min|
=(f(x))max−(f(x))min≥e−1，(12分)
由(2)知，f(x)在[−1,0]上递减，在[0,1]上递增，
所以当x∈[−1,1]时，(f(x))min=f(0)=1，
(f(x))max=max{f(−1),f(1)}，
而f(1)−f(−1)=(a+1−lna)−(1a+1+lna)=a−1a−2lna，
记g(t)=t−1t−2lnt(t>0)，
因为g′(t)=1+1t2−2t=(1t−1)2≥0(当t=1时取等号)，
所以g(t)=t−1t−2lnt在t∈(0,+∞)上单调递增，而g(1)=0，
所以当t>1时，g(t)>0；当0
当0
②当0
【解析】本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．
(1)先求函数的导函数f′(x)，再求所求切线的斜率即f′(0)，由于切点为(0,0)，故由点斜式即可得所求切线的方程；
(2)先求原函数的导数得：f′(x)=axlna+2x−lna=2x+(ax−1)lna，再对a进行讨论，得到f′(x)>0，从而函数f(x)在(0,+∞)上单调递增．
(3)f(x)的最大值减去f(x)的最小值大于或等于e−1，由单调性知，f(x)的最大值是f(1)或f(−1)，最小值f(0)=1，由f(1)−f(−1)的单调性，判断f(1)与f(−1)的大小关系，再由f(x)的最大值减去最小值f(0)大于或等于e−1求出a的取值范围．
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