2024年辽宁省协作校高考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年辽宁省协作校高考数学一模试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={1,2,3,4}，且A∩B=A，则集合B可以是( )
A. {1,2,3}B. {x|x2>1}C. {x|lg2x>0}D. {x|2x>1}
2.已知a，b∈R，a+3i=(b+i)i(i为虚数单位)，则( )
A. a=1，b=−3B. a=−1，b=3
C. a=−1，b=−3D. a=1，b=3
3.已知a，b∈R.则“a>0且b>0”是“ab+ba≥2”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知双曲线C:y23−x2=1的下焦点和上焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F2AB面积是△F1AB面积的4倍，则m=( )
A. 3B. −3C. 103D. −103
5.猜灯谜是中国元宵节特色活动之一.已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球(不放回)，猜出自己所选球内的灯谜者获胜.若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有12的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为( )
A. 124B. 118C. 112D. 16
6.若函数f(x)使得数列an=f(n)，n∈N*为递减数列，则称函数f(x)为“数列保减函数”，已知函数f(x)=lnx−ax为“数列保减函数”，则a的取值范围( )
A. [ln3,+∞)B. (ln2,+∞)C. [1,+∞)D. (0,+∞)
7.若tan2α=43，则2+2cs2α−3sin2α1−cs2α=( )
A. −12或2B. −2或12C. 2D. −12
8.已知函数f(x)=lg2(4x+16)−x−2，若f(a−1)≥f(2a+1)成立，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,−2]B. (−∞,−2]∪[0,+∞)
C. [−2,43]D. (−∞,−2]∪[43,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是( )
A. 样本乙的极差一定大于样本甲的极差B. 样本乙的众数一定大于样本甲的众数
C. 样本甲的方差一定大于样本乙的方差D. 样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数
10.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(−π20.
(1)求证：当n≥5时，{an}成等差数列；
(2)求{an}的前n项和Sn.
19.(本小题12分)
某教育教研机构为了研究学生理科思维和文科思维的差异情况，对某班级35名同学的数学成绩和语文成绩进行了统计并整理成如下2×2列联表(单位：人)：
(1)能否有95%的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关？(计算结果精确到0.001)
(2)从该班的学生中任选一人，A表示事件“选到的学生数学成绩良好”，B表示事件“选到的学生语文成绩良好”，P(A|B)P(A−|B)与P(A|B−)P(A−|B−)的比值是文、理科思维差异化的一项度量指标，记该指标为R.
(i)证明：P(B|A)P(B−A)⋅P(B−|A−)P(B|A−)；
(ii)利用该表中数据，给出P(B|A)，P(B|A−)的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥侧面PAB，F为BD中点，E是PA上的点，PA=PD=2，PA⊥PD.
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)若二面角E−DF−A的余弦值为3 1111，求E到平面PBC的距离
21.(本小题12分)
已知圆C1:x2+y2=1和椭圆C2:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，椭圆C2的四个顶点为A1，A2，B1，B2，如图.
(1)圆C1:x2+y2=1与平行四边形A1B2A2B1内切，求a2+4b2的最小值；
(2)已知椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合.当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点与C1外切，与C2内接的平行四边形？并证明你的结论.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=blnx，g(x)=x2+ax(其中a，b为实数，且b>0).
(1)当a=−1时，f(x)≤g(x)恒成立，求b；
(2)当b=2时，函数G(x)=f(x)−g(x)有两个不同的零点，求a的最大整数值.
(参考数据：ln54≈0.223)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为集合A={1,2,3,4}，且A∩B=A，即A⊆B，
A：结合选项可知，A显然不符合题意；
B：{x|x2>1}={x|x>1或x0}={x|x>1}，不符合题意；
D：{x|2x>1}={x|x>0}，符合题意．
故选：D.
由A∩B=A，可得A⊆B，然后结合集合的包含关系检验各选项即可判断．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵a+3i=(b+i)i=−1+bi，a，b∈R，
∴a=−1，b=3，
故选：B.
利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．
本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：当a>0且b>0时，ab>0,ba>0，
则ab+ba≥2 ab⋅ba=2，当且仅当ab=ba，即a=b时取等号，
所以充分性成立；
当a0，
则ab+ba≥2 ab⋅ba=2，当且仅当ab=ba，即a=b时取等号，
所以必要性不成立；
所以“a>0且b>0”是“ab+ba≥2”的充分不必要条件．
故选：A.
根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
本题主要考查充分条件与必要条件的判断，涉及基本不等式的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：双曲线C:y23−x2=1的下焦点和上焦点分别为F1(0,−2)，F2(0,2)，
联立y=x+my2=3x2+3，可得2x2−2mx−m2+3=0，
由Δ>0，即4m2−8(3−m2)>0，解得m> 2，或m0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x ab>b，要想构成等差数列，则有：a+b=a+b2+ ab⇒a+b2= ab⇒a=b，这与a>b矛盾，因此不能构成等差数列，
若能构成等比数列，则有：ab=a+b2⋅ ab⇒a+b2= ab⇒a=b，这与a>b矛盾，因此不能构成等比数列，当0>a>b时， ab>a>a+b2>b，
要想构成等差数列，则有：a+a+b2= ab+b⇒b=9a或b=a(舍去)，
要想成等比数列，则有：因为 ab>0,a,a+b2,b0，f(x)单调递增，
在(−1,73)上f′(x)0，f(x)单调递增，
所以在x=−1处取得极大值，且f(−1)=8，符合题意，
当a=3，b=3时，f(x)=x3+3x2+3x+9，f′(x)=3x2+6x+3=(3x+3)(x+1)，
令f′(x)=0得x=−1，
所以在(−∞,−1)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(−1,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以在x=−1处，没有取得极值，不合题意，舍去，
所以f(x)=x3−2x2−7x+4，
所以f(1)=−4.
故答案为：−4.
根据题意可得f′(−1)=3−2a+b=0，且f(−1)=−1+a−b+a2=8，解得a，b，分析f′(x)的符号，f(x)的单调性，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
15.【答案】722π3
【解析】解：该组合体的体积为：
V=V圆柱1+V圆台+V圆柱2
=π×52×2+13π×(42+52+4×5)×2+π×52×6
=722π3.
故答案为：722π3.
根据圆柱于圆台的体积公式，计算组合体的体积即可．
本题考查了圆柱与圆台体积计算问题，是基础题．
16.【答案】 5
【解析】解：因为⟨e1,e2⟩=105∘且两者均为单位向量，
所以e1⋅e2=|e1|⋅|e2|⋅cs⟨e1,e2⟩
=cs105∘=cs(45∘+60∘)=cs45∘×cs60∘−sin45∘×sin60∘= 2− 64，
又因为对于任意的x，y∈R，都有|a−(xe1+ye2)|≥|a−(x0e1+y0e2)|=1，
则当x=x0，y=y0时，|a−(xe1+ye2)|取得最小值，
因为|a−(xe1+ye2)|2=|a|2+(xe1+ye2)2−2a⋅(xe1+ye2)=a2+x2+y2+ 2− 62xy−2x−2 2y，
令f(x)=x2+( 2− 62y−2)x+y2−2 2y，
由二次函数性质得，当x=1− 2− 64y时，f(x)min=8+4 316y2−3 2+ 62y−1，
令g(y)=8+4 316y2−3 2+ 62y−1，
同理g(y)min=−4，即f(x)min=−4，
故|a|2−4=1⇒|a|= 5.
故答案为： 5.
首先分析题意，由⟨e1,e2⟩=105∘，结合空间向量的数量积定义求解e1⋅e2的值，进行下一步化简得出则当x=x0，y=y0时，|a−(xe1+ye2)取得最小值，得到x=1− 2− 62y，多次求解二次函数最值可得答案．
本题考查了向量的数量积及模的运算，考查了函数思想及转化思想，属于难题．
17.【答案】解：(1)证明：因为b(b+a)=b2+ab=c2，
在△ABC中，由余弦定理得到：b2+ab=c2=a2+b2−2abcsC，
所以b=a−2bcsC，
由正弦定理得到sinB=sinA−2sinBcsC=sinCcsB−csCsinB=sin(C−B)，
因为B，C∈(0,π)，则C−B∈(−π,π)，
所以C−B=B或C−B=π−B(舍去)，
所以C=2B；
(2)因为△ABC为锐角三角形，
所以0