19.2 菱形 华师大版八年级下册素养提升练习(含解析)

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第19章　矩形、菱形与正方形19.2　菱形基础过关全练知识点1　菱形的定义及性质1.(2023福建南平光泽期中)菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.对角相等 B.对角线相等C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直2.(2023河南南阳内乡期末)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,∠CAD=20°,则∠HDB的度数是　(　　)A.20° B.25° C.30° D.35°3.(2023河南商丘民权期末)菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm,则该菱形的周长为(　　)A.20 cm B.18 cm C.16 cm D.12 cm4.【一题多变·已知对角线长求面积】(2023山东临沂中考)若菱形的两条对角线长分别为6和8,则该菱形的面积为　　　　. [变式·已知面积求对角线长](2022河南许昌建安期中)菱形的面积为12 cm2,一条对角线的长为6 cm,那么菱形的另一条对角线的长为(　　)A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm5.(2023福建中考)如图,在菱形ABCD中,AB=10,∠B=60°,则AC的长为　　　　. 6.(2022湖北武汉江岸期中)如图,在菱形ABCD中,过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于点E,若∠A=130°,则∠BEC=　　　　°. 7.(2021山东济南中考)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AD和CD上的点,且∠ABE=∠CBF.求证:DE=DF.8.【中华优秀传统文化】(2023河南周口郸城月考)中国结象征着中华民族的历史文化与精神.如图1,小明家有一菱形的中国结挂饰,他想求两对边的距离,于是利用所学知识抽象出如图2所示的菱形ABCD,测得BD=6 cm,AC=8 cm,过点O作EF⊥AB,分别交AB,CD于点E,F,求EF的长.知识点2　菱形的定义判定法9.【新考向·开放型试题】(2023山东青岛崂山一模)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点B作BP∥AC,过点C作CP∥BD,BP与CP相交于点P.(1)求证:四边形BPCO为平行四边形;(2)给▱ABCD添加一个条件,使得四边形BPCO为菱形,并说明理由.10.(2023福建福州立志中学期中)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠DAB,AB=2CD,E为AB的中点,连结CE.求证:四边形AECD为菱形.知识点3　菱形的判定定理111.【新考向·尺规作图综合题】(2023云南昭通一模)如图,∠MON=60°,OP是∠MON的平分线,在OM上取一点A,以A为圆心,AO的长为半径作弧,交OP于点B,交ON于点C,连结AB,AC,BC,AC与OP交于点Q.求证:四边形OABC是菱形.12.【新考法】(2022陕西西安高新区一中期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,F在直线DE上,且AF=CE=AE,试探索当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形.知识点4　菱形的判定定理213.(2023湖南永州中考)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5.(1)△AOB是直角三角形吗?请说明理由;(2)求证:四边形ABCD是菱形.14.【新独家原创】如图,四边形ABCD中,AC,BD交于点O,点E,F在AC上,OA=OC,AE=CF,AD∥BC.(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;(2)若∠BAC=∠DAC,求证:四边形EBFD是菱形.能力提升全练15.(2023湖南湘潭中考,5,★☆☆)如图,菱形ABCD中,连结AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为(　　)A.20° B.60° C.70° D.80°16.(2023广东深圳中考,5,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形,则a的值为(　　)A.1 B.2 C.3 D.417.(2023湖北黄冈期中,15,★★☆)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF,给出下列条件:①BE⊥EC;②AB=AC;③BF∥EC,从中选择一个使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是　　　　(只填写序号).  第17题图　　 第18题图18.(2023广东广州越秀期末,14,★★☆)如图,四边形ABCD是菱形,DE⊥AB于点E,点O是对角线AC的中点,连结OE,OB.若AB=5,AC=8,则OE=　　　　. 19.【新考法】(2022浙江舟山中考,18,★★☆)小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形ABCD是菱形.”并将自己的证明过程与同学小洁交流.若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.20.【方程思想】(2023重庆沙坪坝期中,22,★★☆)如图,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F,连结CE和AF.(1)求证:四边形AECF为菱形;(2)若AB=4,BC=8,求菱形AECF的周长.21.(2021山东聊城中考,21,★★☆)如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,且AO=CO,点E在BD上,满足∠EAO=∠DCO.(1)求证:四边形AECD是平行四边形;(2)若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形AECD的面积.22.(2023北京朝阳期末,21,★★☆)如图,AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上,EG平分∠AEF交CD于点G,FH平分∠EFD交AB于点H.(1)求证:四边形EGFH是平行四边形;(2)当∠AEF=　　　　°时,四边形EGFH是菱形. 素养探究全练23.【推理能力】如图,在边长为10的菱形ABCD中,对角线BD=16,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.(1)对角线AC的长是　　　　,菱形ABCD的面积是　　　　; (2)如图1,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否会发生变化?请说明理由;(3)如图2,当点O在对角线BD的延长线上运动时,OE+OF的值是否会发生变化?若不变,请说明理由;若变化,请探究OE、OF之间的数量关系,并说明理由.图1图2第19章　矩形、菱形与正方形19.2　菱形1.D　对角线互相垂直是菱形具有而平行四边形不一定具有的性质,故选D.2.A　∵四边形ABCD是菱形,∴∠CAB=∠CAD=20°,AC⊥BD,∵DH⊥AB于点H,∴∠HDB+∠DBH=90°,∵∠CAB+∠DBH=90°,∴∠HDB=∠CAB=20°.故选A.3.A　如图,∵菱形的两条对角线长分别为6 cm,8 cm,∴AO=3 cm,BO=4 cm,在Rt△AOB中,根据勾股定理得,AB=AO2+BO2=32+42=5 cm,所以周长=5×4=20 cm.故选A.4.答案　24解析　如图.菱形ABCD中,AC=6,BD=8,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴△DAC的面积=12AC·OD,△BAC的面积=12AC·OB,∴菱形ABCD的面积=△DAC的面积+△BAC的面积=12AC·(OD+OB)=12AC·BD=12×6×8=24.[变式]　B　设另一条对角线的长为x cm,则12×6x=12,解得x=4.故选B.5.答案　10解析　∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=10.6.答案　65解析　∵四边形ABCD是菱形,∴∠DBC=12∠ABC,AD∥BC,∴∠A+∠ABC=180°,∵∠A=130°,∴∠ABC=180°-130°=50°,∴∠DBC=12×50°=25°,∵CE⊥BC,∴∠BEC=90°-25°=65°.7.证明　∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,AB=BC,∠A=∠C,又∵∠ABE=∠CBF,∴△ABE≌△CBF(A.S.A.),∴AE=CF,∴AD-AE=CD-CF,∴DE=DF.8.解析　∵四边形ABCD是菱形,对角线BD,AC交于点O,BD=6 cm,AC=8 cm,∴BD⊥AC,OB=OD=12×6=3 cm,OA=OC=12×8=4 cm,∴∠AOB=90°,∴AB=OA2+OB2=42+32=5 cm,∵EF⊥AB,分别交AB,CD于点E,F,∴AB·EF=12BD·AC=S菱形ABCD,∴5EF=12×6×8,∴EF=245 cm,∴EF的长为245 cm.9.解析　(1)证明:∵BP∥AC,CP∥BD,∴四边形BPCO为平行四边形.(2)答案不唯一.添加AC=BD,使得四边形BPCO为菱形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO=12AC,BO=DO=12BD,又∵AC=BD,∴CO=BO,∴平行四边形BPCO是菱形.10.证明　∵E为AB的中点,∴AB=2AE,∵AB=2CD,∴CD=AE,又∵AB∥CD,∴四边形AECD是平行四边形,∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠EAC,∵AB∥CD,∴∠DCA=∠CAB,∴∠DCA=∠DAC,∴AD=CD,∴四边形AECD是菱形.11.证明　由题意得AB=AC=AO.∵∠MON=60°,∴△AOC是等边三角形,∴OC=AO=AC,∵OP是∠MON的平分线,∴OP⊥AC,Q为AC中点,∴AB=CB,∴AO=OC=AB=CB,∴四边形OABC是菱形.12.解析　当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠EAC=60°,∵ED垂直平分BC,∴∠BDE=90°,∴∠BED=60°,∴∠FEA=60°,∵AF=CE=AE,∴△AEF、△EAC都是等边三角形,∴AF=EF=EC=CA,∴四边形ACEF是菱形.13.解析　(1)△AOB是直角三角形,理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,BD=8,∴OB=12BD=4,∵OA=3,OB=4,AB=5,∴OA2+OB2=AB2,∴△AOB是直角三角形.(2)证明:由(1)可知,∠AOB=90°,∴AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.14.证明　(1)在四边形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA.又∵OA=OC,∠AOD=∠COB,∴△AOD≌△COB(A.S.A.),∴OB=OD.∵OA=OC,AE=CF,∴OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形.(2)由(1)知OB=OD,OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∴∠BAC=∠DCA,∵∠BAC=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴DA=DC,∴平行四边形ABCD是菱形,∴DB⊥EF,∴四边形EBFD是菱形.能力提升全练15.C　∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AC⊥BD,∴∠DCA=∠1=20°,∴∠2=90°-∠DCA=70°,故选C.16.B　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,CE∥FD,CD=AB=4,∵将线段AB水平向右平移得到线段EF,∴AB∥EF∥CD,∴四边形ECDF为平行四边形,当CD=CE=4时,▱ECDF为菱形,此时a=BE=BC-CE=6-4=2.故选B.17.答案　②解析　∵BD=CD,DE=DF,∴四边形BECF是平行四边形.①BE⊥EC时,四边形BECF是矩形,不一定是菱形;②AB=AC时,∵D是BC的中点,∴AF是BC的中垂线,∴BE=CE,∴平行四边形BECF是菱形;③四边形BECF是平行四边形,BF∥EC一定成立,故不一定是菱形,故答案是②.18.答案　3解析　如图,连结OD,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD=AB=BC,∵点O是对角线AC的中点,∴AO=CO=4,DO⊥AC,BO⊥AC,∴点O,点D,点B共线,∴OD=BO,∵OB=AB2-AO2=3,∴OB=OD=3,BD=6.延长EO,交DC于点F,连结BF,易证△DOF≌△BOE,∴BE=DF,又∵BE∥DF,∴四边形DEBF为平行四边形,又∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴平行四边形DEBF为矩形,∴EF=BD=6,∴OE=12EF=3.19.解析　赞成小洁的说法.补充AB=CB(补充的条件不唯一).证明:∵AC⊥BD,OB=OD,∴AC垂直平分BD,∴AB=AD,CB=CD,∵AB=CB,∴AB=AD=CB=CD.∴四边形ABCD是菱形.20.解析　(1)证明:∵EF垂直平分AC,∴AO=OC,∠AOE=∠COF=90°,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,在△AEO和△CFO中,∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO(A.S.A.),∴OE=OF,又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形,又∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.(2)设AF=x,∵EF垂直平分AC,∴AF=CF=x,∴BF=8-x,在Rt△ABF中,由勾股定理得AB2+BF2=AF2,∴42+(8-x)2=x2,解得x=5.∴AF=5,∴菱形AECF的周长为20.21.解析　(1)证明:在△AOE和△COD中,∠EAO=∠DCO,AO=CO,∠AOE=∠COD,∴△AOE≌△COD(A.S.A.),∴OD=OE.又∵AO=CO,∴四边形AECD是平行四边形.(2)∵AB=BC,AO=CO,∴直线BO为线段AC的垂直平分线,∴BO⊥AC,∴平行四边形AECD是菱形.∵AC=8,∴CO=12AC=4,在Rt△COD中,OD=CD2-CO2=52-42=3,∴DE=2OD=6,∴S菱形AECD=12DE·AC=12×6×8=24,即四边形AECD的面积为24.22.解析　(1)证明:∵AB∥CD,∴∠AEF=∠EFD,∵EG平分∠AEF,FH平分∠EFD,∴∠GEF=12∠AEF,∠EFH=12∠EFD,∴∠GEF=∠EFH,∴EG∥FH,∵EH∥GF,∴四边形EGFH是平行四边形.(2)当∠AEF=120°时,四边形EGFH是菱形.理由:∵AB∥CD,∴∠FGE=∠AEG,∵∠FEG=∠AEG,∴∠FEG=∠FGE,∴FE=FG,∵∠AEF=120°,∴∠FEG=12∠AEF=60°,∴△FEG是等边三角形,∴FG=EG,∴四边形EGFH是菱形.素养探究全练23.解析　(1)12;96.(2)OE+OF的值不变.理由:如图1,连结AC交BD于点G,连结AO,则S△ABD=S△ABO+S△ADO,所以12BD·AG=12AB·OE+12AD·OF,即12×16×6=12×10·OE+12×10·OF,∴OE+OF=9.6,是定值,不变.(3)如图2,连结AC交BD于点G,连结AO,则S△ABD=S△ABO-S△ADO,所以12BD·AG=12AB·OE-12AD·OF,即12×16×6=12×10·OE-12×10·OF,∴OE-OF=9.6,是定值,不变,所以OE+OF的值变化,OE、OF之间的数量关系为OE-OF=9.6.图1　图2小惠:证明:∵AC⊥BD,OB=OD,∴AC垂直平分BD.∴AB=AD,CB=CD,∴四边形ABCD是菱形.小洁:这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明.