第19章 矩形、菱形与正方形 数学华师大版八年级下册自我评估（二）及答案

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第19章矩形、菱形与正方形自我评估（二）（本试卷满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC=6，则OB的长为（　　）A．2 B．4 C．3 D．6图1 图2 图3 图42. 如图2，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是（　　）A.（6，3） B.（3，6）C.（0，6）D.（6，6）3. 下列四边形不一定是菱形的是（　　）A．四条边都相等的四边形 B．一组邻边相等的平行四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线相等的平行四边形4. 如图3，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，若BP=OB，则∠COP的度数为（　　）A．15° B．22.5° C．25° D．17.5°5. 如图4，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为（　　）A．4 B．6 C．8 D．126. 下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形.下列推理过程错误的是（　　）A. 由①推出② B. 由③推出① C. 由②推出③ D. 由②推出①7. （2020年连云港）如图5，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处.若∠DBC=24°，则∠A'EB等于（　　）A. 66° B. 60°C. 57° D. 48°图5 图6 图7 图88. 如图6，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则AC的长为（　　）A. 6 B. 8C. 3 D. 49. 如图7．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为斜边AB上一动点．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF.则线段EF的最小值为（　　）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.810. 如图8，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点E从点D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的右侧作正方形AEFG.同时垂直于CD所在直线的MN也从点C向D以每秒2个单位的速度运动，当直线MN和正方形AEFG开始有公共点时，经过的时间是（　　）A．2 s B．2.5 s C．3 s D．3.5 s二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 已知菱形的周长为24，则它的边长是__________.12. 如图9，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=AD，要使四边形ABCD为正方形，可添加一个条件为_________________．图9图10图11 图1213. 为了检查平行四边形书架的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理_____________________．14. 如图10，正方形ABCD的边长为3 cm，∠ABE=15°，且AB=AE，则DE的长是__________cm.15. 如图11，已知矩形ABCD，延长边BC到点E，连接DE，DB平分∠ADE.若BC=2，AB=4，则DE=__________.16. 如图12，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.若BF⊥CD，AD=5 cm，AF=18 cm，四边形ABCF的周长为__________cm.三．解答题（本大题共7小题，共52分）17. （5分）如图13，□ABCD的对角线交于点O，且AB=13，AC=24，BD=10.求证：四边形ABCD是菱形.图1318. （6分）如图14，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B，C不重合），AE⊥DG于点E，CF⊥DG于点F.求证：AE=DF.图1419. （6分）如图15，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE=AD，∠EAD=2∠BAE，求∠BAE的度数.图1520. （8分）如图16，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.（1）求证：四边形OCED是正方形；（2）若AC=，求点E到边AB的距离.图1621. （8分）如图17，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为O.（1）求证：△AOM≌△CON；（2）连接CE，若AB=3，AD=6，请直接写出AE的长为__________.图1722. （9分）如图18，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，DF=BE，连接AF，CE.（1）求证：∠AFD=∠CEB；（2）点H，G分别是AF，CE上的点，若AH=CG，∠AEH+∠CEB=90°，试判断四边形HEGF的形状，并证明你的结论.图1823. （10分）如图19，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点P是线段AD上任意一点（不与点A重合），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE与AD相交于点G.（1）求证：四边形AEPQ是菱形；（2）四边形EQBF是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由；（3）直接写出点P在线段EF的何处位置时，菱形AQPE的面积为四边形EQBF面积的一半.图19附加题（20分，不计入总分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图①所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.（以上材料来于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）（1）请根据图①完成这个推论的证明过程.证明：S矩形NFGD＝S△ADC-（S△ANF+ S△FGC），S矩形EBMF＝S△ABC-（　　+　　）.易知，S△ADC=S△ABC，　　＝　　，　　＝　　.所以S矩形NFGD＝S矩形EBMF.（2）如图②，点P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接PA，PC.若PE＝5，DF＝4，求图中阴影部分的面积.①②（河南刘振超）第19章矩形、菱形与正方形自我评估（二）参考答案一、1. C2. D3. D4. B5. B6. A 7. C 8. A 9. B 10. A二、11. 6 12. ∠BAD=90°（答案不唯一）13. 对角线相等的平行四边形是矩形 14. 3 15. 5 16. 56 三、17. 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=AC=12，OB=BD=5.因为OA2+OB2=122+52=169，AB2=132=169.所以OA2+OB2=AB2.所以∠AOB=90°.所以AC⊥BD.所以▱ABCD是菱形.18. 证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADC=90°.又因为AE⊥DG，CF⊥DG，所以∠AED=∠DFC=90°.所以∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°.所以∠EAD=∠FDC.在△AED和△DFC中，∠AED=∠DFC，∠EAD=∠FDC，AD＝DC，所以△AED≌△DFC.所以AE=DF.19. 解：设∠BAE=x，所以∠EAD=2x.因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD，AD∥BC.所以∠AEB=∠EAD=2x.因为AE=AD，所以AB=AE.所以∠ABE=∠AEB=2x.在△ABE中，∠BAE+∠ABE+∠AEB=x+2x+2x=180°，解得x=36°.所以∠BAE的度数为36°.20. （1）证明：因为CE∥BD，DE∥AC，所以四边形OCED是平行四边形.在正方形ABCD中，AC⊥BD，OD=OC，所以∠COD=90°.所以□OCED是正方形．（2）解：如图1，连接EO并延长，交AB于点G，交CD于点H.由（1）知四边形OCED是正方形，所以CD⊥OE.因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD.所以EG⊥AB.因为AC=，所以AB2+BC2=2，即2AB2=2，AB=1.图1所以AB=BC=CD=OE=1，GO=BC=0.5.所以EG=OE+ GO=1+0.5=1.5.所以点E到边AB的距离为1.5.21. 解：（1）因为MN是AC的垂直平分线，所以AO=CO，∠AOM=∠CON=90°.因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.所以∠M=∠N.在△AOM和△CON中，∠M=∠N，∠AOM=∠CON，AO=CO，所以△AOM≌△CON.（2）提示：因为MN是AC的垂直平分线，所以CE=AE.设AE=CE=x，则DE=6-x.因为四边形ABCD是矩形，所以∠CDE=90°，CD=AB=3.在Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，即32+（6-x）2=x2，解得x=，即AE的长为.22. （1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以∠D=∠B，AD=CB.在△ADF和△CBE中，AD=CB，∠D=∠B，DF=BE，所以△ADF≌△CBE.所以∠AFD=∠CEB.（2）四边形HEGF是矩形.理由如下：因为四边形ABCD是菱形，所以DC∥AB.所以∠DCE=∠CEB.因为∠AFD=∠CEB，所以∠AFD=∠DCE.所以AF∥CE.因为△ADF≌△CBE，所以AF=CE.因为AH=CG，所以AF-AH=CE-CG，即HF=GE.又HF∥GE，所以四边形HEGF是平行四边形.因为∠AEH+∠CEB=90°，所以∠HEG=90°.所以□HEGF是矩形.23. （1）证明：因为EF∥AB，PQ∥AC，所以∠QAP＝∠EPA，四边形AEPQ是平行四边形.因为AB＝AC，AD平分∠CAB，所以∠CAD＝∠BAD.所以∠EAP＝∠EPA，所以EA＝EP.所以□AEPQ是菱形.（2）解：四边形EQBF是平行四边形.理由如下：因为四边形AEPQ是菱形，所以AD⊥EQ，即∠AGQ＝90°.因为AB＝AC，AD平分∠BAC，所以AD⊥BC，即∠ADB＝90°.所以EQ∥BC.图2又因为EF∥QB，所以四边形EQBF是平行四边形.（3）解：点P在EF的中点时，菱形AEPQ的面积为四边形EQBF面积的一半.提示：如图2，过点E作EN⊥AB于点N.当点P在EF的中点时，EP=FP=EF.由（2）得四边形EQBF是平行四边形，所以S菱形AEPQ=EP·EN=EF·EN=SEQBF.附加题解：（1）S△AEFS△FMCS△ANFS△AEFS△FMCS△FGC（2）如图3，作PM⊥AD于点M，交BC于点N.则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形.所以AE=MP＝DF＝4.同（1），得S矩形AEPM＝S矩形CFPN.所以S△AEP＝S△AMP，S△CFP＝S△CNP.所以S△AEP＝S△CFP＝PE·AE＝×5×4＝10.图3所以S阴影＝S△AEP+S△CFP＝10+10＝20.