第19章 矩形、菱形与正方形 数学华师大版八年级下册自我评估（一）及答案

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第19章矩形、菱形与正方形自我评估（一）（本试卷满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 矩形、菱形与正方形都具有的性质是（　　）A.对角线互相垂直B.对角线平分一组对角C.对角线相等D.对角线互相平分2. 如图1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OA=3，则BD等于（　　）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6图1 图2 图3 图43. 如图2，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边三角形ABE，则∠BED的度数为（）A.55° B.45° C.40°D.42.5°4. 如图3，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（　　）A.AB＝AD B.∠BAC＝∠DAC C.∠BAC＝∠ABD D.AC⊥BD5. 下列命题：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是矩形；③菱形的两条对角线互相垂直平分；④两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形.其中是真命题的有（）A. 4个B. 3个 C. 2个 D. 1个6. 如图4，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，DF⊥AE，与AB交于点F，则DF的长为（　　）A.B. C. D.37. 如图5，矩形纸片ABCD中，AB＝8 cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点F，若AD＝4 cm，则CF长为（　　）A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm图5 图6 图7 图88. 如图6，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则四边形ABCD的面积为（　　）A.40B.24C.20D.159. 如图7，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF中点，则AM的最小值为（　　）A.1B.1.3C.1.2D.1.510. 如图8，边长为1的正方形ABCD的对角线交于点O，点E是边AB上一动点，点F在边BC上，且满足OE⊥OF，在点E由A运动到B的过程中，以下结论：①线段OE的大小先变小后变大；②线段EF的大小先变大后变小；③四边形OEBF的面积先变大后变小.其中正确的个数为（　　）A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 如图9，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形ABCD成为正方形，则添加的条件可以是（只需写出一个）.图9 图10图1112. 如图10，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=120°，AD=5，则AC的长是.13. 已知菱形的一条对角线长为6，面积是12，则这个菱形的另一条对角线长是　　.14. 如图11，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF+EG=.15. 在菱形ABCD中，AB=5，AC=6，则△ABC中BC边上的高为.16. 在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面结论：①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形.其中正确的有________（填序号）.三、解答题（本大题共7小题，共52分）17. （6分）如图12，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DB＝10，AC＝24，求菱形的周长.图1218. （6分）如图13，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH.求证：四边形EBFC是菱形.图1319. （6分）如图14，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，求线段AP的长.图1420. （8分）如图15，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF=3，BF=4，求DF长.图1521. （8分）如图16，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.（1）求证：四边形OCED是正方形.（2）若AC=，求点E到边AB的距离.图1622. （8分）如图17，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF.（1）求证：FH＝ED；（2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠FAD的度数.图1723. （10分）如图18，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=20cm，BC=24cm，点P，Q分别从A，C同时出发，向点D，B运动.当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动.（1）如果P，Q的速度分别为1cm/s和3cm/s.运动时间为ts，当t为何值时，直线PQ能将四边形ABCD截出一个平行四边形？请说明理由.（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2∶1，求Q点运动的速度.图18附加题（20分，不计入总分）如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片使点B落在AD上的点E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF.（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当折痕PQ的点Q与点C重合时（如图②），求菱形BFEP的边长.（山西陈岩）第19章矩形、菱形与正方形自我评估（一）参考答案一、1. D 2. D 3. B 4. C 5. C 6. A 7. B 8. B 9. C 10. B二、11. 答案不唯一，如∠ABC=90° 12. 10 13. 4 14. 4 15. 4.8 16. ①②③三、17. 解：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，OA＝AC＝×24＝12，OB＝BD＝×10＝5.所以AB＝＝13.所以菱形的周长为4×13=52.18. 证明：因为AB=AC，AH⊥BC，所以BH=CH.因为FH=EH，所以四边形EBFC是平行四边形.又因为AH⊥BC，所以平行四边形EBFC是菱形．19. 解：因为四边形ABCD是矩形，所以BC＝AD＝3，∠B＝90°，所以AC＝==5．因为AQ＝AD＝3，AD∥BC，所以CQ＝AC-AQ=5-3＝2，∠CQP＝∠AQD＝∠ADQ＝∠CPQ.所以CP＝CQ＝2.所以BP＝BC-CP=3-2＝1．在Rt△ABP中，由勾股定理，得AP＝＝＝．20. （1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DC.因为DF=BE，所以四边形BFDE是平行四边形.因为DE⊥AB，所以∠DEB=90°.所以四边形BFDE是矩形.（2）解：因为四边形BFDE是矩形，所以∠BFD=90°.所以∠BFC=90°.在Rt△BCF中，CF=3，BF=4，所以BC=5.因为AF平分∠DAB，所以∠DAF=∠BAF.因为AB∥DC，所以∠DFA=∠BAF.所以∠DAF=∠DFA.所以AD=DF.因为AD=BC，所以DF=BC=5.21. （1）证明：因为CE∥BD，DE∥AC，所以四边形OCED是平行四边形.在正方形ABCD中，AC⊥BD，OD=OC，所以∠COD=90°.所以四边形OCED是正方形．（2）解：如图，连接EO并延长，交AB于G，交CD于H.由（1）知四边形OCED是正方形，所以CD⊥OE.因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD.所以EG⊥AB.因为AC=，所以AB=BC=CD=1=GH.在Rt△DCE中，因为DE=CE，EH⊥CD，所以EH=DH=CH=CD=0.5.所以EG=1+0.5=1.5.所以点E到边AB的距离为1.5.22. （1）证明：因为四边形CEFG是正方形，所以CE＝EF，∠FEC＝∠FEH+∠CED＝90°．在矩形ABCD中，∠ECD+∠CED＝90°，所以∠FEH＝∠ECD．在△FEH和△ECD中，∠FHE＝∠EDC，∠FEH＝∠ECD，EF＝CE，所以△FEH≌△ECD.所以FH＝ED．（2）解：因为四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝5，所以CD＝AB＝3．因为AE＝1，所以DE＝4．因为△FEH≌△ECD.所以FH＝DE＝4，EH＝CD＝3.所以AH＝4.所以AH＝FH．因为∠FHE＝90°，所以∠FAD＝45°．23. 解：（1）当四边形PQCD是平行四边形时，PD=CQ，所以20-t=3t，解得t=5s；当四边形ABQP是平行四边形时，AP=BQ，所以t=24-3t，解得t=6 s．所以当t=5 s或t=6 s时，直线PQ能将四边形ABCD截出一个平行四边形．（2）设Q点运动的速度xcm/s.因为四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2∶1，所以PA=BQ=4或PA=BQ=16，即t=4或t=16.所以24-4x=4或24-16x=16，解得x=5或.所以要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2∶1，Q点运动的速度为5cm/s或cm/s．24. （1）证明：由题意，得点B与点E关于PQ对称，所以BP＝EP，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF．又因为EF∥AB，所以∠BPF＝∠EFP，所以∠EPF＝∠EFP，所以EP＝EF．所以BP＝BF＝EF＝EP，所以四边形BFEP为菱形．（2）解：因为四边形ABCD是矩形，所以BC＝AD＝5，CD＝AB＝3，∠A＝∠D＝90°．因为点B与点E关于PQ对称，所以CE＝BC＝5 ．在Rt△CDE中，DE＝＝4，所以AE＝AD-DE＝5-4＝1．在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3-PB＝3-PE，所以EP2＝12+（3-EP）2，解得EP＝，所以菱形BFEP的边长为．