福建省福州市2023-2024学年高三下学期2月份质量检测数学

这是一份福建省福州市2023-2024学年高三下学期2月份质量检测数学，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
（完卷时间 120 分钟；满分 150 分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
7．甲、乙、丙三个地区分别有 x%, y%, z% 的人患了流感，且 x, y, z 构成以 1 为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为 5 : 3 : 2 ，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地
1．已知集合 A  x
x  1, B  1,1，则 A B  （
）
A． ,1
B． ,1
C．1
D．1,1
2．已知点 A2, 2 在抛物线 C : x2  2 py 上，则 C 的焦点到其准线的距离为（
）
A．
1
B．1
C．2
D．4
2
3．已知 e1
, e2 是两个不共线的向量，若 2e1  e2 与 e1
 e2 是共线向量，则（
）
A．

 2
B．   2
C．

 2
D．   2


4．在 △ABC 中， AB  2, AC  4, BC  2
，则 △ABC 的面积为（
7
）
A．2
B． 2
C．4
D． 4
3
3
5．设函数 f x   3
a 2 x
在区间 1, 2上单调递减，则 a 的取值范围是（
）
A． , 2
B． , 4
C． 2, 
D． 4, 
6．已知正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆上，粗圆的两个焦点分别在边 AD 和 BC 上，则该粗圆的离心率为
（
）
1
1
A．
2
B．
3
C．
5
D．
3
2
2
2
2
区的概率最大，则 x 的可能取值为（
）
A．1.21
B．1.34
C．1.49
D．1.51
8
f x 
f
x 
R
g x   f
x 
g x  2

2,0

．已知函数
及其导函数

的定义域均为
，记

．若
的图象关于点
对
称，且 g 2 x   g 2 x 1  g 1  2 x  ，则下列结论一定成立的是（
）
A．
f
x 

f 2  x 
B． g x 

g x  2
2024
C． 
g(n)
 0
2024
D． 
f (n
)
 0
n1
n1
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
11 ． 通信工程中常用 n 元数组 a1, a2 , a3 ,, an  表示信息，其中 ai  0 或 1i, n N* ,1  i  n ． 设
 a1, a2 , a3 , , an , v  b1, b2 , b3 , , bn , d u, v  表示 u 和 v 中相对应的元素（ ai 对应 bi ， i  1, 2,, n ）
不同的个数，则下列结论正确的是（）
A．若 u  0,0,0,0,0 ，则存在 5 个 5 元数组 v ，使得 d u, v   1
B．若 u  1,1,1,1,1 ，则存在 12 个 5 元数组 v ，使得 d u, v   3
C．若 n 元数组 w  (0,0, ,0) ，则 d u, w  d v, w  d u, v 
n个0
D．若 n 元数组 w  (1,1, ,1) ，则 d u, w  d v, w  d u, v 
n个1
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 2,1，则 i  z  ______．
13．底面半径为 2 且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个高为 3 的圆锥，所得的
圆台的侧面积为______．
14 ．在平面直角坐标系 xOy 中，整点 P （横坐标与纵坐标均为整数）在第一象限，直线 PA ， PB 与
C : ( x  2)2  y 2  4 分别切于 A, B 两点，与 y 轴分别交于 M , N 两点，则使得 △PMN 周长为 221 的所
9．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn , a2
 4, S5  35 ，则（
）
A． nan 的最小值为 1
B． nSn 的最小值为 1
 S 
a

C． 
n
 为递增数列
D． 
n
 为递减数列
 n 
n2

10．在长方体 ABCD  A1B1C1D1 中， AB  2, AA1
 AD  1, E 为 AB 的中点，则（
）
A． A1B  B1C
B． A1D∥平面 EB1C
C．点 D 到直线 A B 的距离为
3
5
D．点 D 到平面 EB C 的距离为
3
1
5
1
有点 P 的坐标是______．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
16．（15 分）
如图，四棱锥 S  ABCD 的底面为正方形，平面 SAD  平面 ABCD, E 在 SB 上，且 AE  BC ．
（1）证明： SA  平面 ABCD ；
（2）若 SA  AB  2, F 为 BC 的中点，且 EF  3 ，求平面 AEF 与平面 SAD 夹角的余弦值．
17．（15 分）
人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取 90 名学生，得到如下数据：
外向型内向型
（1）以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取 2 人、女生中随机抽取 1 人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为 X ，求 X 的数学期望．
（2）对表格中的数据，依据   0.1 的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来 10 倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．

 

已知函数 f x   sin 
x 

(0
   3), x 
是 f x 的零点．
8

4 
（1）求  的值；




1
 
（2）求函数 y  f  x


 f 
x 

的值域．
8
2



8 
男性
45
15
女性
20
10
附：参考公式： 
2

n(ad  bc)2
．
a
 bc  d a  cb  d 

0.1
0.05
0.01
x
2.706
3.841
6.635
18．（17 分）
已知双曲线W : x2  y2  1, A 3,0  ，动直线 l : x  my  3  0 与 x 轴交于点 B ，且与W 交于 C, D 两点， 8
t CD 是 BC , BD 的等比中项， t R ．
（1）若 C, D 两点位于 y 轴的同侧，求 t 取最小值时 △ACD 的周长；
（2）若 t  1 ，且 C, D 两点位于 y 轴的异侧，证明： △ACD 为等腰三角形．
19．（17 分）
已知函数 f x   xlnx  x2 1．
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）求证： f x   e x  x12  2x 1 ；
（3）若 p  0, q  0 且 pq  1 ，求证： f  p   f q  4 ．