2024年北京市海淀实验学校中考数学零模试卷（含解析）

这是一份2024年北京市海淀实验学校中考数学零模试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）2023年我国规模以上内容创作生产营业收入累计值前三个季度分别约为6500亿元，13000亿元，20000亿元，合计约39500亿元，将39500用科学记数法表示应为（ ）
A．395×102B．3.95×104C．3.95×103D．0.395×105
2．（2分）下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．45°B．60°C．72°D．90°
4．（2分）已知0＜a＜1，则a，﹣a，，﹣中最小的数是（ ）
A．aB．﹣aC．D．
5．（2分）创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款手机支撑架，我们可以通过改变面板张角的大小来调节视角舒适度．小明将该支撑架放置在水平桌面上，并调节面板CD的张角至视角舒适，若张角∠BCD＝70°，支撑杆CB与桌面夹角∠B＝65°，那么此时面板CD与水平方向夹角∠1的度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．70°
6．（2分）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥4B．k＞4C．k＜4且k≠0D．k＜4
8．（2分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为斜边BC上的中点，点E，F分别在直角边AB，AC上运动（不与端点重合），且保持BE＝AF，连接DE，DF，EF．设BE＝a，CF＝b，EF＝c．在点E，F的运动过程中，给出下面三个结论：
①a+b＞c；
②a2+b2＝c2；
③c≥，且等号可以取到．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 ．
10．（2分）分解因式：2xy2﹣8x＝ ．
11．（2分）方程的解为 ．
12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点A（2，m）和点B（﹣2，n），则m+n＝ ．
13．（2分）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 ．
14．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为 ．
15．（2分）某校为了解本校学生每天在校体育锻炼时间的情况，随机抽取了100名学生进行调查，获得了他们每天在校体育锻炼时间的数据（单位：min），并对数据进行了整理，每天在校体育锻炼时间分布情况如表：
该校准备确定一个时间标准p（单位：min），对每天在校体育锻炼时间不低于p的学生进行表扬．若要使40%的学生得到表扬，则p的值可以是 ．
16．（2分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B、C，D、E，F、G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟．
三、解答题：（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）已知x＝2y，求代数式（﹣）÷的值．
20．（5分）列方程解应用题：
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（﹣2，2），与x轴交于点A．
（1）求该一次函数的表达式及点A的坐标；
（2）当x≥2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别过A，C作BC，AD的平行线交于点E，AC平分∠DAE，连接DE交AC于点O．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）连接OB，若四边形ADCE的周长为20，cs∠BAD＝，求OB的长．
23．（5分）甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：
根据以上信息，整理分析数据如下：（方差公式）
（1）填空：a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；（填“甲”或“乙”）
（3）若需从甲、乙两名队员中选择一人参加比赛，你认为选谁更加合适？请说明理由．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过E作弦 CD⊥AB，连接AC，AD．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）若点F是 的中点，连接AF，过点C作CG⊥AF，垂足为G，若⊙O的半径为2，求线段CG的长．
25．（6分）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2（单位：克）．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录y1，y2与x的几组对应值如下：
（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝ax+c（a≠0）．请分别求出场景A，B满足的函数关系式；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为xA，xB，则xA xB（填“＞”，“＝”或“＜”）．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M （x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，其中x1≠x2，4a+b＝0．
（1）当x1＝1，y1＝y2时，求x2的值；
（2）直线y＝kx+n经过点M，N，若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有k＞0，求t的取值范围．
27．（7分）如图，在等边ABC中，D是BA的延长线上一动点，连接CD，点E在线段CD上（不与端点重合），将射线BE绕点B逆时针旋转60°得到的射线与射线CA交于点F．
（1）依题意补全图1，并证明∠BFC＝∠ABE；
（2）若AF﹣AD＝BC，判断点E的位置，并证明．
（3）在（2）的条件下，连接AE．若等边ABC的边长为a，当线段AE的长取得最小值时，直接写出此时线段AD的长（用含a的式子表示）
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，给出如下定义：若在⊙O上存在点T，使得点P关于某条过点T的直线对称后的点Q在⊙O上，则称点Q为点P关于⊙O的“关联对称点”．
（1）若点P在直线y＝2x上；
①若点P的坐标为（1，2），则Q1（0，1），Q2（1，0），中，是点P关于⊙O的“关联对称点”的是 ；
②若存在点P关于⊙O的“关联对称点”，求点P的横坐标xP的取值范围；
（2）已知点，动点M满足AM≤1，若点M关于⊙O的“关联对称点”N存在，直接写出MN的取值范围．
2024年北京市海淀实验学校中考数学零模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。
1．（2分）2023年我国规模以上内容创作生产营业收入累计值前三个季度分别约为6500亿元，13000亿元，20000亿元，合计约39500亿元，将39500用科学记数法表示应为（ ）
A．395×102B．3.95×104C．3.95×103D．0.395×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：39500＝3.95×104，
故选：B．
2．（2分）下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义解决此题．
【解答】解：A．由图可知，A中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么A不符合题意．
B．由图可知，B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么B不符合题意．
C．由图可知，C中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，那么C符合题意．
D．由图可知，D中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么D不符合题意．
故选：C．
3．（2分）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．45°B．60°C．72°D．90°
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出正多边形的一个外角．
【解答】解：∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2＝5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴正多边形的一个外角＝360÷5＝72°．
故选：C．
4．（2分）已知0＜a＜1，则a，﹣a，，﹣中最小的数是（ ）
A．aB．﹣aC．D．
【分析】根据正数大于负数先比较后，再依据条件进行大小比较即可．
【解答】解：∵0＜a＜1，
∴﹣＜﹣a＜a＜．
故选：D．
5．（2分）创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款手机支撑架，我们可以通过改变面板张角的大小来调节视角舒适度．小明将该支撑架放置在水平桌面上，并调节面板CD的张角至视角舒适，若张角∠BCD＝70°，支撑杆CB与桌面夹角∠B＝65°，那么此时面板CD与水平方向夹角∠1的度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．70°
【分析】由题意可得：DE∥AB，则∠DEC＝∠B＝65°；然后根据三角形内角和定理即可解答．
【解答】解：如图，由题意可得：DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B＝65°，
∵∠BCD＝70°，
∴∠1＝180°﹣∠BCD﹣∠CED＝45°．
故选：A．
6．（2分）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为，
故选：A．
7．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥4B．k＞4C．k＜4且k≠0D．k＜4
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k＞0，
解得k＜4．
故选：D．
8．（2分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为斜边BC上的中点，点E，F分别在直角边AB，AC上运动（不与端点重合），且保持BE＝AF，连接DE，DF，EF．设BE＝a，CF＝b，EF＝c．在点E，F的运动过程中，给出下面三个结论：
①a+b＞c；
②a2+b2＝c2；
③c≥，且等号可以取到．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【分析】①由AB＝AC，BE＝AF＝a得AE＝CF＝b，根据点E，F分别在直角边AB，AC上运动（不与端点重合），则AF+AE＞EF，由此可对结论①进行判断；
②根据∠A＝90°，AF＝a，AE＝b，EF＝c，由勾股定理得：AF2+AE2＝EF2，由此可对结论②进行判断；
③连接AD，设AD＝h，根据等腰直角三角形的性质得AD⊥BC，AD＝CD＝BD＝h，由勾股定理得h2＝（a+b）2，即h＝，再由c2＝a2+b2得c2﹣h2＝（a﹣b）2≥0，当且仅当a＝b时，（a﹣b）2＝0，此时c＝h，则有c＝，当a≠b时，（a﹣b）2≥0，此时c＞h，则有c＞，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵AB＝AC，BE＝AF＝a，
∴AE＝CF＝b，
∵点E，F分别在直角边AB，AC上运动（不与端点重合），
∴AF+AE＞EF，
即a+b＞c，
故结论①正确；
②∵∠A＝90°，
∴在Rt△AFE中，AF＝a，AE＝b，EF＝c，
由勾股定理得：AF2+AE2＝EF2，
即a2+b2＝c2，
故结论②正确；
③连接AD，设AD＝h，如下图所示：

在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为斜边BC上的中点，
∴AD⊥BC，AD＝CD＝BD＝h，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
∴2h2＝（a+b）2，
∴h2＝（a+b）2，
即h＝，
∵c2＝a2+b2，
∴c2﹣h2＝（a2+b2）﹣（a+b）2＝（a﹣b）2≥0，
当且仅当a＝b时，即点E，F分别为AB，AC的中点时，（a﹣b）2＝0，
此时c＝h，即c＝，
当a≠b时，即点E，F不是AB，AC的中点时，（a﹣b）2≥0，
此时c＞h，即c＞，
∴c≥，且等号可以取到，
故结论③正确．
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：D．
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 x≥3 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣3≥0，
∴x≥3．
故答案为：x≥3．
10．（2分）分解因式：2xy2﹣8x＝ 2x（y+2）（y﹣2） ．
【分析】直接提取公因式2x，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：2xy2﹣8x
＝2x（y2﹣4）
＝2x（y+2）（y﹣2）．
故答案为：2x（y+2）（y﹣2）．
11．（2分）方程的解为 x＝4 ．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
3x＝2（x+2），
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x（x+2）≠0，
∴x＝4是原方程的根，
故答案为：x＝4．
12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点A（2，m）和点B（﹣2，n），则m+n＝ 0 ．
【分析】根据反比例函数系数k＝xy得到2m＝﹣2n，即m＝﹣n，即可得到m+n＝0．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（2，m）和点B（﹣2，n），
∴2m＝﹣2n，
∴m＝﹣n，
∴m+n＝0．
故答案为：0．
13．（2分）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 ．
【分析】根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝，
故答案为：．
14．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为 4 ．
【分析】由垂径定理得到CE＝DE，再由圆周角定理得∠BOC＝45°，得△OCE为等腰直角三角形，然后由等腰直角三角形的性质求出CE的长，从而得到CD的长．
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，∠OEC＝90°，
∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OE＝OC＝2，
∴CD＝2CE＝4．
故答案为：4．
15．（2分）某校为了解本校学生每天在校体育锻炼时间的情况，随机抽取了100名学生进行调查，获得了他们每天在校体育锻炼时间的数据（单位：min），并对数据进行了整理，每天在校体育锻炼时间分布情况如表：
该校准备确定一个时间标准p（单位：min），对每天在校体育锻炼时间不低于p的学生进行表扬．若要使40%的学生得到表扬，则p的值可以是 80 ．
【分析】求出体育锻炼时间在前40%的学生人数，再根据所列举出的数据进行判断即可．
【解答】解：所调查的人数中，体育锻炼时间大于90分钟的有10人，在80≤x＜90的有30人，
，
根据所列举的数据可知，若要使40%的学生得到表扬，则p的值可以是80．
故答案为：80．
16．（2分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B、C，D、E，F、G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 53 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 28 分钟．
【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．
【解答】解：由题意得：9+9+7+9+7+10+2＝53（分钟），
即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；
假设这两名学生为甲、乙，
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，
∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，
然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，
最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，
∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10＝28（分钟），
故答案为：53，28．
三、解答题：（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（5分）计算：．
【分析】先代入特殊角的函数值，计算负整数指数幂化简二次根式，再算乘法，最后算加减．
【解答】解：原式＝3×﹣4﹣2+
＝﹣4﹣2+
＝﹣4．
18．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣6＜3x，得x＞﹣6，
解不等式x﹣2+，得x≤2.5，
故不等式组的解集为﹣6＜x≤2.5．
19．（5分）已知x＝2y，求代数式（﹣）÷的值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x＝2y代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝，
当x＝2y时，原式＝＝2．
20．（5分）列方程解应用题：
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
【分析】设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，
根据题意得：﹣＝2，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（﹣2，2），与x轴交于点A．
（1）求该一次函数的表达式及点A的坐标；
（2）当x≥2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）先利用待定系数法求出函数解析式为y＝﹣x+1，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A点坐标；
（2）当函数y＝x+n与y轴的交点在点A（含A点）上方时，当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（﹣2，2），
∴，
解得，
该一次函数的表达式为y＝﹣x+1，
令y＝0，得0＝﹣x+1，
∴x＝2，
∴A（2，0）；
（2）当x≥2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，
∴2x+m＞﹣x+1，
∴m＞﹣4．
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别过A，C作BC，AD的平行线交于点E，AC平分∠DAE，连接DE交AC于点O．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）连接OB，若四边形ADCE的周长为20，cs∠BAD＝，求OB的长．
【分析】（1）根据平行四边形 的判定定理得到四边形ADCE是平行四边形，∠EAC＝∠ACD，根据角平分线的定义得到∠EAC＝∠DAC，求得∠ACD＝∠DAC，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，根据菱的性质得到AD＝DC＝CE＝EA＝5，OA＝OC，根据三角函数的定义得到AB＝4，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AE∥DC，AD∥CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，∠EAC＝∠ACD，
∵AC平分∠DAE，
∴∠EAC＝∠DAC，
∴∠ACD＝∠DAC，
∴AD＝DC，
∴四边形ADCE是菱形；
（2）解：如图，
∵四边形ADCE是菱形，周长＝20，
∴AD＝DC＝CE＝EA＝5，OA＝OC，
∵∠ABC＝90°，
∴cs∠BAD＝，
∴AB＝4，
∵AB2+BD2＝AD2，
∴42+BD2＝52，
∴BD＝3，
∴BC＝BD+DC＝8，
∴AC＝＝4，
∵∠ABC＝90°，OA＝OC，
∴OB＝．
23．（5分）甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：
根据以上信息，整理分析数据如下：（方差公式）
（1）填空：a＝ 7 ；b＝ 7.5 ；c＝ 4.2 ；
（2）从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是 乙 ；（填“甲”或“乙”）
（3）若需从甲、乙两名队员中选择一人参加比赛，你认为选谁更加合适？请说明理由．
【分析】（1）根据平均数、中位数、方差的定义分别计算即可解决问题；
（2）由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，根据中位数即可解答；甲，乙平均成绩相等，根据众数即可解答；根据方差的意义即可解答；
（3）根据表格中的数据可以得到应选派哪一名队员参赛，注意本题答案不唯一，只要合理即可．
【解答】解：（1）a＝×（5+2×6+4×7+2×8+9）＝7，
b＝×（7+8）＝7.5，
c＝×[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]＝4.2，
故答案为：7，7.5，4.2；
（2）由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，乙的中位数大于甲的中位数，故成绩较好的是乙；
故答案为：乙；
（3）选乙，
理由：甲、乙两名队员平均成绩一样，但乙的中位数比甲高，众数比甲高，说明乙的高分比甲多，所以选乙更合适（答案不唯一）．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过E作弦 CD⊥AB，连接AC，AD．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）若点F是 的中点，连接AF，过点C作CG⊥AF，垂足为G，若⊙O的半径为2，求线段CG的长．
【分析】（1）连接OC，先证AB是CD的垂直平分线，从而得AC＝AD，∠DAE＝∠CAE，在Rt△OCE中，利用锐角三角函数可求出∠COE＝60°，进而可得∠DAE＝∠CAE＝60°，则∠CAD＝60°，据此可得出结论；
（2）先利用（1）得结论证明∠CAF＝30°，然后求出AE＝3，进而求出AC＝，最后在Rt△ACG中根据AC＝，∠CAF＝30°可得CG的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴AC＝AD，
∴∠DAE＝∠CAE，
∵OC＝OB，点E为OB的中点，
∴OE＝OB＝OC，
在Rt△OCE中，cs∠COE＝＝，
∴∠COE＝60°，
∴∠CAE＝∠COE＝30°，
∴∠DAE＝∠CAE＝30°，
∴∠CAD＝∠DAE+∠CAE＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
（2）解：由（1）可知：△ACD是等边三角形，∠CAE＝30°，
∴∠D＝60°，
∵点F为弧AC的中点，
∴∠CAF＝30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OA＝OB＝2，
∵点E为OB的中点，
∴OE＝1，
∴AE＝OA+OE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，cs∠CAE＝，
∴AC＝＝＝，
在Rt△ACG中，AC＝，∠CAF＝30°，
∴CG＝AC＝．
25．（6分）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2（单位：克）．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录y1，y2与x的几组对应值如下：
（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝ax+c（a≠0）．请分别求出场景A，B满足的函数关系式；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为xA，xB，则xA ＜ xB（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；
（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；
（3）依据题意，分别求出当y＝4时x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意，作图如下．
（2）由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．
又点（0，25），（10，20）在函数图象上，
∴．
解得：．
∴场景A函数关系式为y1＝﹣0.04x2﹣0.1x+25．
对于场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝ax+c．
又（0，25），（10，15）在函数图象上，
∴．
解得：．
∴场景B函数关系式为y2＝﹣x+25．
（3）由题意，当y＝4时，
场景A中，xA＝20，
场景B中，4＝﹣xB+25，
解得：xB＝21，
∴xA＜xB．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M （x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，其中x1≠x2，4a+b＝0．
（1）当x1＝1，y1＝y2时，求x2的值；
（2）直线y＝kx+n经过点M，N，若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有k＞0，求t的取值范围．
【分析】（1）求得对称轴，利用抛物线的对称性即可求得x2的值；
（2）由题意可知当t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3时，y1＜y2，据此得出，即可求得的取值范围．
【解答】解：（1）∵4a+b＝0，
∴b＝﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，
∵x1＝1，y1＝y2，
∴点M （x1，y1），N（x2，y2）关于直线x＝2对称，
∴x2的值为3；
（2）∵直线y＝kx+n经过点M，N，若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有k＞0，
∴y1＜y2，
∴，即，
∴，
解得t＞．
27．（7分）如图，在等边ABC中，D是BA的延长线上一动点，连接CD，点E在线段CD上（不与端点重合），将射线BE绕点B逆时针旋转60°得到的射线与射线CA交于点F．
（1）依题意补全图1，并证明∠BFC＝∠ABE；
（2）若AF﹣AD＝BC，判断点E的位置，并证明．
（3）在（2）的条件下，连接AE．若等边ABC的边长为a，当线段AE的长取得最小值时，直接写出此时线段AD的长（用含a的式子表示）
【分析】（1）依题意补全图形，由△ABC 是等边三角形，∠EBF＝60°，可得∠FBA+∠AEB＝60°，∠FBA+∠BFC＝∠BAC＝60°，故∠BFC＝∠ABE；
（2）过点D作DG∥BC，交BE的延长线于点G，可证∠BAF＝∠BDG，由AF﹣AD＝BC，可得AF＝AD+BC＝AD+AB＝DB，即知△BAF≌△GDB（ASA），故BA＝DG，有BC＝DG，即可得△DEG≌△CEB（ASA），从而DE＝CE，点E为CD的中点；
（3）取BC的中点N，连接EN，过C作CP⊥AE交AE延长线于P，可得EN是△CBD的中位线，即E在过N且与BD平行的直线上运动，故当AE⊥EN时，AE最小，求出CP＝AC＝a，△AED≌△PEC（AAS），即可得AD＝CP＝．
【解答】解：（1）补全图形如下：
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
依题意得∠EBF＝60°，
∴∠FBA+∠AEB＝60°，
∵∠FBA+∠BFC＝∠BAC＝60°，
∴∠BFC＝∠ABE；
（2）点E为CD的中点．理由如下：
过点D作DG∥BC，交BE的延长线于点G，如图：
∴∠BDG+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BDG＝120°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝120°，
∴∠BAF＝∠BDG，
∵AF﹣AD＝BC，
∴AF＝AD+BC＝AD+AB＝DB，
由（1）得∠BFC＝∠ABE，
∴△BAF≌△GDB（ASA），
∴BA＝DG，
∴BC＝DG，
∵DG∥BC，
∴∠G＝∠EBC，∠GDE＝∠ECB，
∴△DEG≌△CEB（ASA），
∴DE＝CE，
∴点E为CD的中点；
（3）线段AD的长为；理由如下：
取BC的中点N，连接EN，过C作CP⊥AE交AE延长线于P，如图：
由（2）知E为CD中点，
∴EN是△CBD的中位线，
∴EN∥BD，即E在过N且与BD平行的直线上运动，
∴当AE⊥EN时，AE最小，
∴BD⊥AE，
∴∠CAP＝∠PAB﹣∠CAB＝90°﹣60°＝30°，
∴CP＝AC＝a，
在△AED和△PEC中，
，
∴△AED≌△PEC（AAS），
∴AD＝CP＝．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，给出如下定义：若在⊙O上存在点T，使得点P关于某条过点T的直线对称后的点Q在⊙O上，则称点Q为点P关于⊙O的“关联对称点”．
（1）若点P在直线y＝2x上；
①若点P的坐标为（1，2），则Q1（0，1），Q2（1，0），中，是点P关于⊙O的“关联对称点”的是 Q2，Q3． ；
②若存在点P关于⊙O的“关联对称点”，求点P的横坐标xP的取值范围；
（2）已知点，动点M满足AM≤1，若点M关于⊙O的“关联对称点”N存在，直接写出MN的取值范围．
【分析】（1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解；
②设y＝2x与⊙O交于点M，N，过点N，P分别作x轴的垂线，垂足分别为A，B，根据勾股定理得出 x2+y2＝1，联立直线解析式，得出交点坐标，进而 根据平行线分线段成比例得出
p＝，同理可得p的最小值为﹣ 即可求解；
（2）依题意，关于⊙O的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得MN的最值，即可求解．
【解答】解：（1）解：如图所示，
PQ3连线的中点在⊙O的内部，PQ1的中点的纵坐标为1，则点P，Q1关于y＝1对称，点P关于⊙O的关联点是Q3，Q2，
故答案为：Q2，Q3．
②如图所示，点P在线段RS和UW上，
设R（m，2m），
在Rt△OHR中，m2+（2m）2＝32，
解得m＝或m＝﹣（舍），
∴xR＝；
同理xS＝，xU＝﹣，xW＝﹣，
∴﹣≤p＜﹣或＜p≤；
（2）依题意，关于⊙O的关联点在半径为3的圆内，如图所示，
∵AM≤1，
则M在半径为1的⊙A上以及圆内，M关于⊙O的关联点N，
∴MN的最大值为OM+ON＝3+1＝4，
如图所示，当M在线段OA上时，MN取最小值，
∴OA＝＝，
设MN＝GH＝x，则GT＝HT＝x，
∴MH2＝（）2﹣（1+x）2，
∴NG2＝12﹣（1﹣x）2，
∴（）2﹣（1+x）2＝12﹣（1﹣x）2，
解得x＝，
∴≤MN≤4．
每天在校体育锻炼时间x（min）
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
×≥90
人数
14
46
30
10
工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/分钟
9
9
7
9
7
10
2
平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差/环2
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
x（分钟）
0
5
10
15
20
…
y1（克）
25
23.5
20
14.5
7
…
y2（克）
25
20
15
10
5
…
红
绿
红
（红，红）
（绿，红）
绿
（红，绿）
（绿，绿）
每天在校体育锻炼时间x（min）
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
×≥90
人数
14
46
30
10
工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/分钟
9
9
7
9
7
10
2
平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差/环2
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
x（分钟）
0
5
10
15
20
…
y1（克）
25
23.5
20
14.5
7
…
y2（克）
25
20
15
10
5
…